第七章线性变换综合练习解答

第七章线性变换综合练习一、单选题1．维线性空间的线性变换有个不同的特征值，是与对角矩阵相似的（A）．A．充分而非必要条件；B．必要而非充分条件；C．充分必要条件；D.既非充分也非必要条件．2.矩阵相似，则下列描述中不正确的是（D）A．；B．是数域上的多项式，则；C．；D．一定相似于对角形矩阵.3.阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的(A).A．充分而非必要条件；B必要而非充分条件；C．充分必要条件；D.既非充分也非必要条件．4.令是R3的任意向量，则映射（B）是R3的线性变换。A．；B．；C．；D．．5．设是线性空间的一组基，线性变换在此基下矩阵为，则在下的矩阵为(B)A．B．C．D．6．设3阶矩阵的特征值为1，3，5，则的行列式||等于（D） A．3;B．4;C．9;D．157．设均为n阶矩阵,且相似，则下列结论正确的是（D） A．有相同的特征值和特征向量;B．;C．都相似于一个的对角矩阵;D．对任意常数都有，.8．A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根，则A的伴随矩阵的特征根之一是（B）A．;B．;C．;D．9．是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值是（B）A．;B．;C．;D．10．n阶矩阵A相似于某对角矩阵，则（D）A．r(A)=n;B．A有不同的特征值;C．A是实对称矩阵;D．A有n个线性无关的特征向量11.下列结论正确的是（D）Ａ．的解向量都是的属于的特征向量；Ｂ．如果是的属于的特征向量，则的倍向量也是的属于的特征向量；Ｃ．如果都是的属于的特征向量，则其线性组合也是的属于的特征向量；Ｄ．如果都是的属于两个互异特征值的特征向量，则线性无关．12．设阶矩阵有一个特征根是2，对应的特征值是，下列等式中错误的是（C）．Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．二．填空题1.线性空间上的线性变换关于它的基的矩阵是．2.设线性变换在基下的矩阵是，则在基下的矩阵是．3.在由函数1,生成的子空间V=中，微商变换关于基下的矩阵是．4．：，；：，则．．．5.，是的一组基，在该基下的矩阵分别为，则和在该基下的矩阵分别为和．6.线性空间中的线性变换,那么关于基的矩阵是．7.线性空间的任意线性变换,都有；．8.是上的线性变换，若，则．9.在中定义线性变换为：，写出在基下的矩阵．10.若与相似，则=．11.设矩阵A与矩阵B相似，则＝，＝．12.设是一个3×3矩阵，如果2，－3，－1是的特征值，则矩阵的特征值为，行列式．13.若４级矩阵与相似，且矩阵的特征值为，则行列式＝．14.阶方阵A满足，则的特征值为．15.已知线性变换满足，则的特征值为．16.设是级矩阵，是的全部特征值，，则的全部特征值是．17.是数域上3维线性空间的线性变换，特征值为1，2，-3，则的逆变换的特征值为．三、计算题1.设与相似．（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使．解:（1）已知与相似，则有即得方程组，解得（2）由（1）的特征根为对，解方程组，即得基础解系；对，解方程组，即得基础解系；则令，则．2.是的一个线性变换且(1)求在标准基下的矩阵；(2)求的特征值与特征向量；并判断是否可对角化.解:(1)的标准基是，，，，，则在标准基下的矩阵是；．(2)，的特征值为对，解方程组，即得基础解系则的属于的全部特征向量为对，解方程组，即得基础解系则的属于的全部特征向量为不全为零．因为有三个线性无关的特征向量，则可以对角化．3、在P中定义线性变换A(X)=X,A(X)=X,A(X)=X,求A,A,A在基E,E,E,E下的矩阵。解因AE=aE+cE,AE=aE+cE,AE=bE+dE,AE=bE+dE,故A在基E,E,E,E下的矩阵为A=。又因AE=aE+bE,AE=cE+dE,AE=aE+bE,AE=cE+dE,故A在基E,E,E,E下的矩阵为A=。又因AE=aE+abE+acE+bcE，AE=acE+adE+cE+cdE，AE=abE+bE+adE+bdE，AE=bcE+bdE+cdE+dE，故A在基E,E,E,E下的矩阵为。4.设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为A=，求A在基下的矩阵；求A在基下的矩阵，其中且；求A在基下的矩阵。解1)因A=+a，A=，A=，故A在基下的矩阵为。2)因A=+，A(k)=++，A=+()+，故A在下的矩阵为。3)因A()=()()+()+()，A=()+()+，A=()+()+，故A基下的矩阵为。6、设A=，求A。解:因为(，故A的特征值为，且A的属于特征值1的一个特征向量为X，A的属于特征值5的一个特征向量为X，A的属于特征值-5的一个特征向量为X。于是只要记T=(X，则T，且B。于是A=。四.证明题1.设为数域上维线性空间上的一个线性变换，且，证明：的特征值只能是1或0；证明：设是的任一个特征值，相应的特征向量是，则，于是，即，，则2.在线性空间中，对,令，则是的一个变换．(1)证明：是的一个线性变换；(2)证明:是可逆的.证明：(1),,，即.又即故由定义是V的一个线性变换.(2)因为是的基；而,,,则在的基下的矩阵