圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲答案

知能梳理课程星级：★★★★★知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F 、F1 2

(PF PF 2aFF

) ，这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作1 2 1 2椭圆的焦距。留意：假设(PF PF FF)，则动点P的轨迹为线段FF；1 2 1 2 1 2假设(PF PF FF

P的轨迹无图形。1 2 1 2二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程〔端点为a、b，焦点为c〕x2 y2当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程： a2 b2

1(ab0)，其中c2

b2；y轴上时，椭圆的标准方程：

1(ab0)，其中c2

b2；a2 b2x2 y22、两种标准方程可用一般形式表示： 1

或者mx2+ny2=1三、椭圆的性质〔以

b2

m n1(ab0)为例〕1、对称性：对于椭圆标准方程

b2

1(ab0)：是以xy轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上全部的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 xa，yb。3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

x2y2a2 b2

1(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1

(a,0)，A(a,0)，B2

(0,b)，B2

(0,b)。AA1 2

，BB1

分别叫做椭圆的长轴和短轴，AA1 2

2a，BB1 2

2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e②由于(ac0，所以e的取值范围是(0e1。

2cc。2a ae越接近1，则c就越接近a，从而b a2c2越小，因此椭圆越扁；e0c0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当abc0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2

a。③离心率的大小只与椭圆本身的外形有关，与其所处的位置无关。留意：椭圆

b2

1的图像中线段的几何特征〔如以下图〕：PF1PM1PF2PM2 PF1PM1PF2PM21

PF2

2a) (PM1

PM2

2a2)c5、椭圆的其次定义：平面内与一个定点〔焦点〕和一条定直线〔准线〕的距离的比为常数e〔0＜e＜1〕的点的轨迹为椭圆|PF|〔d

e。PF2PMPF2PM2即到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形也即上图中有 1 PM

e。①焦点在xx2a2

b2

11〔a＞b＞0〕xc②焦点在yy2a2

1〔a＞b＞0〕ya2c6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网P(xy

在椭圆

x2y2

1(ab0)的内部

x2 y20 0 10 0 a2 b2 a2 b2P(xy

在椭圆

x2y2

1(ab0)的外部

x2 y20 0 10 0 a2 b2 a2 b2标准方程x标准方程x2y2a2 b21 (ab0)y2a2x2b21 (ab0)图形焦点F(c,0)，F(c,0)12F(0,c)，F(0,c)1 2焦距FF 2c1 2FF 2c1 2性质范围x a，y bx b，y a对称性xy轴和原点对称顶点轴长长轴长2a，短轴长2b离心率离心率eae1)准线方程xa2cya2c焦半径PFaex，PF0aex0PFaey，PF0a1212ey0五、其他结论高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲”.龙奇迹【学习资料网1、假设P

)在椭圆x2 y2

1上，则过P

xxyy的椭圆的切线方程是 10 0 0

a2 b2 0

0 0a2 b22、假设P

)在椭圆x2 y2

1Po作椭圆的两条切线切点为PP

，则切点弦PP

的直线0 0 0

a2 b2

1 2 12方程是

xyy0 0 1a2 b2x2 y23、椭圆

1(a＞b＞0FF，点P为椭圆上任意一点FPF

，则椭圆a2 b2

1 2 1 2的焦点角形的面积为S

FPF1

b2tan24

x2

1〔ab0〕的焦半径公式：|MF

|aex,|MF|aex(F(c,0),a2 b2

1 0 2 0 12 0 05FP、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点FMN两点，则MFNF6、过椭圆一个焦点FP、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点NMF⊥NF7、AB是椭圆

x2

1的不平行于对称轴的弦，M(x,y)为AB的中点，则k k b2，即a2 b2

0 0 OM AB a2b2xK 0。AB a2y0x2 y2

xxyyx2 y28、假设P0

0

)在椭圆a2 b2

1内，则被Po所平分的中点弦的方程是0 0a2 b2

0 0a2 b2x2 y2 x2 y2 xx yy9P(xy

)在椭圆

1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

0 00 0 0

a2 b2

a2 b2 a2 b2【双曲线】一、双曲线的定义1、第肯定义：到两个定点F1与F2的距离之差确实定值等于定长〔|F1F2|〕的点的轨迹2〔PF PF 2aFF2

〔a为常数。这两个定点叫双曲线的焦点。〔〕距离之差1 1 2〔2〕2a＜|F1F2|。当|MF1|－|MF2|=2aF2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2aF1所对应的一支；1 2a=|F1F2|F、F为端点向外的两条射线；2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。1 2动点到肯定点Fle(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程〔b2

a2，其中|F1

F|=2c〕2需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、弦长公式1ykxb与圆锥曲线相交于两点A、Bxx1 2

