第02讲函数的单调性与最大（小）值

第02讲函数的单调性与最大（小）值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值一．确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1．（1）函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.【详解】错解：令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为.故选：A.错因：没有考虑函数的定义域.正解：由可得或，故函数的定义域为.令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为.故选：D（2）函数的单调递增区间是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】结合绝对值的含义与二次函数的性质，可画出函数的图象，即可求出函数的单调递增区间.【详解】，当或时，；当时，，如图所示，函数的单调递增区间是和.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，属于基础题.（3）函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(2，＋∞)C．(0，2)D．(－2，2)【答案】C【分析】根据导函数与函数单调性的关系，令y'＜0，解出x的范围即可．【详解】∵y=x2（x﹣3）=x3﹣3x2，∴y′=3x2﹣6x，∴令3x2﹣6x＜0

得0＜x＜2，故函数的单调递减区间是（0，2）．故选C．【点睛】本题主要考查用导数求函数的单调区间的问题，属于基础题.（4）函数得单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】外层函数是减函数，求内层函数的单调减区间，还要注意定义域.【详解】令：

单调递减区间是故选D【点睛】本题考查指数函数单调性与复合函数单调性的判断，复合函数的单调性判断方法：同增异减，但要注意定义域的确定.（5）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间.【详解】由可得或∵在单调递增，而是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，故选D.【复习指导】：(1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．(3)复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.命题点2判断或证明函数的单调性例2．（1）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C（2）已知函数．=1\*GB3①用定义法证明:在上单调；=2\*GB3②求在上的最大值与最小值．【答案】=1\*GB3①证明见解析；=2\*GB3②，.【分析】=1\*GB3①利用单调性的定义证明，首先设，然后作差，然后判断正负，即可证明单调性；=2\*GB3②根据=1\*GB3①证明的单调性，求函数的最值.【详解】=1\*GB3①证明：设，由已知，故，则，故在上单调递增=2\*GB3②由=1\*GB3①可知在上单调递增，故当时，（3）已知函数．=1\*GB3①试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；=2\*GB3②对任意时，都成立，求实数的取值范围．【答案】=1\*GB3①在上单调递减，证明见解析；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.=2\*GB3②由=1\*GB3①及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围．【详解】=1\*GB3①函数在区间上单调递减，以下证明：设，∵，∴，，，∴，∴在区间上单调递减；=2\*GB3②由=1\*GB3①可知在上单调减函数，∴当时，取得最小值，即，对任意时，都成立，只需成立，∴，解得：．（4）试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【详解】方法一设－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．方法二f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．（5）已知a>0，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．【详解】方法一(定义法)设x1>x2>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，当x1，x2∈(0，eq\r(a)]时，0<x1x2<a，∴x1x2－a<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，当x1，x2∈[eq\r(a)，＋∞)时，x1x2>a，∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．方法二(导数法)f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)(x>0)，令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>eq\r(a)，令f′(x)<0⇒x2－a<0⇒0<x<eq\r(a)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．（6）已知定义域为，对任意都有，当时，，.=1\*GB3①求和的值；=2\*GB3②试判断在上的单调性，并证明；=3\*GB3③解不等式：.【答案】=1\*GB3①，；=2\*GB3②见解析；=3\*GB3③【分析】=1\*GB3①令代入，即可求出；令代入，即可求出；=2\*GB3②根据函数单调性的定义，结合题中条件，即可判断出结果；=3\*GB3③根据题意，将原不等式化为，再由（2）的结果，即可求出不等式的解集.【详解】=1\*GB3①因为对任意都有，所以，令，则，所以；令，则，因为，所以；=2\*GB3②任取，则，，当时，，，在上单调递减；=3\*GB3③因为，所以原不等式可化为；即，由（2）可得，解得或；即原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，抽象函数单调性的判定，以及根据函数单调性解不等式等问题，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.【复习指导】：确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断或证明函数单调性的步骤：(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．二．函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3．（1）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由增函数的定义知，在上是增函数，即可得出的大小.【详解】由可得函数在上是增函数，所以.故选：D.（2）已知函数，若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函数解析式可知是上的减函数，可得出，，，然后即可得出，，的大小关系，进而得出，，的大小关系．【详解】解：是上的减函数，是上的减函数，是上的减函数，，，，，．故选：．（3）已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（

