MATLAB-Char04-试验数据分析与处理20100420

第4章试验数据分析与处理教学目标掌握利用MATLAB进行数据分析的基本方法，掌握MATLAB拟合与插值、回归分析、方差分析的命令；了解MATLAB编写正交试验分析、判别分析、多元相关分析的计算程序。

主讲内容曲线拟合数值插值回归分析*方差分析*正交试验分析*判别分析*多元数据相关分析*MATLAB数理统计基础4.1曲线拟合工程实践中，只能通过测量得到一些离散的数据，然后利用这些数据得到一个光滑的曲线来反映某些工程参数的规律。这就是曲线拟合的过程。给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。4.1曲线拟合

有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：7个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。先讲些预备知识对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。4.1曲线拟合称为“残差”已知x1…xm

;y1…ym,求一个简单易算的近似函数f(x)

来拟合这些数据。但是①m很大；②

yi

本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)这时没必要取

f(xi)=yi,而要使δ

i=f(xi)

yi

总体上尽可能地小。这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，f(x)

称为拟合函数。4.1曲线拟合常见做法：使最小使最小使最小“使δ

i=P(xi)

yi

尽可能地小”有不同的准则4.1曲线拟合4.1.1最小二乘法曲线拟合在科学实验与工程实践中，经常进行测量数据{(xi,yi),i=0,1,…,m}的曲线拟合，其中yi=f(xi),i=0,1,…,m。要求一个函数y=S*(x)与所给数据{(xi,yi),i=0,1,…,m}拟合，若记误差δi=S*(x)-yi,i=0,1,…,m,δ=(δ0,δ1,…,δm)T，设φ0,φ1,…,φn是C[a,b]上的线性无关函数族，在φ＝span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中找一函数S*(x)，使误差平方和：其中：以上就是曲线拟合的最小二乘法，曲线拟合最常用的一种方法。polyfit：进行最小二乘的曲线拟合函数命令p=polyfit(x,y,n)[p,S]=polyfit(x,y,n)[p,S,mu]=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)findsthecoefficientsofapolynomialp(x)ofdegreenthatfitsthedata,p(x(i))toy(i),inaleastsquaressense.Theresultpisarowvectoroflengthn+1containingthepolynomialcoefficientsindescendingpowers4.1.1最小二乘法曲线拟合【例4－1】用二次多项式拟合下列数据x0.10.20.150.0-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72clearx=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];p=polyfit(x,y,2)xi=-0.2:0.01:0.3;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'o',xi,yi,'k');title('polyfit');4.1.1最小二乘法曲线拟合【例】给定5个点的x和y坐标向量分别为x=[13457]，y=[23659]。请由此5点拟合成一条2次曲线方程，并绘出5个点和拟合曲线的图形，图形中点用*号表示。

x=[13457];y=[23659];p=polyfit(x,y,2)x1=1:0.02:7;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*',x1,y1)4.1.1最小二乘法曲线拟合4.2数值插值人口普查数据(千人)年194019501960197019801990人口132,165151,326179,323203,302226,542249,633请推测1930年、1965年、2010年的人口.☞美国人口预测x=[194019501960197019801990];y=[132165151326179323203302226542249633];p=polyfit(x,y,2)x1=1930:5:2010;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*',x1,y1)？一天24小时零点开始每间隔2小时环境温度（度）:129910182428272520181513，☞温度预测

推测中午1点（即13点）的温度.4.2数值插值数据如表:

☞

机翼上缘轮廓曲线

x0.004.749.5019.0038.0057.0076.00y0.005.328.1011.9716.1517.1016.34x95.00114.0133.0152.0171.0190.0y14.6312.169.697.033.990.004.2数值插值三次样条函数画出机翼曲线(MATLAB)x=[0.004.749.5019.0038.0057.0076.0095.0114.0133.0152.0171.0190.0];y=[0.005.328.1011.9716.1517.1016.3414.6312.169.697.033.990.00];xx=0.0:0.1:190;yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(x,y,'*'),pause,holdon,plot(xx,yy)4.2数值插值利用MATLAB函数peaks产生一个山顶曲面数据☞山顶曲面