分别为A、B的横坐标，(xx(xx)2(yy)21 2 1 2则

xx ，k21kk21k21 xx24xx1 2 121k2 |a|y,y1 2

分别为A、B的纵坐标，则AB

yy 。1111k2k211 yy24yy12122、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长|AB|

2b2。a3、假设弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB ＝

yy 。11k24、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用其次定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网【抛物线】一、抛物线的概念Fl(lF)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦HH称为通径；通径：|HH

|=2P1 2 1 22|AB|

|xx|11k2

|yy |111k23、焦点弦：y22pxp0)FABA(xyB(xy

，则1 1 2 2(1)|AF|x+

p，(2)xx

p2，yy

－p20 2 12 4 12ABpx

x),xx

2 xx

p，即当x=x

时,2p1 2 1 2 12 1 2假设AB的倾斜角为，则AB1 1 2

2psin2〔5〕

+ =AF BF P四、点、直线与抛物线的位置关系.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统肯定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线le称为离心率。0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。特别留意：当e0时，轨迹为圆〔ec，当c0ab时。a二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程精讲精练需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网精讲精练【例】以抛物线y28 3x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x 3y0的双曲线方程为 .解 ：4y283xF为(23,0)x2

3y2

，3

2 3)29，双x2 y2曲线方程为 19 3x2【例】双曲线

y2=1(b∈N)F、F，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF

|,|FF

|,|PF

|成等比数4 b2 1 2

1 12 2列，则b2= 。解：设F－,0、F2,0、P,，则PF12+PF22=2(PO2+F1O22(2+2PF12+PF22＜50+22，又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4，17依条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜3,又∵c2=4+b2＜

17 5，∴b2＜，∴b2=1。3 3【例】当m取何值时，直线lyxm与椭圆9x216y2

144相切，相交，相离？ yxm…… … ①解： 9x216y2144… ②①代入②得9x216(xm)2144化简得25x232mx16m21440(32m)2425(16m2144)576m214400当0,即m5时，直线l与椭圆相切；当0，即5m5时，直线与椭圆相交；当0，即m5或m5时，直线与椭圆相离。410【例xF，M是椭圆上的任意点，|MF4102y=xM

M，且|MM|=

，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2，

1 2 1 2 3x2 y2x∴b2=4，设椭圆方程为 1 ①a2 4设过M1和M2的直线方程为y=－x+m ②1 1 2 2 2 1 2 0 将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③设M1(x，y)、M(x，y)，MM的中点为(x，y)1 1 2 2 2 1 2 0 x=1

(x+x)=

，y=－x

+m= 4m 。0 2 1

4a2 0

4a2y=x，得

a2m

4m ，4a2a2＞4，∴m=0x+x

=0，x

M

|= 2 (x

x)24xx

410，1 2 12

4a2 1 x2 y2

1 2 12 32 12x1+x，xxa2=5，故所求椭圆方程为：542 12

=1。【例20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”x轴，建立坐标系，AB|=2OM|=，、B－1、(1〕设抛物线方程为x2=－2py，将A点坐标代入，得100=－2p×(－4)，解得p=12。5，x2=－25y。由题意知E点横坐标也为2代入得。3.84米。【例O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，10|PQ|=102

，求椭圆方程。2解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x，y2)2yx1由mx2

ny21

得m+n+2nn1=，=4n－4m+n－1，即+nm，OP⊥OQxx+yy

=02x

x+(x+x)+1=0，∴2(n1)