）A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a【答案】C【分析】由题意可得为奇函数，且在上单调递增，进而判断出为偶函数，且在上递增，即可比较大小.【详解】解：依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增，因此，，故选：C．【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.（4）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.【详解】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C（5）函数是上的减函数，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.【详解】，，，，，，是上的减函数，.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点考查指对数比较大小，属于简单题型.（6）(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2【答案】B【详解】由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.[高考改编题]已知2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，则()A．a>2b B．a<2bC．a<b2 D．a>b2【答案】A【详解】4b＋2log4b＋1＝22b＋＋1＝22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a>22b＋log22b，∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，∴a>2b.【复习指导】：（1）比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合，不仅能比较大小，还可以解不等式.（2）观察比较各个函数值的特点，合理构造新函数，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.（3）作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的较常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．（4）比较大小时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.（5）可利用中间量大小比较同一区间的取值.命题点2求函数的最值例4．（1）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B（2）若，不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C．{a|a＞1} D．【答案】D【分析】将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解.【详解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，显然在上单调递减，所以实数a的取值范围是故选：D【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.（3）函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3【详解】与y=－log2(x＋2)都是[1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[1，1]上的减函数，∴最大值为：f（1）=3故答案为3．（4）函数的值域是__________【答案】【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域,再由函数的单调性求得答案.【详解】由,得，又在上的增函数,在上也是增函数,

