高考数学三轮冲刺卷：解三角形的实际应用问题（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：解三角形的实际应用问题一、选择题（共20小题；）1.如图，在河岸AC测量河宽BC时，测量下列四组数据较适宜的是   A.c和α B.c和b C.c和β D.b和α2.在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45∘，再向塔底方向前进100 m，又测得塔尖的仰角为60 A.237 m B.227 m C.247 3.美国为了加强对伊拉克的控制，进行了战略部署，在位于科威特和沙特的两个距离32a的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30∘，∠BDC=30∘ A.64a B.62a4.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2 A.33，60∘ B.3，60∘ C.3，30∘5.如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值 A.2315 B.516 C.2316.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15∘，与货轮相距20n mile，随后货轮沿北偏西30∘的方向航行30 min后，于 A.202+ C.206+7.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在同一直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60∘，另一灯塔在船的南偏西75∘ A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.108.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30∘，与O相距15海里的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n  A.12 h B.1 h9.甲船在B岛的正南A处，AB=10 km，甲船以4 km/h的速度向B岛航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东 A.1507 min B.15710.某人在C点测得某塔在南偏西80∘，塔顶仰角为45∘，此人沿南偏东40∘方向前进10 m到D，测得塔顶A A.15 m B.5 m C.10 11.在△ABC中，a=λ，b=3λ（λ>0），A= A.0 B.1 C.2 D.无数12.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30∘，45∘，60∘，且AB=BC=60  A.156 m B.20613.已知D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A的点仰角分别为α，βα>β，则A点离地面的高AB等于 A.asinαsinβsinα−β14.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21∘方向，且塔顶的仰角为18∘，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39 A.265米 B.279米 C.292米 D.306米15.如图，塔AB的底部为点B，若C，D两点相距100 m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45∘和30∘，则塔AB的高约为  （精确到0.1 m， A.36.5 B.115.6 C.120.5 D.136.516.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30∘和60 A.4003 m B.400317.海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60∘的视角，从B岛望C岛和A岛成75∘的视角，则 A.103 n mile B.18.海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60∘的视角，从B岛望C岛和A岛成75∘的视角，则B，C A.103海里 B.1063海里 C.519.如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60∘，∠BCD=45∘，∠ADB=60∘，∠ADC=30 A.202米 B.203米 C.20620.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为 A.13米 B.14米 C.15米 D.16米二、填空题（共5小题；）21.如图，AB是竖立在地面上的一根杆子，高为10 m，D为AB的中点，在地面C处测得点B的仰角为45∘，则在C处测点D的仰角应是多少（精确到 22.在半径为30 m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120∘，若光源恰好照亮整个广场，则其高度应为

．（精确到23.我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米．若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45∘，则该小区的住宅楼楼间距实际为