2n +1=0，∴m+n=2 ①12 12

12 1

mn mn4(mnmn) 10 3又2 ( )2，将m+n=2，代入得m·n= ②mn 2 4m=1，n=3m=3

，n=12 2 2 2x2 3 3 1故椭圆方程为 + y2=1或x2+ y2=1。2 2 2 2【例】圆C1

的方程为x22y12

20C3

x2a2

b2

1ab0，C

2的离心率221为 ，假设C212

A、BABC1

ABC2的方程。yyAC1FF2O1Bx22解：由e ,得c ,a22c2,b2c2.设椭圆方程为x2 y21.222 a 2 2b2 b2A(xy1 1

).B(x,y2

).由圆心为(2,1). xx1 2

4,yy1

2.x2 y2

x2 y2

x2x2

y2y2又 1 12b2 b2

2 22b2 b2

两 式 相 减 ，

1 22b2

1 20.b2(xx1 2

)(x1

x)2(y2

y)(y2

y)0,2xx1 2

4.yy1

y1xx

21直线AB的方程为

y1(x2yx31 2yx3代入x22b2

b2

13x212x182b20.直线AB与椭圆C相交.24b2720.需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高2考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网2(x x)2(x x)24xx1 2 1 22224b27220.3AB

x x

.得 1 2 3 3解得b28. 故全部椭圆方程x2y21.16 82【例】过点(1，0)lx轴上且离心率为22

CA、B两点，直线y=1xABCllC的方程。2yyy=12xBF2oF1xA2解法一：由e=c ，得a2b21，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x2

，y)，B(x，a 2 a2 2y2)在椭圆上。

yy

1 1 2xx2=2b2，x2+2y2=2b2，两式相减得，(x

2－x

2)+2(y

2－y

2)=0，1

2 1 2 .1 1 2 2

1 2 1

xx1

2(y1

y)2x 1 1 x设AB中点为(x，y)，则k =－0 ，又(x，y)在直线y= x上，y= x，于是－0

=－1，0 0 AB 2y 0 0

2 0 2

2y AB0ly=－x+1。右焦点(b，0)l的对称点设为(x′，y′)，

y1 xb 解得x1 则y

xb

y1b 1 9由点(1，1－b)1+2(1－b)2=2b2，b2=9

a29。

2 2C8x2

16 8=1，ly=－x+1。9 92高考复习资料高中数学学问点2总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由e=c

a2b21，从

a 2 a2 2则x+x= 4k2 ，y+y=k(x

－1)+k(x－1)=k(x+x

)－2k=－2k 。1 2 12k2 1 1

1 2xx yy

1 2 12k2k 1 2k2直线l：y= x过AB的中点(

2,

k=0k=－1。2 2 2 12k2 2 12k2k=0ly=0F(c，0)lFCk=0k=－1ly=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。x2a2

b2

直线l不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线yl的方程为yk(x1)(2)

1x过AB中点冲突。故可设直线2(2)代入(1)消y整理得：(k2a2b2)x22k2a2xa2k2a2b20(3)设A(x，y

)B(x，y

知：xx

又yy

k(x

x2k代入上式得：1 1 2

1 2 k2a2b2

1 2 1 2k 2k 1，k2kk2a2b2

1，kk

b2 1又exx 21 2

2k2a2 2

ka2 2 2k

a2

2(a2c2)a2

22e21，直线l的方程为y1x，此时a22b2方程(3)化为3x24x22b201624(1b2)8(3b21)0b

Cx22y22b2(4c2a2b2b2，333Fb0)，设点关于直线l(x，y)，0 0 y 0 1x 则0y0

xx b 00

0

1b，2 1 23又1b在椭圆上，代入(4得121b)b2，b3 ，34 39b2 ， a29916 8所以所求的椭圆方程为：x2y21

9 98 1627，PPP

的一个三等分点，求以直线OP、OP

为渐近线且1 2 4 12 1 213P的离心率为132

的双曲线方程。yyP2PoxP122O为原点，∠P1OP2x轴建立如下图的直角坐标系。22设双曲线方程为

a2

y =1(a＞0，b＞0)，由e2=cb2

1( ) 。b213 b 3( )2，得a2a2yb213 b 3( )2，得a2a21 2 2 22设点P(x3x)，P(2

3 )(x＞0，x＞0)，21 1 2 2

2x，－2x2 1 2则由点PPP

所成的比

PP x2x1 =2，得P点坐标为( 1 2

x2x,1 2)，,12 PP 3 2121Px2a2

4y29a2

=1上，所以(x

2x)229a2

(12x2)2x9a2x

=1，1即(x1+2x2)2－(x－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 ①199又|OP| x2 x2 13x,|OP| x2 x2 13x991 1 4 1 2 1 2 4 2 2 2sinPOP