[x,y,z]=peaks(10);mesh(x,y,z)holdonplot3(x,y,z,'r*')holdoff4.2数值插值通过插值作出更加精细的山顶曲面figure(2)[xi,yi]=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);zi=interp2(x,y,z,xi,yi);mesh(xi,yi,zi)4.2数值插值求

……

……正弦函数表如下本章问题函数值计算设,且已知上个点插值问题插值区间被插值函数

插值函数

插值节点

插值条件

为多项式.插值多项式:

已知数据表，求f(x)的近似函数.求简单函数

,使满足的对应函数值为[a,b]存在且唯一.所谓插值问题：就是已知被插值函数在插值区间上一些互异节点的函数值,求插值函数,使满足插值条件满足个互异节点条件

的多项式【定理1】的求法:

1)待定系数法(解方程组)2)构造法:Lagrange等方法4.2数值插值两点对称式方程：点斜式方程：几何意义：过两个已知点，求直线方程

一、线性插值由两点式

：插值基函数：

4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值二、抛物插值几何意义：

过三个点求抛物线

基函数性质

4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值三、n次拉格朗日插值给定n个插值节点x1,x2,…,xn和对应的函数值y1,y2,…,yn，利用Lagrange插值多项式公式:可以得到插值区间内任意x的函数值y为y(x)=Ln(x)。从公式可以看出，生成的多项式与用来插值的数据密切相关，数据变化则函数就要重新计算，所以当插值数据特别多的时候，计算量会较大。4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值【例】

已知函数表解1）线性插值

取两点，则

抛物插值

2）0.6087614

抛物比线性插值精确.【注】

缺点：计算上不方便Lagrange插值优点：公式整齐对称，适合理论推导,计算机算法容易实现.4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值MATLAB中没有的Lagrange插值命令，以下是用M语言编写的函数文件。functionyy=lagrange(x,y,xx)%Lagrange插值，求数据(x,y)所表达的函数在插值点xx处的插值m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('向量x与y的长度必须一致');ends=0;fori=1:nt=ones(1,length(xx));forj=1:nifj~=i,t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+t*y(i);endyy=s;4.2.1Lagrange插值x0.10.20.150.0-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72【例】测量点数据表如下，用Lagrange插值在[-0.2，0.3]区间以0.01为步长进行插值。clearx=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];xi=-0.2:0.01:0.3;yi=lagrange(x,y,xi);plot(x,y,'o',xi,yi,'k')title('lagrange')4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值4.2.2Hermite插值不少实际的插值问题既要求节点上函数值相等，又要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。已知n个插值节点x1,x2,…,xn和对应的函数值y1,y2,…,yn，以及一阶导数值y’1,y’2,…,y’n，则在插值区域内任意x的函数值y为：MATLAB没有现成的Hermite插值命令，下面是用M语言编写的函数文件。functionyy=hermite(x0,y0,y1,x)%hermite插值，求数据(x0,y0)所表达的函数，以及y1所表达的导数值，在插值点x处的插值n=length(x0);m=length(x);fork=1:myy0=0;fori=1:nh=1;a=0;forj=1:nifj~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy0=yy0+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));end

yy(k)=yy0;end

【例】已知某次实验中测得的某质点的速度和加速度随时间的变化如下，求质点在时刻1.8的速度。t0.10.511.522.53y0.950.840.861.061.50.721.9y111.522.533.54clearclccloseallt=[0.10.511.522.53];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.721.9];y1=[11.522.533.54];yy=hermite(t,y,y1,1.8)t1=[0.1:0.01:3];yy1=hermite(t,y,y1,t1);plot(t,y,'o',t,y1,'*',t1,yy1)4.2.3分段线性插值利用多项式进行函数的拟合与插值并不是次数越高就精度越高，早在20世纪初Runge就给出可一个等距节点插值多项式不收敛的例子，从此这种高次插值的病态现象被成为Runge现象。针对这种问题，人们通过插值点用折线连接起来逼近原曲线，这就是分段线性插值。MATLAB提供了interp1函数进行分段线性插值。yi=interp1(x,Y,xi)yi=interp1(Y,xi)yi=interp1(x,Y,xi,method)4.2.3分段线性插值yi=interp1(x,Y,xi)returnsvectoryicontainingelementscorrespondingtotheelementsofxianddeterminedbyinterpolationwithinvectorsxandY.ThevectorxspecifiesthepointsatwhichthedataYisgiven.IfYisamatrix,thentheinterpolationisperformedforeachcolumnofYandyiislength(xi)-by-size(Y,2).yi=interp1(Y,xi)assumesthatx=1:N,whereNisthelengthofYforvectorY,orsize(Y,1)formatrixY.yi=interp1(x,Y,xi,method)interpolatesusingalternativemethods:

'nearest'Nearestneighborinterpolation'linear'Linearinterpolation(default)'spline'Cubic

splineinterpolation'pchip'PiecewisecubicHermiteinterpolation'cubic'(Sameas'pchip')4.2.3分段线性插值【例】在Runge给出的等距节点插值多项式不收敛的例子中，函数为f(x)=1/(1+x2)，在[-5,5]区间以0.1为步长分别进行Lagrange插值和分段线性插值，比较两种插值结果。clearclccloseallx=[-5:0.1:5];y=1./(1+x.^2);x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interp1(x,y,x0);plot(x0,y0,'o');holdonplot(x0,y1,'--');holdonplot(x0,y2,'*')4.2.3分段线性插值4.2.4三次样条插值在实际工程中，往往要求一些图形是二次光滑的，比如高速飞机的机翼形线。最常用的就是三次样条函数。在MATLAB中，提供了spline函数进行三次样条插值。yy=spline(x,y,xx)pp=spline(x,y)【例4－10】对正弦函数和余弦函数进行三次样条插值。clearclccloseallx=0:.25:1;Y=[sin(x);cos(x)];xx=0:.1:1;YY=spline(x,Y,xx);plot(x,Y(1,:),'o',xx,YY(1,:),'-');holdon;plot(x,Y(2,:),'o',xx,YY(2,:),':');4.2.4三次样条插值4.2.5多维插值在工程实际中，一些比较复杂的问题通长是多维问题，需用多维插值解决。MATLAB中用来进行二维和三维插值的函数分别是interp2和interp3【例4－11】对peak函数进行二维插值。[X,Y]=meshgrid(-3:.25:3);Z=peaks(X,Y);[XI,YI]=meshgrid(-3:.125:3);ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI);mesh(X,Y,Z);holdonmesh(XI,YI,ZI+15);axis([-33-33-520]);4.2.5多维插值4.8MATLAB数理统计基础

4.8.1随机数的产生4.8.2随机变量的概率密度计算4.8.3随机变量的累积概率值(分布函数值)4.8.4统计量的数字特征4.8.1随机数的产生

随机数的产生是概率统计的基础，概率统计就是对各种样本数据进行分析，在实际中，各样本可以用一些经典的随机分布数来表示。1）均匀分布的随机数的产生R=unifrnd(A,B)返回区间[A,B]上的连续型均匀分布

R=unifrnd(A,B,M,N)，返回一个M×N的矩阵

UNIFRNDRandommatricesfromcontinuousuniformdistribution.R=unidrnd(A,B)返回区间[A,B]上的离散型均匀分布

R=unidrnd(A,B,MM,NN)，返回一个MM×NN的矩阵

UNIDRNDRandommatricesfromthediscreteuniformdistribution.>>unifrnd(3,5)ans=4.8436>>unifrnd(3,5,4,4)ans=4.47644.83383.70573.40553.35253.82054.62633.39743.81144.78733.01974.20764.87093.11583.27783.5444>>unidrnd(50)ans=10>>unidrnd(10,4,4)ans=15378574599910616【例】1）均匀分布的随机数的产生二项分布二项分布记为X~b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y为不合格品件数，Y

？Y~b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.二项分布2）二项分布的随机数据的产生命令参数为N，P的二项随机数据函数binorndR=binornd(N,P)%N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数。R=binornd(N,P,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。R=binornd(N,P,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数BINORNDRandommatricesfromabinomialdistribution.>>R=binornd(10,0.5)R=3>>R=binornd(10,0.5,1,6)R=813764>>R=binornd(10,0.5,[1,10])R=6846753562>>R=binornd(10,0.5,[2,3])R=758656【例】2）二项分布的随机数据的产生记为X~N(

,

2),其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.正态分布yxOμ正态分布的性质(1)

p(x)关于

是对称的.p(x)x0μ在

点p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改变,(3)若

固定,

改变,σ小σ大p(x)左右移动,

形状保持不变.