在上是增函数,

则函数的值域为故答案为:（5）若函数的值域是，则函数的值域是________.【答案】【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是.故答案为：【复习指导】：(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．(5)图象法求函数最值的一般步骤：(6)求函数值域（最值）的一般方法：=1\*GB3①分离常数法；=2\*GB3②配方法；=3\*GB3③不等式法；=4\*GB3④单调性法；=5\*GB3⑤换元法；=6\*GB3⑥数形结合法（图像法）；=7\*GB3⑦导数法．命题点3解函数不等式例5．（1）已知是定义在上的单调递减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，则，解得故选：D..（2）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，，，，，，，，再分类讨论解不等式即可.【详解】因为奇函数在上单调递增，定义域为，，所以函数在上单调递增，且.所以，，，，，，，.因为，当时，，即或，解得.当时，符合题意.当时，，或，解得.综上：或.故选：A（3）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．【答案】(－2,1)【详解】根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1.（4）若函数是奇函数，且在定义域R上是减函数，，不等式的解集是______.【答案】【分析】首先根据函数是奇函数，求，再利用函数的单调性解不等式.【详解】若函数是奇函数，且在定义域R上是减函数，，可得，则不等式即为，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.（5）已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是______.【答案】.【分析】根据函数定义域的对称性求出,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数在定义域上是偶函数，所以，解得，所以可得又在上单调递减，所以在上单调递增,因为，所以由可得，解得.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.【复习指导】：求解函数不等式的方法：1．解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.2．=1\*GB3①若单调递增，则；=2\*GB3②若单调递减，则；=3\*GB3③若是偶函数，且在上单调递增，根据偶函数图像关于y轴对称可知，距离远点越远的点，函数值越大，把转化为，解绝对值不等式即可。3．利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.命题点4求参数的取值范围例6．（1）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D（2）已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.【详解】若f（x）是定义域（∞，+∞）上的减函数，则满足即，整理得.故选B【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.（3）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A．(1，2） B． C．(2，1) D．【答案】A【分析】将化为，再由单调区间可得答案.【详解】，因其在上单调递减，则，得.故选：A（4）已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，1]【详解】令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，又y＝et为增函数，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.（5）已知是定义在R上的偶函数，且在区间满足，则的取值范围是______.【答案】【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．【复习指导】：利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.2．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：A3．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故选：D.4．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．考点：幂函数、指数函数的单调性．5．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．故选：B．6．已知定义在上的偶函数，对任意不相等的，有，当时，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知不等式得函数在上的单调性，再由偶函数性质得在上的单调性，结合偶函数性质得距离轴越远的自变量的函数值越小，从而可得结论．【详解】由题意，函数在区间上单调递增，函数图象关于轴对称，所以函数在上单调递减；又，，距离轴越远的自变量的函数值越小，则，故选：C.【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，利用奇偶性性质得函数在关于轴对称区间上的单调性，从而可比较函数值大小．7．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B．【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．8．已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：C9．已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到函数的周期为6，利用为偶函数，得到，将化成，再比较的大小关系，最后利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】因为，所以的最小正周期，因为为偶函数，所以，所以，因为，，且在(0，3)内单调递减，所以.故选A.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.10．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助函数的单调性，可得解【详解】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A11．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可【详解】∵，，∴．故选：C．12．设的定义域为R，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象的对称得函数是偶函数，这样可把自变量的值都化为正数，然后利用已知增函数的定义得出函数值的大小．【详解】∵的定义域为R，图象关于y轴对称，∴是偶函数，∴，又在上为增函数，且，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，利用偶函数的定义把自变量化到同一单调区间上，然后由单调性得出大小关系．13．若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.【详解】解：由对，且，都有，所以函数在上递减，又函数为偶函数，所以函数关于对称，所以，又，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即.故选：A.14．若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设，，，构造，利用导数研究其单调性，进而判断的大小.【详解】由题设知：，，，令，则，易知上单调递增，上单调递减，即，∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.15．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．16．函数，的值域是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的值域即可【详解】任取，且，则，当，且时，，，所以，即，当，且时，，，所以，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，所以在上的值域为故选：A17．已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是定义在上的单调函数可推知，表示出，再作商法，运用换底公式变形，比较出的大小即可求解.【详解】由已知得，则，所以，，，所以，则，，则，所以．又因为是上的单调减函数，所以故选：B．【点睛】作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．18．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．19．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.20．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.21．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数为奇函数且在单调递减，求得，结合函数的单调性，把不等式转化为，得到，即可求解.【详解】由题意，函数为奇函数且在单调递减，因为，可得，要使不等式成立，即成立，则实数满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中结合函数的单调性和奇偶性合理转化为是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B23．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，故选：C24．已知，，若成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得，由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，即函数的定义域为，又由函数当时，单调递减，则不等式可化为，可得不等式组，解得，即不等式的解集为.故选：D.26．已知函数，对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列出不等式组，即可求解.【详解】对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，可知函数在上单调递减，则，解得所以实数的取值范围为故选：B27．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．【详解】解：因为当时，为减函数，又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，当时，一次函数单调递减，当时，指数函数，所以将代入得：，又因为在上为单调递减函数，所以，解得：，故选：D．28．已知是R上的减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】需满足每段函数单调递减，要注意端点值处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值.【详解】由于是R上的减函数，则需满足，即，解得，故选：B.29．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由f(x)为奇函数可知，＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0<x<1，或－1<x<0.选D30．设函数,则使成立的的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．31．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)【答案】C【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．32．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.【详解】解：根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，可解得：或，即的取值范围为，，，故选：C．33．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.34．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．35．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，可转化为，所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，即x的取值范围是.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.36．(多选)若函数在上是单调函数，则的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BCD【分析】依题意可得在上单调递增，即可得到，解得即可.【详解】解：因为函数在上是单调函数，当时，函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得，即，故符合题意的有B、C、D；故选：BCD37．函数f(x)=lg()的单调增区间____________.【答案】【分析】令t=＞0，求得函数的定义域，根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质，得出结论．【详解】令t=＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为{x|0＜x＜2}，根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为，故答案为：．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．38．写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.39．函数在区间上的最小值为__________．【答案】【分析】对函数进行分子常数化，结合函数的单调性即可求得最小值.【详解】∵函数∴函数在区间上为单调增函数∴当时，函数取得最小值，为.故答案为：.40．已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________（写成集合或区间的形式）【答案】【分析】根据题意构造，判定函数的单调性和奇偶性，利用赋值法得到，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】解：因为，所以当时，，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以，所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.41．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】根据二次函数的单调性，列出不等式，求解即可.【详解】根据题意，，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.42．幂函数在上是减函数，则实数的值为______.【答案】1【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数知，得或.当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，∴.故答案为【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.43．已知函数为上的奇函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以，当时，，所以.所以.（2）由于二次函数的开口向上，对称轴为，所以在上递增，故在上递增，由，得，所以，所以不等式的解集为.44．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】由题意可得，对a讨论，可得所求解集；求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范围．【详解】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．45．若,求的最大值和最小值.【答案】最大值为；最小值为【分析】根据对数的运算性质，得到函数，又由，根据二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得函数又,∴.∴当,即时,;当,即时,.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答熟记对数函数的图象与性质，结合二次函数图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.46．已知函数.(1)用定义证明函数在上为减函数；(2)若，求函数的值域；(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）利用函数的单调性的定义及的单调性进行证明；（2）利用函数的单调性求其值域；（3）先求出当时的值域，再令即可求解.【详解】(1)证明：函数的定义域为R，设且，则.因为，所以，，，所以，即．所以函数在上为减函数．(2)解：因为函数在上为减函数，所以当时，，.所以当时，的值域为.(3)解：由(2)得，当时，的值域为，因为，所以当时，.因为在上恒成立，所以，解得，即实数的取值范围为.47．已知函数其定义域为（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.（2）若求的取值范围.【