2tanPOx1

23 21211 2 1tan2POx 19 1314S 1|OP||OP|sinPOP113xx

12

27,POP 2 1 2

1 2 2

12 13 41 2即xx= 9 ②12 2

x2 y2由①、②得a2=4，b2=9。故双曲线方程为 4 9

=1。【例.宝.上.搜.索.宝.贝“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网C：y2a2

1(ab0P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线ABx轴，y轴分别交于M、N两点。(1)已知P点坐标为(x)xy

≠AB(2)假设椭圆的短轴长为8a

b2 25，0 0 00

|OM|2

|ON|2 16求椭圆C的方程；(3)椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线相互垂直？假设存在，恳求出存在的条件；假设不存在，请说明理由。解：(1)A(x，y)，B(x，y

) 切线PAxxyyb2，PBxxy

yb21 1 2

1 1 2 2∵P点在切线PA、PBxx10

yy10

x2x0

yy2

b2∴直线AB的方程为xxyyb2(xy 0)0 0 0 0ABy=0，则M(b2，0)x=0，则N(0b2)x0 y0a2 b2

a2 y2

a2 25∴|OM|2

|ON|2

( 0b2

0) ①b2 b2 16∵2b=8 ∴b=4 a2=25，b2=16∴椭圆Cy2x21(xy0)25 160 假设存在点P(x，y)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|0 四边形PAOB为正方形，|OP|=

|OA| x2202

0

2b2 ①又∵P点在椭圆C上 x20b2(a22b2)

b2y20a2b2

a2b2 ②0

a2b2

0

a2b2

∵a>b>0 ∴a2－b2>0当a2－2b2>0，即a> 2b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线相互垂直；当a2－2b2<0，即b<a< 2b时，椭圆C上不存在满足条件的P点【例】点〔1，，〔0P是平面上一动点，且满足|PC||BCPBC.求点P的轨迹C对应的方程；点A〔m，2〕在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，推断：直线DE是否过定点？试证明你的结论。A〔m，2〕CACAD，AEAD，AEk、k满1 2k1·k2=2。求证：直线DE过定点，并求出这个定点。(x1)2y2〔〕设P(xy)代入|PC||BC(x1)2y2

1x,化简得y24x.(2)将A(m,2)代入y24x得m1,点A的坐标为(1,2).设直线AD的方程为y2k(x1)代入y24x得y24

8y 8由y 2可得y1

42,D(4k k2

k kk同理可设直线AE:y21(x1代入y24x得E(4k21,4k2).k则直线DE方程为:y4k2

k4k24k

(x4k21化简得k2(y2)k(x5)(y2)0,即y2 kk21

(x5过定点(5,2).(3)将A(m,2)代入y24x得m1,设直线DE的方程为ykxbD(xyE(xy)ykxb

1 1 1 1由y2

4x

得k2x22(kb2)xb20,y2 y2k kAD AE

2,1 2 2(x,xx1 x1 1 1 2

且y kx1 1

b,y2

kx b2(k22)xx12

(kb2k2)(x1

x)(b2)220,2将xx1 2

2(kb2),xxk2 12

b2k2

代入化简得b2(k2)2,b(k2).b(k2).将bk2代入ykxb得ykxk2k(x12过定点(1,2).将b2k代入ykxb得ykx2kk(x12过定点(1,2不合舍去,定点为(1,2)【例.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例()”.()”a2 b2

1(a0b0)的离心率e

直线l过〔a－b两点原点O到l的距离是 .233233〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕过点B作直线m交双曲线于N两点，假设OMON23，求直线m的方程。解〔Ⅰ〕依题意，l方程x y ,bxayab, 由原点O到l的距离为3，

ab ab 3又eca

a2ba2b23

a b33

x23

2 c 2y21〔Ⅱ〕明显直线mx轴垂直，设my=kx－1，M、N坐标〔

x,y1

〔

x,y2

ykx1〕是方程组 的解x2消去y，得(13k2)x26kx60 ①

3

y21依设，13k20由根与系数关系，知xx

6k ,xx 6 1 2 12

OMON(x,y1 1

)(x,y2

)xx12

yy1

xx12

(kx1

1)(kx2

= (1k2)xx12

k(x1

x)1 =26(1k2) 6k2 13k21 3k21= 6 13k21OMON23

63k21

1=－23，k=±1。当k=±12 2

时，方程①有两个不等的实数根ly1x1,或y1x12 2【例Px2y21FF的距离之和为定值，且cosFPF

的最小值2 3 1 2 1 2为1．9P的轨迹方程；D(0,3MNP的轨迹上且DMDN，求实数的取值范围．〔〕由可得：c

，a2a2(2c)252a25

1 ∴a299

, b2a2c24∴所求的椭圆方程为

1。9 4(2)方法一：由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为y=kx+3 代入前面的椭圆方程得(4+9k2)x2+54k+45=0 ①由判别式(54k)2449k2450，得k25。再设M(x9 1