越大曲线越平坦;

越小曲线越陡峭.p(x)x0x

x标准正态分布N(0,1)密度函数记为

(x),分布函数记为

(x).

(x)的计算(1)x

0时,查标准正态分布函数表.(2)x<0时,用若X~N(0,1),则

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,则

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

3）正态分布的随机数据的产生命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据函数normrndR=normrnd(MU,SIGMA)%返回均值为MU，标准差为

SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。R=normrnd(MU,SIGMA,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。R=normrnd(MU,SIGMA,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数。NORMRNDRandommatricesfromnormaldistribution.R=NORMRND(MU,SIGMA)returnsamatrixofrandomnumberschosenfromthenormaldistributionwithparametersMUandSIGMA.>>n2=normrnd(0,1,[15])n2=0.05911.79710.26410.8717-1.4462>>R=normrnd(10,0.5,[2,3])%mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数R=9.783710.06279.42689.167210.143810.5955

【例】3）正态分布的随机数据的产生4）常见分布的随机数产生（表1）4.8.2随机变量的概率密度计算1）通用函数计算概率密度函数值

命令

通用函数计算概率密度函数值函数pdf格式Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)PDFComputesachosenprobabilitydensityfunction.Y=PDF(NAME,X,A)returnsthenamedprobabilitydensityfunction,whichusesparameterA,atthevaluesinX.说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如下表。常见分布函数(表2)例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)【例】

计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。解：>>pdf('norm',0.6578,0,1)ans=0.32131）通用函数计算概率密度函数值2）专用函数计算概率密度函数值命令

二项分布的概率值函数binopdf格式binopdf(k,n,p)%等同于，p—每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数。BINOPDFBinomialprobabilitydensityfunction.Y=BINOPDF(X,N,P)returnsthebinomialprobabilitydensityfunctionwithparametersNandPatthevaluesinX.NotethatthedensityfunctioniszerounlessXisaninteger.命令

泊松分布的概率值函数poisspdf格式poisspdf(k,Lambda)%等同于

POISSPDFPoissonprobabilitydensityfunction.Y=POISSPDF(X,LAMBDA)returnsthePoissonprobabilitydensityfunctionwithparameterLAMBDAatthevaluesinX.命令正态分布的概率值函数normpdf(K,mu,sigma)%计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值。

NORMPDFNormalprobabilitydensityfunction(pdf).Y=NORMPDF(X,MU,SIGMA)Returnsthenormalpdfwithmean,MU,andstandarddeviation,SIGMA,atthevaluesinX.

2）专用函数计算概率密度函数值专用函数计算概率密度函数(表3)4.8.3随机变量的累积概率值(分布函数值)1）通用函数计算累积概率值

命令

通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）。函数cdf格式CDFComputesachosencumulativedistributionfunction.P=CDF(NAME,X,A1)returnsthenamedcumulativedistributionfunction,whichusesparameterA,atthevaluesinX.【例6.6.5】求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。解：>>cdf('norm',0.4,0,1)ans=0.6554

说明

返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表1常见分布函数表。1）通用函数计算累积概率值2）专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）命令

二项分布的累积概率值函数binocdf格式binocdf(k,n,p)%n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。BINOCDFBinomialcumulativedistributionfunction.命令

正态分布的累积概率值函数

normcdf格式

normcdf()%返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数。NORMCDFNormalcumulativedistributionfunction(cdf).P=NORMCDF(X,MU,SIGMA)computesthenormalcdfwithmeanMUandstandarddeviationSIGMAatthevaluesinX.【例】设X~N（3,22）

求：解：p1=p2=p3=p4=则有：>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)p1=0.5328>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)p2=0.9995>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)p3=0.6853>>p4=1-normcdf(3,3,2)p4=0.5000

2）专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）例2.5.1

设X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.9751请编程。p1=normcdf(1.96,0,1)p2=2*normcdf(1.96,0,1)-1专用函数的累积概率值函数(表4)

