第8章 梁的位移分析与刚度设计

第八章梁的位移分析与刚度设计主讲教师：毛卫国单位：材料与光电物理学院2023/9/291

在第7章，我们主要学习了梁的纯弯曲、横向弯曲和斜弯曲中正应力与外加力偶的关系，分析了正应力的分布情况，如何判别最大正应力的位置，进而如何判断梁的强度问题。另外，我们知道，当梁受到横向载荷或外加力偶时，其中不仅产生正应力，而且在梁的不同位置处其变形情况也不同。2023/9/292失效(failure)或破坏工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象。(1)强度失效(failurebyloststrength)

指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。(2)刚度失效(failurebylostrigidity)

指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。(3)稳定失效(failurebyloststability)

指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。失效类型：2023/9/293研究的意义位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。尤其是在高精密的仪器、器械中对于材料的弹性变形控制尤为重要。我们要研究材料的变形和位移之间的关系。位移分析也是解决超静定问题与振动问题的基础。2023/9/294上一章中已经提到，如果忽略剪力FQ的影响，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移(Displacement)。位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。2023/9/295在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。若材料的应力-应变关系满足胡克定律，且在弹性范围内加载，则位移与力(均为广义的)之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。2023/9/2968.1基本概念8.1.1梁弯曲后的挠度曲线若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一条连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线(elasticcurve)或挠度曲线(deflectioncurve)，简称弹性线或挠曲线。2023/9/297

根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系其中，ρ和M都是横截面位置x的函数，EI为横截面的弯曲刚度。2023/9/2988.1.2梁的挠度与转角梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(Displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用ω表示变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度(slope)，用θ表示。横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移(horizontaldisplacement)，用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度ω相比为高阶小量，故通常不予考虑水平位移u

。所以我们主要关注挠度ω和转角θ之间的关系2023/9/299+所以我们得到了挠度ω和转角θ之间的微分关系挠度方程(deflectionequation)Zy2023/9/29108.1.3梁的位移与约束密切相关约束不同导致梁的位移不相同。2023/9/29118.2小挠度微分方程及其积分

应用挠度曲线的曲率与弯矩和弯曲刚度之间的关系式，以及数学中关于曲线的曲率公式有梁的挠曲线近似微分方程，又称为Euler-Bernoulli方程。2023/9/2912符号问题：挠度ω和转角θ的正负号由所选坐标系的正方向来确定。沿y轴正向的挠度ω为正+，反之为负；将x轴绕坐标原点旋转90o与y轴重合，转角θ和它的转向相同为正，反之为负。弯矩M(x)的正负号确定依旧与第5章的符号规则一样。2023/9/2913补充知识曲率的定义：2023/9/29142023/9/29152023/9/2916挠度符号按照数学中的符号规定，与坐标系的选取有关。弯矩的符号与前面第五章的规定一致，与坐标选取无关。即M(x)为+，则梁的曲线向下凸。

M(x)为-，则梁的曲线向上凸。MM2023/9/2917ωxωxωxωx2023/9/2918

根据弯矩的正负号规则和上面所选取的坐标系，弯矩和挠度二阶导数总是不一致的，所以在公式右边应该取负号。通常选取的坐标：ωx2023/9/2919对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠度方程与转角方程为:C、D为积分常数。该方法称为积分法(Integrationmethod)。2023/9/29208.2.2积分法中常数的确定利用约束条件和连续条件约束条件对挠度和转角的限制。在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件是挠度等于零，即ω＝0，θ≠0在固定端处，约束条件是挠度等于零，即ω＝0

转角等于零，即θ＝02023/9/2921连续条件梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线。在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等，

ω1＝ω2θ1＝θ22023/9/29222023/9/2923得到了带待定参数的挠度方程和转角方程。2023/9/29242023/9/2925其方法类似于第5章所求的剪力方程和弯矩方程！2023/9/29268.3工程中的叠加法基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法(superpositionmethod),由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表(参见本章表8-1)。2023/9/2927表8-1梁的挠度与转角公式2023/9/2928作业：3、4、8、92023/9/2929叠加法基本思想

各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角，等于各个载荷单独作用时同一截面的挠度和转角的代数和。叠加原理的限制：叠加原理要求梁的某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：弯矩M与曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性的。曲率与挠度成线性关系，这就要求梁为小变形。原理2023/9/29302023/9/29312023/9/29322023/9/29338.3.2叠加法应用于间断性分布载荷作用的情况思路：2023/9/29342023/9/29352023/9/29368.4简单的超静定梁

与求解拉伸、压缩杆件的静不定问题相似，求解静不定梁时，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。2023/9/2937(1)首先要判断静不定的次数，也就是确定有几个多余约束；(2)然后选择合适的多余约束，将其去除，使静不定梁变成静定梁；(3)在解除约束处代之以多余约束力；(4)最后将解除约束后的梁与原来的静不定梁相比较，多余约束处应当满足什么样的变形条件才能使解除约束后的系统的受力和变形与原来的系统弯曲等效，从而写出变形协调条件。思路：如何得出变形协调条件？2023/9/2938多余的约束=多余的约束力(未知的外力)+变形协调条件2023/9/2939四个未知数，三个独立方程。2023/9/29402023/9/