)，N(x2

，y2)，则一方面有xxDM(x,y3)DN(x,y 3)(x,(y 3))，得1 21 1 2 2 2

y3(y 3)另一方面有xx

54k

1 2 45 ②1 2 49k2 12 49k2xx1 2

代入②式并消去x2

可得324

49，由前面知，04k2

365∴9

324

81，解得5

15。5又当直线m

1或5，所以5

15为所求。5xx方法二：同上得132(

y y1 22sin 3 (2sin 设点M2sin 3 (2sin 由上式消去α并整理得sin132185，由于1sin112(2)∴1132185115为所求。12(2) 5需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网D的距离的最大值为1的取值范围为15。【例【例】如下图，抛物线y2=4xOA的坐标为(5，0)l与线段4OA相交(OA)M、N两点，求△AMNl的方程，并求△AMN的最大面积。l的方程为y=x+m，－5＜m＜0。yxm2由方程组 ，消去y，得x2+(2m－4)x+m22y 4x∵直线l与抛物线有两个不同交点、，∴方程①的判别式mmmm＜1，又－5＜m＜0，∴m的范围为(－5，0)1 1 2 2 1 2 1 设M(x，y)，N(x，y)则x+x=4－2m，x·x=m2，∴|MN|=4 2(1m)。1 1 2 2 1 2 1 5m点A到直线l的距离为d= 。2∴S=2(5+m) 1mS

22m5m5m2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(

)3=128。△ △ 3∴S≤8 22－2m=5+mm=－1时取等号。△故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 2。【例C：2x2－y2=2P(1，2)。(1)P(1，2)llC分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)假设Q(1，1)，试推断以Q为中点的弦是否存在。解：(1)l的斜率不存在时，lx=1C有一个交点。l有一个交点，两个交点，没有交点。(2)假设Q(1，1)，试推断以Q为中点的弦是否存在。解：(1)l的斜率不存在时，lx=1C有一个交点。lly－2=k(x－1)，(ⅰ)当2－k2=0，即k=± 2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点2－k2≠0，即k≠± Δ=03－2k=0，k=32

时，方程(*)有一个实根，lC有一个交点。Δ＞0k＜

k≠± 2，故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜时，方程(*)有两不3 2 23 等实根，lC有两个交点。3Δ＜0k＞2

时，方程(*)无解，lC无交点。综上知：当k=± 2，或k=3，或k不存在时，l与C只有一个交点；2当2＜k3，或－2＜k＜2k＜－2时，lC有两个交点；2k3时，lC没有交点。21 1 2 (2)QABA(x，y)，B(x，y)1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x2－y2=2，2x2－y2=2两式相减得：2(x－x)(x+x)=(y－y)(y+y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 又∵x1+x2=2，y1+y2=2∴2(x

－x2)=y

－y1k

= 1y

2=2y1 1 ABy

xx1 2但渐近线斜率为± 2，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。【例G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相切．过点P4,0作斜率1为 的直线l，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB 上，又满足4PAPBPC2．求双曲线G的渐近线的方程；求双曲线G的方程；S的中心在原点，它的短轴是GS中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的局部，求椭圆S的方程．〔1〕设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆x2y210x200相切可得：5kk25kk215

．双曲线G的渐近线的方程为：y x．1 2 21 由〔1〕可设双曲线Gx2

4y2

m．把直线ly

1x4代入双曲线方程，整理得3x28x164m0．48 164m则x xA B

, xx3 A

〔＊〕3∵PAPBPC2PABCPAB上，∴x xP A

xB

x xP

x 2xC

44xA

164xA

xxxB A

320将〔＊〕m28x2y21．28 7由题可设椭圆S的方程为：x2y21a2 7．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的28 a2.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网设弦的两个端点分别为Mx,y1 1