说明：

累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。

4.8.4统计量的数字特征平均值和中位数（mean、geomean

）数据比较（sort、sortrows

、range）期望和方差（mean、var

）常见分布的期望和方差（unifstat

、binostat

）协方差与相关系数（cov、corrcoee

）1）平均值、中值命令

利用mean求算术平均值格式

mean(X)%X为向量，返回X中各元素的平均值mean(A)%A为矩阵，返回A中各列元素的平均值构成的向量mean(A,dim)%在给出的维数内的平均值说明

X为向量时，算术平均值的数学含义是，即样本均值。

MEANAverageormeanvalue.Forvectors,MEAN(X)isthemeanvalueoftheelementsinX.Formatrices,MEAN(X)isarowvectorcontainingthemeanvalueofeachcolumn.ForN-Darrays,MEAN(X)isthemeanvalueoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.【例

】>>A=[1345;2346;1315]A=134523461315>>mean(A)ans=1.33333.00003.00005.33331）平均值、中值命令

忽略NaN计算算术平均值

NANMEANAverageormeanignoringNaNs.格式

nanmean(X)%X为向量，返回X中除NaN外元素的算术平均值。

nanmean(A)%A为矩阵，返回A中各列除NaN外元素的算术平均值向量。1）平均值、中值【例】>>A=[123;nan52;37nan]A=123

NaN5237NaN>>nanmean(A)ans=2.00004.66672.5000命令

利用median计算中值（中位数）

median(X)%X为向量，返回X中各元素的中位数。median(A)%A为矩阵，返回A中各列元素的中位数构成的向量。median(A,dim)%求给出的维数内的中位数。

>>A=[1345;2346;1315]A=134523461315>>median(A)ans=1345

【例】MEDIANMedianvalue.Forvectors,MEDIAN(X)isthemedianvalueoftheelementsinX.Formatrices,MEDIAN(X)isarowvectorcontainingthemedianvalueofeachcolumn.ForN-Darrays,MEDIAN(X)isthemedianvalueoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.1）平均值、中值2）数据比较命令

排序格式Y=sort(X)%X为向量，返回X按由小到大排序后的向量。Y=sort(A)%A为矩阵，返回A的各列按由小到大排序后的矩阵。

[Y,I]=sort(A)%Y为排序的结果，I中元素表示Y中对应元素在A中位置。sort(A,dim)%在给定的维数dim内排序

Sortinascendingorder.

说明若X为复数，则通过|X|排序。

【例】>>A=[123;452;370]A=123452370>>sort(A)ans=1203524732）数据比较>>[Y,I]=sort(A)Y=120352473I=113322231命令

求最大值与最小值之差函数

rangeY=range(X)%X为向量，返回X中的最大值与最小值之差。Y=range(A)%A为矩阵，返回A中各列元素的最大值与最小值之差。

RANGE

Therangeisthedifferencebetweenthemaximumandminimumvalues.Y=RANGE(X)calculatestherangeoftheinput.FormatricesRANGE(X)isavectorcontainingtherangeforeachcolumn.【例】>>A=[123;452;370]A=123452370>>Y=range(A)Y=353

2）数据比较3）期望命令

计算样本均值函数

mean－Averageormeanvalue.格式

用法与前面一样

【例】

随机抽取6个滚珠测得直径如下：（直径：mm）14.7015.2114.9014.9115.3215.32试求样本平均值。解：>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32]；>>mean(X)%计算样本均值则结果如下：ans=15.0600命令

由分布律计算均值利用sum（Sumofelements.）函数计算【例】

设随机变量X的分布律为：求E(X)E(X2-1)解：在Matlab编辑器中建立M文件如下：X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)Y=X.^2-1EY=sum(Y.*p)运行后结果如下：EX=0Y=30-103EY=1.6000

3）期望4）方差命令

求样本方差函数

varD=var(X)%var(X)=,若X为向量，则返回向量的样本方差。D=var(A)%A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。D=var(X,1)%返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为的方差）D=var(X,w)%返回向量（矩阵）X的以w为权重的方差

