1垂径定理课件模板

28.4垂径定理学习目标1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论.（重点）2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）新课导入问题

：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.●O操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？1.垂径定理知识讲解问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?相等线段:AE=BE；相等劣弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒

⌒⌒⌒⌒·OABCDE（1）垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.推导格式想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC归纳已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为Ｅ.求证：AＥ=BＥ，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.

想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.推导格式ＤＣＡＢＥＯ2.垂径定理的推论

思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.提示：圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.OABNDMC一条直线满足五个条件：①过圆心②垂直于弦③平分弦（非直径）④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③①②③④⑤知二推三总结：例如图所示，已知CD为☉O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.解：如图所示，连接OA.设☉O的半径为r.∵CD为☉O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE.∵AB=8，∴AE=BE=4.在Rt△OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED，即r2=(r-2)2+42.解得r=5，从而2r=10.所以直径CD的长为10.在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：（2）弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·拓展归纳随堂训练1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条

B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦

D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.∠AOD＝∠BODB.AD＝BDC.OD＝DCD.

BC65cm3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的长是

.4.已知⊙O中，弦AB＝8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.

5.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？解：连接AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC-CD＝5-1＝4.∵OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴AD＝＝3.又∵AB为⊙O的弦，∴AB＝2AD＝6.课堂小结垂径定理定理推论辅助线推论1：平分