,Nx,y2

MNPxy0 0

，则x2 y21 1 1

xxx

x yyy

y28 a2

．两式作差得：1 2 1

2 1 2

2 0x2 y2 28 a22 2 128 a2yy由于1

4，xx

2x,yy

x 所以，0

00，xx1 2

1 2 0 1 2

28 a2x所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线

0截在椭圆S内的局部．28 a2又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的局部，所以，a2 1．112 2a256，椭圆Sx2

y21．28 56点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上〔也即化线段的关系为横坐标〔或纵坐标〕之间的关系〕是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具．【例C的中心为直角坐标系xOys轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别71.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；OPOM〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， =λ，求点MOPOM并说明轨迹是什么曲线。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学学问点总结例题精讲(具体解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由得ac1 x2 y2ac7,解得a4,c3wwks5ucom 所以椭圆C的标准方程为1671〔Ⅱ〕设M(x,y)x

。由

OP2OM2OP2

2P在椭圆C上可得9x211216(x2y2)3

2。整理得(1629)x2162y2

112x4,4。

时。化简得9y24

1124 73所以点M的轨迹方程为y (4x4)，轨迹是两条平行于x4 73

3 x2时，方程变形为

y2

1x4,44 112 1121629 162当0

3时，点My轴上的双曲线满足4x4的局部。431时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足4x4的局部；4当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；3x2 y2 3

的离心率为

FLC相交于AB两点，【例＝1a2 b2

a＞b＞032当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为2 。(Ⅰ)a，b的值；(Ⅱ)CPLF转到某一位置时，有OP＝OA＋OBP的坐标与L的方程；假设不存在，说明理由考点：此题考察解析几何与平面对量学问综合运用力量，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，其次问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，留意特别状况的处理。00c2c2。故c22，2c1〔Ⅰ〕设Fc0,当l的斜率为00c2c2。故c22，2c133a2c22由ec ，得a ，33a2c22a 3〔Ⅱ〕CP，使得当lF转到某一位置时，有OPOAOB成立。由〔Ⅰ〕知C的方程为2x23y2=6A(xy1 1

),B(x,y).2 2(ⅰ)当l不垂直x轴时，设l的方程为yk(x1)C 上的点P使OPOAOB 成立的充要条件是

1

x,y2

y〕且22(x1

x)23(y2

y)262整理得2x21

1

2x22

2

4xx1

6yy 61 2又A、B在C上，即2x21

3y 1

6,2x22

3y22

6。 故2xx1 2

3yy1

30 ①将yk(x1)代入2x2

6,(23k2)x2

6k2x3k2

606k2 3k26 4k2于是xx , xx= ,yy k2(x1)(x 2)1 2 23k2

1 2 23k2 1

1 2 23k2k2

2，此时x x

3yy

k(x

x

k 3 k，即P( , )因此，当k

1 2 22l的方程为22l的方程为2xy20；l的方程为2xy20。时，P( , )，2 2

1 2 1 2 2 2 2k

时，P( , )，2232 2223〔ⅱ〕当lx轴时，由OAOB(2,0知，C上不存在点P使OPOAOB成立。3综上，C上存在点P( ,32

2)使OPOAOB成立，此时l的方程为2xy 202【例】椭圆C：y21 a2

x2b2

1(ab0)A(1,0)，过C1

的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆C1

的方程；设点P在抛物线C2

yx2h(hR上，C2

P处的切线与C1

交于点MN．当线段AP的MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．b1 a2 y2解〔〕由题意得 b2 ,所求的椭圆方程为2 1 b1 4 a

x21〔II〕Mx,y1 1

),N(x,y2

),P(t,t2

h则抛物线C在点Py2

2t，直线MNy2txt2h，xt将上式代入椭圆C1

的方程中，得

4x22txt2h)240 ，即41t2 x24t(t2h)x(t2h)240，由于直线MN与椭圆C1

有两个不同的交点，所以有1

16t42(h2t2h240，设线段MNxx12332设线段MNxx123322(1t2)设线段PAxx44t12，x3x，即有t2(1h)t10，其中的 (1h)240,h1或h3；4 2当h3时有h20,4h 02，因此不等式16t42(h2)t h 4022不成立；1因此h1，当h1时代入方程t2(1h)t10得t1，h1,t1代入不等式16t42(h2)t h 4 022成立，因此的最小值为1．h1【例】设椭圆E:a2 b2x2 y21〔a,b>0〕过M〔2，2〕，N( 6,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕E恒有两个交点A,B,且OAOB？假设存在，写出