《经济数学》413-5（雷安平）教案 第11课 函数的极值与最值

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课题函数的极值与最值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数的极值（2）掌握函数的最值（3）掌握实际问题中的最大值和最小值思政育人目标：在探索函数的极值与最值的过程中，能够培养学生执着与坚韧、严谨与求实的科学精神。教学重难点教学重点：函数的极值教学难点：实际问题中的最大值和最小值教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解函数的极值定义4-1设函数在点的某邻域内有定义，若对该邻域内的任意点，恒有（1），则称是函数的极大值，称为函数的极大值点；（2），则称为函数的极小值，称为函数的极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．定理4-3（极值存在的必要条件）如果函数在点处有极值，且存在，则．定理4-3说明可导的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点．例如，对于函数，是它的驻点，但不是它的极值点；反过来，对于函数，不是它的驻点（函数在该点不可导），但却是它的极值点．因此，我们发现，函数的驻点和导数不存在的点，都可能是它的极值点．这样，寻求极值点的范围就大大缩小了，只需对驻点和导数不存在的点逐个判断即可．下面给出判断极值的两个充分条件．定理4-4（判定极值的第一充分条件）设函数在点的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导．（1）如果当时，，而当时，，则在取得极大值，如图4-4（a）所示．（2）如果当时，，而当时，，则在取得极小值，如图4-4（b）所示．（3）如果在的两侧的符号不变，则不是的极值点，如图4-4（c）和（d）所示．（a）（b）（c）（d）图4-4根据上面两个定理，可以按下列步骤求的极值点和极值：（1）求函数的定义域（有时是给定的区间）；（2）求出，在定义域或给定区间内求出使的点及不存在的点；（3）的符号（此时，为表达清楚，最好列出相应表格）；（4）利用定理4-4判断（2）中的点是否为极值点，如果是极值点，进一步判定是极大值点还是极小值点；（5）求出各极值点处的函数值，得出函数的全部极值．例1求函数的极值点和极值．解函数的定义域为，导数为．令，得驻点．讨论在每个区间内的符号，结果如表4-2所示．表4-2因此，函数在处有极大值；在处有极小值．例2求函数的单调区间和极值．解函数的定义域为，导数为．令，得驻点；而当时不存在．因此，函数只可能在这两点取得极值，如表4-3所示．表4-3因此，函数在点处有极大值；在点处有极小值．当函数在驻点处的二阶导数存在时，有如下判别定理．定理4-5（判定极值的第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数，且，．（1）若，则是函数的极小值点；（2）若，则是函数的极大值点．例3求函数的极值．解函数的定义域为，导数为．令，得驻点．函数的二阶导数为，因为，所以由定理4-5可知，函数在处取得极小值，在处取得极大值．【学生】掌握函数的极值学习函数的极值，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解函数的最值与实际问题中的最大值和最小值二、函数的最值前面已经学过，闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．显然，函数在闭区间上的最大值和最小值只能在区间内的极值点和区间的端点处达到．因此可直接求出一切可能的极值点（包括驻点和尖点）和端点处的函数值，比较这些函数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值．例4求函数在区间上的最大值和最小值．解函数定义域为，导数为．令，得驻点．它们为函数可能的极值点，算出这些点及区间端点的函数值：．比较可知，函数在区间上的最大值为，最小值为．例5求函数在上的最大值与最小值．解函数定义域为，导数为．令，得驻点．计算得．最后比较以上3个函数值的大小可知，函数在上的最大值为，最小值为．而事实上，因，故函数是单调增加的，而单调函数的最大值和最小值都是在区间的端点处取得的．三、实际问题中的最大值和最小值在实际应用中，往往会遇到求连续函数在开区间内的最大值或最小值问题．设连续函数在开区间内只有唯一驻点，若为函数的极大值点，则就为函数在开区间内的最大值；若为函数的极小值点，则就为函数在开区间内的最小值．如果在实际问题中，连续函数在开区间内只有唯一驻点，由实际意义，又知函数有最大（或最小）值，那么就是函数在开区间内的最大（或最小）值．例6生产某种产品x个单位的费用是，得到的收入为（元），问生产多少个单位时，才能使利润为最大？解由题意得，这个函数的定义域为．于是．令，解得．又因，所以当时，函数取得最大值，即生产250个单位时，才能使利润最大．例7某工厂生产某种产品的总成本函数为，其中为产品的产量（单位：件），问生产多少件时，平均成本最小？解由总成本函数可得平均成本函数为．要求平均成本最小，即是求函数的最小值．的定义域为，其导数为．令，得到函数的唯一驻点．因此，是使函数取得最小值的点，其最小值为138000元．例8某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元，其收入（单位：万元）是产量（单位：百件）的函数：，求达到最大利润时的产量．解由题意，成本函数为．于是，利润函数为，．令，得．因，所以当时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点．故产量为300件时取得最大利润．【学生】函数的最值与实际问题中的最大值和最小值学习函数的最值与实际问题中的最大值和最小值，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了收益函数与利润函数及建立函数关系式的方法，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业：完成课后习题4-2