2024届一轮复习人教A版 第六章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积 课件（49张）

第二讲空间几何体的表面积与体积课标要求考情分析知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题1.从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考的必考内容，考查形式可以是直接求几何体的表面积和体积，也可以是根据几何体的体积、表面积求某些元素的量.2.同时要特别注意内切球与外接球相关的计算问题，全国卷多年都有考查.3.题型一般为选择题、填空题几何体侧面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl柱、锥、台和球的侧面积和体积几何体侧面积体积圆台S侧＝π(r1＋r2)l直棱柱S侧＝ChV＝Sh(续表)几何体侧面积体积正棱锥正棱台球S球面＝4πR2(续表)【名师点睛】(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论①正方体的棱长为a，球的半径为R：a.若球为正方体的外接球，则2R＝

考点一几何体的表面积

[例1](2022年济南市调研)如图6-2-1，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是()图6-2-1

解析：如图6-2-2所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.图6-2-2答案：C【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.【变式训练】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()答案：A2.(2022年南京市质检)如图6-2-3所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________.

图6-2-3

解析：由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图D26，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作AB的垂线，垂足为点F.图D26则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h＝4，母线长l2＝5.圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2

考点二几何体的体积考向1多面体的体积通性通法：求几何体体积的常用方法[例2](1)(2021年全国Ⅱ)已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()

图6-2-4答案：D

(2)(2022年天津卷改编)如图

6-2-5，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面)是顶角为120°、腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为(

图6-2-5A.23B.24C.26D.27

解析：如图6-2-6，该几何体由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB组成，作HM⊥CB于点M.因为CH＝BH＝3，∠CHB图6-2-6

在直棱柱AFD-BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB.设重叠后的EG与FH交点为I，答案：D考向2旋转体的体积

通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.[例3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部)分的体积之比是( A.1∶1 C.1∶7

B.1∶6D.1∶8解析：如图6-2-7，设圆锥底面半径OB＝R，高PO＝h，图6-2-7答案：C【考法全练】1.(考向2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()

解析：设圆台上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，上底面面积为S1，下底面面积为S2，圆台高为h，则S1＝π，S2＝4π，

∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，答案：D2.(考向1)如图6-2-8，已知三棱台ABC­A1B1C1中，S△ABC＝25，图6-2-8答案：(1)50(2)30考点三组合体的表面积与体积

[例4]如图6-2-9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.图6-2-9

解：如图6-2-9，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，【题后反思】

求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差).【变式训练】

(2023年城厢区校级期中)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》有如下叙述：“邪解立方，得两堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：将一个长方体沿对角面斜截(图6-2-10)，得到一模一样的两个堑堵(图6-2-11)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截(图6-2-11)，得一个四棱锥称为阳马(图6-2-12)，一个三棱锥称为鳖臑(图6-2-13).图6-2-10图6-2-11图6-2-12图6-2-13若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项不正确的是()A.V1＋V2＋V3＝VB.V1＝2V2C.V2＝2V3D.V3＝V

6答案：B⊙巧解简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.

[例5](2022年全国乙卷理科)已知球

O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()解析：对于圆内接四边形，如图6-2-14所示，图6-2-14

当且仅当AC，BD为圆的直径，且AC⊥BD时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形， ∴当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边

【题后反思】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略

(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.

(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【高分训练】1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________.解析：如图D27，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.图D27答案：100π

2.(2022年郑州市期末)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用.图6-2-15是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作