高考数学三轮冲刺卷：均值不等式及其应用（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：均值不等式及其应用一、选择题（共20小题；）1.设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=   A.3 B.32 C.232.若x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为   A.9 B.18 C.36 D.813.已知x>0，y>0，且x+2y=2，则xy   A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12 D.有最小值为4.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数xx∈N为二次函数关系，如图．当每辆客车营运的年平均利润最大时，营运年数为 A.3 B.4 C.5 D.65.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC．当∠AOB=x时，S四边形OACB等于 A.sinx B. C.−3cos6.若x,y,a∈R+，且x+y A.22 B.2 C.1 D.7.已知正实数a，b满足1a+2b A.2 B.2 C.22 D.8.在下列各函数中，最小值等于2的函数是   A.y=x+1x C.y=x29.已知在圆M:x2+y2−4x+2y−4=0内，过点O0,0的最长弦和最短弦分别是 A.6 B.8 C.10 D.1210.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设AB=a，AC=b，AF=x A.6+22 B.63 C.6+411.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB⋅ A.2 B.0 C.−1 D.−212.设正数m，n满足4m+9n A.26 B.25 C.16 D.913.设0<a<b，且a+b=1，在下列四个数中最大的是   A.12 B.b C.2ab D.14.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是   A.1ab>12 B.115.不等式a+1≥2aa>0 A.a=0 B.a=12 C.a=116.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A.a2+b2>2ab B.17.若动点A，B分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，则AB A.32 B.22 C.318.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=2x1+x2x>0 A.π B.π3 C.π419.过点A2021,a和B2020,b的直线与直线l：x+y+m=0垂直，则∣AB∣ A.4 B.2 C.2 D.与m的取值有关20.若正数x，y满足2x2−xy+2y A.−23,2 B.0,2 C.二、填空题（共5小题；）21.已知t>0，则函数y=t2−4t+122.函数y=logax+3−1a>0,且 a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中23.已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，则x+y的最小值为

．24.记t=x+y−ax+22xy，x>0，y>0．已知对任意的x>0，y>0，恒有t≥0，则实数a的取值范围为25.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+yAC，则x=

， 三、解答题（共5小题；）26.若实数x，y，m满足x−m>y−m，则称x比y远离（1）若x2−1比1远离0，求（2）对任意两个不相等的正数a，b，求证：a3+b3比27.已知fx（1）当a=2时，求不等式fx（2）当x∈−∞,a时，fx<028.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内?（2）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值．29.已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1．证明：（1）a−1（2）a330.已知函数fx（1）当a=1，b=2时，求不等式fx（2）设a>0，b>0，若fx的最小值为2，证明：1答案1.D 【解析】由题意得ab=1λ×a×所以1λ=3，即2.A 【解析】因为x+y=18，所以xy≤x+y23.C 【解析】因为x>0，y>0，x+2y=2，所以x+2y≥2x⋅2y，即2≥22xy，当且仅当x=2y，即x=1，y=1所以xy有最大值，且最大值为124.C 【解析】提示：y=−x2+12x−25，记年平均利润为z，有z=5.B 【解析】因为∠AOB=x，则△ABC的面积为S=又因为S△OAB所以四边形OACB的面积为S△ABC故选B．6.B 【解析】因为x+y≤a⋅两边同时平方，整理后得1+2x⋅yx+y因为x+y≥2x⋅y（当且仅当"x=y"时取"="），所以不等式左边的最大值为2，所以a2≥27.C 8.D 【解析】对于选项A：当x<0时，A显然不满足条件；选项B：y=cosx+1当0<x<π2时，对于C：不能保证x2对于D：因为ex>0，所以故只有D满足条件．9.D 【解析】化圆x2+y2−4x+2y−4=0为x−22+由圆的弦的性质可得，最长的弦即为圆的直径，所以AC的长为6，因为点O0,0所以∣MO∣=5当弦BD最短时，弦BD和MO垂直，且经过点O，此时∣BD∣=29−5所以四边形ABCD的面积为12故选D．10.D 【解析】在△ABC中，因为C，F，D三点共线，所以AF=μ所以μ=y,1−μ所以1x因为0≤μ≤1，所以μ−3≤0，所以原式11.D 【解析】因为O为AB的中点，所以PA+PB=2又∣PO∣+∣PC∣=∣OC∣=2为定值，所以当且仅当∣PO∣=∣PC12.B 13.B 【解析】方法一：因为ab<a+b22，所以ab<因为a2+b22因为b−a所以b>a综上所述，b>a故b最大．方法二：不妨取a=13,b=23，则2ab=2×14.D 【解析】因为a>0，b>0，a+b=4，所以ab≤a+b2=2，所以ab≤4，所以15.C 【解析】因为a>0，根据基本不等式ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故a+1≥216.D 【解析】利用基本不等式需注意各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．对于A，当a=b时，应有a2+b2=2ab，A错误；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于017.A 【解析】依题意知动线段AB的中点M的轨迹为与直线l1:x+y−7=0和则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M的轨迹方程为x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得m+72即点M的轨迹方程为x+y−6=0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为∣−6∣218.A 【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．设矩形的一条边所在直线为y=aa>0，Cx1联立y=a与y=2x1+x由此可得x1+x所以∣x即圆柱的高为2a1−a所以其体积为πa当且仅当a2=1−a2，即19.C 20.D 【解析】设x+y=u，则2x+y2−5xy=x+y+1即3u2−4u−4≤0又注意到xy>0，得2u2−u−1>0，解得u>1或u<−21.−2【解析】由已知得y=t+1t−4≥2−4=−2，当且仅当t=22.8【解析】函数恒过−2,−1，代入直线方程得2m+n=1，又mn>0，所以m>0，n>0，故1n23.1824.a【解析】由t≥0，得x+y≥ax+2因为x>0，y>0，所以a≤x+y因为22xy所以x+yx+2当且仅当x=2y>0时，等号成立，因为a≤1所以实数a的取值范围是aa≤25.1+32【解析】设斜边长为2．由已知，得AB+即BD=在①的两端点乘AC，化简得2⋅在①的两端点乘BC，化简得0=x−1联立②③，解得x=1+326.（1）由题意，得x2解得x<−2或x>

（2）因为a,b∈R+，且所以a3+b因为a3所以a3+b3−2abab>27.（1）当a=2时，fx①当x≥2时，fx②当x<2时，fx所以不等式fx<0的解集为

（2）解法一：当fx=∣x−a∣x−2+∣x−2∣x−a=0时，①当a<2时，fx②当a=2时，fx③当a>2时，（ⅰ）当x∈−∞,2时，f（ⅱ）当x∈2,a时，f综上所述，实数a的取值范围是−∞,2．解法二：当x∈−∞,a时，f因为x−a<0，则由fx<0，可得∣x−2∣−x−2所以x<2，即x<a⇒x<2，所以实数a的取值范围是−∞,2．28.（1）设DN的长为xx>0米，则AN=因为DN:AN=DC:AM，所以AM=3所以SAMPN由SAMPN>32，得又x>0，得3x2−20x+12>0，解得0<x<即DN长的取值范围是0,2

（2）矩形花坛AMPN的面积为y=3当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．29.（1）因为a，b，c为正实数