充分条件必要条件

充分条件、必要条件一、充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．二、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件1、充分不必要条件：如果且，则称是的充分不必要条件；2、必要不充分条件：如果且，则称是的必要不充分条件；3、充要条件：如果且，则称是的充分必要条件，简称充要条件；4、既不充分也不必要条件：如果且，则称是的既不充分也不必要条件三、充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；四、充分条件、必要条件的判断方法1、定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．2、命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.3、集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围.4、传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件.五、探求充要条件的两种方法1、先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．2、将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．题型一充分、必要条件的判断【例1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，成立，当时，不一定成立，如，故是的充分不必要条件，故选：A．【变式11】（2023秋·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）“”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分条件.故选：B.【变式12】（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的条件．（填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．）【答案】必要不充分条件.【解析】故不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”，所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件【变式13】（2023秋·高一课时练习）下列说法不正确的是．（只填序号）①是的必要条件；②是的充分不必要条件；③是且的充分条件；④是的充分不必要条件．【答案】①③【解析】①中，命题：若是的必要条件的逆否命题为若是的必要条件，由，可得或，所以是的充分条件，所以①不正确；②中，若，则成立，即充分性成立；反之：若，则不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，所以②正确；③中，由，可得或，所以是且的必要条件，所以③不正确；④中，由，可得，所以是的充分不必要条件，所以④正确.故选：①③【变式14】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）（多选）已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（）A．是成立的充要条件B．是成立的必要不充分条件C．是成立的充分不必要条件D．是成立的必要不充分条件【答案】ACD【解析】依题意得，，，，由，得，但不一定能推出，故A不正确；由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故B正确；因为不一定能推出，不一定能推出，所以C不正确；因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故D不正确.故选：ACD题型二探求充要条件【例2】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）设，则“”的一个充要条件是（）A．a，b都为2B．a，b都不为2C．a，b中至少有一个为2D．a，b都不为0【答案】C【解析】或中至少有一个为.故选：C【变式21】（2022秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）设，则“”的充要条件是（）A．a，b都为B．a，b不都为C．a，b中至少有一个为D．a，b都不为0【答案】C【解析】，，于是得或，因此a，b中至少有一个为，反之当a，b中至少有一个为时，，“a，b中至少有一个为”是“”的充要条件，C正确；而“或”可以是“a，b中只有为”，A不正确；“或”可以是“a，b都为”，B不正确；“或”可以是“a，b中一个为，另一个为0”，D不正确.故选：C【变式22】（2021·高一课时练习）设集合，，则“且”成立的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知且，则且，即.所以“且”的充要条件为．故选：D【变式23】（2023·全国·高一专题练习）（多选）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；对于B，如下Venn图，若，则，若，则，故正确；选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.故选：ABCD.题型三充分必要条件的证明【例3】（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.【答案】证明见解析.【解析】证明：先证充分性：若a＋b＝1则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，成立综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.【变式31】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知集合．（1）判断8、9、10是否属于集合A；（2）已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．【答案】（1），，；（2）证明见解析【解析】（1）∵，，∴，，假设，m，，则，且，∵，或，显然均无整数解，∴，∴，，.（2）∵集合，则恒有，∴，∴即一切奇数都属于A，又∵，，∴“”的充分不必要条件是“”.【变式32】（2023·全国·高一假期作业）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【答案】证明见解析【解析】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【变式33】（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【答案】，证明见解析.【解析】.证明如下：充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，，最大，即，，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得，与已知矛盾，△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得.综上，为锐角三角形的一个充要条件为.题型四根据充分、必要条件求参数【例4】（2023秋·福建厦门·高一统考期末）（多选）已知集合,若是的充分条件,则a可以是（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】因为是的充分条件，所以,所以有.故选:AB【变式41】（2023秋·高一课时练习）已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】∵p是q的必要条件，∴，则有，解得.则实数a的取值范围为故答案为：【