2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-2-2　双曲线的简单几何性质 作业

3．2.2双曲线的简单几何性质建议用时：45分钟1.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．eq\f(3\r(14),14) B．eq\f(3\r(2),4)C．eq\f(3,2) D．eq\f(4,3)C[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝eq\f(3,2).]2.双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为2，且过点（eq\r(2)，eq\r(3)），则双曲线的方程为（）A．2x2－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．5x2－3y2＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1B[因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1过点（eq\r(2)，eq\r(3)），则有eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1①，又离心率为2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2②，由①②可得，a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.故选B.]3.双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，则双曲线C的焦距等于（）A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)C[由已知得e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝eq\f(1,2)c，故b＝eq\r(c2－a2)＝eq\f(\r(3),2)c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，由焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，得eq\f(\r(3),2)c＝eq\r(3)，解得c＝2，故2c＝4，故选C.]4.已知双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，过P（1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l（）A．4条 B．3条C．2条 D．1条B[因为双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，所以P（1，0）是双曲线的右顶点，所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．]5.已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于（）A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4B[根据题意，可知其渐近线的斜率为±eq\f(\r(3),3)，且右焦点为F（2，0），从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝eq\r(3)（x－2），分别与两条渐近线y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x联立，求得M（3，eq\r(3)），Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，所以|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝3.]6.与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦点，离心率之和为eq\f(14,5)的双曲线标准方程为．解析椭圆的焦点是（0，4），（0，－4），∴c＝4，e＝eq\f(4,5)，∴双曲线的离心率等于eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2，∴eq\f(4,a)＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.答案eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝17.过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1，作倾斜角为eq\f(π,6)的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝．解析双曲线的左焦点为（－2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为y＝eq\f(\r(3),3)（x＋2），即x－eq\r(3)y＋2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2＝0，,x2－\f(y2,3)＝1))得8y2－12eq\r(3)y＋9＝0，则y1＋y2＝eq\f(3\r(3),2)，y1y2＝eq\f(9,8).∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])＝eq\r(（1＋3）[（\f(3\r(3),2)）2－4×\f(9,8)])＝3.答案38.设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．解析设椭圆C1的方程为eq\f(x2,a12)＋eq\f(y2,b12)＝1（a1>b1>0），由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＝26，,e＝\f(c1,a1)＝\f(5,13)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,c1＝5.))∴焦距为2c1＝10.又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为eq\f(x2,a22)－eq\f(y2,b22)＝1（a2>0，b2>0），则a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32，∴曲线C2的方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝19.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；（2）焦点在x轴上，离心率为eq\r(2)，且过点（－5，3）；（3）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.解（1）设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a＞0，b＞0）.由题意知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.（2）∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1（a＞0）.把点（－5，3）代入方程，解得a2＝16.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1.（3）设以y＝±eq\f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ（λ≠0），当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6⇒λ＝eq\f(9,4).当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.10.已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，求过点A（3，－1）且被点A平分的弦MN所在直线的方程．解方法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k（x－3），即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得（1－4k2）x2＋8k（3k＋1）x－36k2－24k－8＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1＋x2＝eq\f(8k（3k＋1）,4k2－1).∵A（3，－1）为MN的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k（3k＋1）,2（4k2－1）)＝3，解得k＝－eq\f(3,4).当k＝－eq\f(3,4)时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.方法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），∵M，N均在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x12,4)－y12＝1，,\f(x22,4)－y22＝1，))两式相减，得eq\f(x22－x12,4)＝y22－y12，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4（y2＋y1）).∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4（y2＋y1）)＝－eq\f(3,4).经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)（x－3），即3x＋4y－5＝0.11.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－eq\f(3,4)，则该双曲线的离心率为（）A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(10)C[易知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝n，则m－n＝2a，由tan∠ABC＝－eq\f(3,4)，得tan∠ABF1＝eq\f(3,4)，又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，所以tan∠ABF1＝eq\f(m,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB)))＝eq\f(3,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\f(4,3)m，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(4,3)m－n，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))＝2a＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF2))＝2a＋eq\f(4,3)m－n＝4a＋eq\f(1,3)m，由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))eq\s\up12(2)得m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,3)m))eq\s\up12(2)，因为m>0，故解得m＝3a，则n＝3a－2a＝a，在△AF1F2中，m2＋n2＝（2c）2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2).故选C.]12.（多选题）已知F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为eq\f(π,6)的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是（）A．∠PF2F1＝eq\f(π,3)B．|MF2|＝eq\f(1,2)|PF1|C．E的离心率等于eq\r(3)D．E的渐近线方程为y＝±eq\r(2)xBCD[如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，|MF2|＝eq\f(1,2)|PF1|，故A错误，B正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)c，|PF2|＝2ctan30°＝eq\f(2\r(3),3)c，则2a＝|PF1|－|PF2|＝eq\f(2\r(3),3)c，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(2)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x即为y＝±eq\r(2)x.故C，D正确．]13.直线y＝eq\r(3)x与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）左右两支分别交于M，N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|eq\o(FO,\s\up12(→))|＝|eq\o(MO,\s\up12(→))|，则双曲线的离心率等于Ｗ．解析由题知|eq\o(MO,\s\up12(→))|＝|eq\o(NO,\s\up12(→))|＝|eq\o(FO,\s\up12(→))|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连结NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝eq\r(3)c，由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝eq\r(3)c－c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.答案eq\r(3)＋114.已知椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1与双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝，cos∠F1PF2的值为Ｗ．解析因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2\r(6)，,|PF1|－|PF2|＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\r(6)＋\r(3)，,|PF2|＝\r(6)－\r(3)，))又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,3).答案eq\r(6)＋eq\r(3)eq\f(1,3)15.已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0.（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线l：y＝kx＋eq\r(3)与椭圆C2：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＜6（其中O为原点），求k2的取值范围．解（1）根据题意，C1的渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0，则设双曲线C1的方程为eq\f(x2,3)－y2＝λ（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，又双曲线的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，于是由