VARVariance.Forvectors,VAR(X)returnsthevarianceofX.Formatrices,VAR(X)isarowvectorcontainingthevarianceofeachcolumnofX.命令

求标准差函数

std

格式

std(X)%返回向量（矩阵）X的样本标准差（置前因子为）即：std(X,1)%返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为）std(X,0)%与std(X)相同std(X,flag,dim)%返回向量（矩阵）中维数为dim的标准差值，其中flag=0时，置前因子为；否则置前因子为4）方差STDStandarddeviation.Forvectors,STD(X)returnsthestandarddeviation.Formatrices,STD(X)isarowvectorcontainingthestandarddeviationofeachcolumn.ForN-Darrays,STD(X)isthestandarddeviationoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.STD(X)normalizesby(N-1)whereNisthesequencelength.ThismakesSTD(X).^2thebestunbiasedestimateofthevarianceifXisasamplefromanormaldistribution.STD(X,1)normalizesbyNandproducesthesquarerootofthesecondmomentofthesampleaboutitsmean.STD(X,0)isthesameasSTD(X).STD(X,FLAG,DIM)takesthestandarddeviationalongthedimensionDIMofX.WhenFLAG=0STDnormalizesby(N-1),otherwiseSTDnormalizesbyN.4）方差【例】

求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差14.7015.2114.9015.3215.32解：>>X=[14.715.2114.914.9115.3215.32];>>DX=var(X,1)%方差

DX=0.0559>>sigma=std(X,1)%标准差sigma=0.2364>>DX1=var(X)%样本方差DX1=0.0671>>sigma1=std(X)%样本标准差

sigma1=0.2590

4）方差5）常见分布的期望和方差命令

均匀分布（连续）的期望和方差函数

unifstat格式

[M,V]=unifstat(A,B)%A、B为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差，A、B也可为向量或矩阵，则M、V也是向量或矩阵。UNIFSTATMeanandvarianceofthecontinuousuniformdistribution.[M,V]=UNIFSTAT(A,B)returnsthemeanandvarianceoftheuniformdistributionontheinterval[A,B].>>a=1:6;b=2.*a;>>[M,V]=unifstat(a,b)M=1.50003.00004.50006.00007.50009.0000V=0.08330.33330.75001.33332.08333.0000【例】5）常见分布的期望和方差命令

正态分布的期望和方差函数

normstat格式

[M,V]=normstat(MU,SIGMA)%MU、SIGMA可为标量也可为向量或矩阵，则M=MU，V=SIGMA2。>>n=1:4;>>[M,V]=normstat(n'*n,n'*n)M=1234246836912481216V=149164163664936811441664144256

NORMSTATMeanandvarianceforthenormaldistribution.[M,V]=NORMSTAT(MU,SIGMA)returnsthemeanandvarianceofthenormaldistributionwithparametersMUandSIGMA.【例6.6.20】5）常见分布的期望和方差命令

二项分布的均值和方差函数

binostat格式

[M,V]=binostat(N,P)%N，P为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量或矩阵。>>n=logspace(1,5,5)n=10100100010000100000>>[M,V]=binostat(n,1./n)M=11111V=0.90000.99000.99900.99991.0000>>[m,v]=binostat(n,1/2)m=550500500050000v=1.0e+04*0.00030.00250.02500.25002.5000

【例6.6.21】5）常见分布的期望和方差5）常见分布的期望和方差6）协方差与相关系数命令

协方差函数

covcov(X)%求向量X的协方差cov(A)%求矩阵A的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差，即：var(A)=diag(cov(A))。cov(X,Y)%X,Y为等长列向量，等同于cov([XY])。

COVCovariancematrix.COV(X),ifXisavector,returnsthevariance.Formatrices,whereeachrowisanobservation,andeachcolumnavariable,COV(X)isthecovariancematrix.DIAG(COV(X))isavectorofvariancesforeachcolumn,andSQRT(DIAG(COV(X)))isavectorofstandarddeviations.COV(X,Y),whereXandYarevectorsofequallength,isequivalenttoCOV([X(:)Y(:)]).【例】

>>X=[0-11]';Y=[122]'；>>C1=cov(X)%X的协方差C1=1>>C2=cov(X,Y)%列向量X、Y的协方