二项式系数的性质

6．3.2二项式系数的性质1.理解和掌握二项式系数的性质，并会应用性质解决一些简单问题.2.会求展开式中系数或二项式系数的最大项，理解和初步掌握赋值法及其应用.3.通过对二项式系数的性质的学习，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养.(一)教材梳理填空二项式系数的性质[微提醒]

求二项式系数的最大、最小值时，一定要搞清楚n是奇数还是偶数．[微思考]系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？提示：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(二)基本知能小试1．已知(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于

(

)A．11

B．10C．9 D．8解析：第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.答案：D

[学透用活][典例1]

(1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为

(

)A．第5项

B．第6项或第7项C．第6项

D．第7项(1)根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项、第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的值，即可求出最大项．

2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为

(

)A．第6项

B．第7项C．第8项

D．第9项解析：展开式中共有14项，中间两项(第7,8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：C

题型二求二项展开式的系数和

[学透用活][典例2]设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022·x2022(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2022的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2022|的值．[解]

(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－1)2022＝1. ①2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)由(1)得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，

①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．二、应用性——强调学以致用2．若一个集合含有100个元素，你能计算出这个集合共有多少个子集吗？三、创新性——强调创新意识和创新思维3．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称作“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai－j表示三角形数阵的第i行第j个数，