24.某海域中有一个小岛B（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域A处出发由西向东直线航行，在A处望见小岛B位于北偏东75∘，渔船继续航行8海里到达C处，此时望见小岛B位于北偏东60∘，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险?答： 25.已知Ax1,y1，Bx2,y2为圆M：x2+y三、解答题（共5小题；）26.某人从某处出发向正东方向走x千米后，向右转150∘，如图所示，然后向前行走3千米，结果他与出发点相距1732米，求x．（结果精确到1 27.某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=2π3，∠BAE= （1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．28.如图，某广场有一块边长为1hm的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可以转动的摄像头，其能够捕捉到的图象的角∠PAQ始终为45∘（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，记 （1）用t表示PQ的长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值?（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm29.如图，滚珠轴承的内外圆半径分别为r和R．如果在这个滚珠轴承里恰好能放入12颗滚珠，求Rr的值（结果用sin 30.图如所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至B处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m （1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应该控制在什么范围内?答案1.D 2.A 【解析】设电视塔塔尖为B，塔底为C，在地面上一点A向塔底方向前进100 m到点D，作图如图所示，则A=45∘在Rt△ABC中，设BC=x m，则AC=x m．在Rt△BCD中，DC=x−1003.A 【解析】因为∠ADC=∠ACD=60∘，所以△ADC是等边三角形．所以在△BDC中，由正弦定理，得BCsin∠BDC=所以在△ABC中，由余弦定理，得AB2=4.B 【解析】如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB=10 m，CD=6 m，高则AE=AB−CD∴tan∴∠DAE=605.A 【解析】由题意可得，在△ABC中，AB=3.5 m，AC=1.4 m，BC=2.8 m由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2−2×AC×BC×6.B 【解析】设货轮的速度为v n mile/h，由题意，得∠NMS=45∘，∠MNS=105∘，则∠MSN=30∘，又MS=20 n 7.C 8.B 【解析】由题意，得CB因此CB=35n mile，35÷35=1h，因此甲船到达9.A 【解析】如图，设经过x h时甲船行至P处，乙船行至Q处，且距离为s 在△BPQ中，由余弦定理，知P即s当x=−b2a=51410.C 【解析】如图，设塔高为ℎ，在Rt△AOC中，∠ACO=45∘在Rt△AOD中，∠ADO=30∘在△OCD中，∠OCD=120∘，由余弦定理得OD即3ℎ2=解得ℎ=10或ℎ=−5（舍）．11.A 【解析】由正弦定理知sinB=b⋅12.D 【解析】设建筑物的高度为ℎ，由题图知，PA=2ℎ，PB=2ℎ，所以在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA=602+2ℎ2−4因为∠PBA+∠PBC=180∘，所以cos∠PBA+由①②③，解得ℎ=306或ℎ=−306（舍去），即建筑物的高度为13.A 14.C 15.D 【解析】设AB=x，因为∠ACB=45∘，所以BC=x，又因为∠ADB=30∘，所以16.A 【解析】如图所示，在 Rt△AOC中，AO=200，∠ACO=∠HAC=60∘，所以AC=AOsin60∘=20032=17.D 【解析】如图，C=180由正弦定理可得10sinC=18.D 【解析】根据题意，画出示意图．在△ABC中，A=60∘，B=75所以C=45由正弦定理可得ABsin即102所以BC=5619.C 【解析】在△BCD中，可得DB=DC=40（米），在△ACD中，由正弦定理得AD=203又∠ADB=60所以在△ADB中，由余弦定理得AB=20620.C 【解析】由余弦定理求得2θ=3021.26.22.17.3 23.54【解析】如图，设该小区的住宅楼楼间距为CF=t米，则DF=18米，EF=27米，∠DCE=45所以tan∠DCE=即t2解得t=54．24.无【解析】如图，过B作AC的延长线的垂线，垂足为D．在△ABC中，∠ACB=90∘+则∠ABC=180所以△ABC为等腰三角形．AC=BC=8，又∠BCD=90所以BD=BCsin30∘25.10−5【解析】由题设可得：AP=x0因为AP=2所以x0即3x所以9x因为Ax1,y1，B且x1所以9x02所以点P的轨迹为圆x2又3x其几何意义为圆x2+y2=2又因为圆x2+y2=2d=−10所以圆x2+y2=2所以3x26.1732米或3464米．27.（1）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD所以BD=3因为BC=CD，所以∠CDB=∠CBD=π又因为∠CDE=2所以∠BDE=π所以在Rt△BDE中，BE=

（2）设∠ABE=α，因为∠BAE=π所以∠AEB=2在△ABE中，由正弦定理，得ABsin所以AB=65sin所以S△ABE因为0<α<2所以π6所以当2α−π6=π2，即α=即生活区△ABE面积的最大值为27328.（1）BP=t，CP=1−t，0≤t≤1，∠DAQ=45∘−θ，DQ=所以PQ=C故l=CP+CQ+PQ=1−t+2t所以△CPQ的周长l是定值2．

（2）S=当且仅当t=2所以摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2−229.设轴承圆心为O，相邻两颗滚珠的圆心分别为P，Q，在等腰三角形POQ中，∠POQ=30