双曲线及其标准方程导学案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二数学导学案本学案共6页，第页高二年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：双曲线及其标准方程【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题．【重点难点】掌握双曲线的定义及其标准方程.【学习流程】◎基础感知温故知新1、椭圆的定义平面内到两个定点的距离的和是一个常数，且该常数大于这两个定点之间的距离2、椭圆的标准方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)◎探究未知问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？提示准备实验，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点记忆点：(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．例1已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为()A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线跟踪训练1在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2,0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是()A．(0,4) B．(0,4]C．(4，＋∞) D．(0,4)∪(4，＋∞)二、双曲线的标准方程问题2：类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝c2－a2记忆点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(2)a与b没有大小关系．(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.例2．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，且a>b.()例3求过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq\r(6)，2eq\r(2))的双曲线的标准方程为________．三、双曲线在生活中的应用例4如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.四、（拓展）与双曲线有关的轨迹问题例5如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．◎达标检测1．(教材例题改编)设动点M到点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－5))的距离与它到点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5))的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y>0)) D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>0))2.双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A．1或21 B．14或36C．2 D．213．方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．－2＜m＜2 B．m＞0C．m≥0 D．|m|≥24．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,4)＝15.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq\r(3)，0)6．(多选)双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．17B．7C．22D．27.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.8．以椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的焦点为焦点，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3\r(5),2)))的双曲线的方程为________________．9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；(2)a＝2eq\r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．【总结反思】1、求双曲线的标准方程方法(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不