2020届高一下期4月月考数学试题（卷）与答案解析

./2020届高一下期4月月考数学试题题号一二三总分得分一、选择题〔本大题共12小题,共60.0分已知集合A={1,2,3},B={x|〔x+1〔x-2＜0,x∈Z},则A∪B=〔A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}幂函数f〔x=〔m2-2m+1x2m-1在〔0,+∞上为增函数,则实数m的值为〔A.0B.1C.2D.1或2△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=,c=2,cosA=,则b=〔A.B.C.2D.3在△ABC中,,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆面积为〔A.B.πC.2πD.4π方程2x+x=2的解所在区间是〔A.〔0,1B.〔1,2C.〔2,3D.〔3,4角α的终边经过点〔2,-1,则sinα+cosα的值为〔A.-B.C.-D.已知向量=〔,,=〔,,则∠ABC=〔A.30°B.45°C.60°D.120°已知向量,的夹角为60°,且||=||=1,则|+|等于〔A.3B.C.2D.1已知,是不共线向量,=2+,=-+3,=λ-,且A,B,D三点共线,则实数λ等于〔A.3B.4C.5D.6已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点,且=、=、=、则

①；

②；

③；

④=其中正确的等式个数为〔A.1B.2C.3D.4向量,,且∥,则cos2α=〔A.B.C.D.函数y=sinx+cosx的最小值为〔A.1B.2C.D.-2二、填空题〔本大题共4小题,共20.0分已知,若∥,则k=______．向量=〔2,3在向量=〔3,-4方向上的投影为______．函数f〔x=logcos〔2x-的单调递增区间为______．已知函数f〔x=x2-|x|+a,若存在x1,x2,x3,x4〔x1,x2,x3,x4互不相同,使f〔x1=f〔x2=f〔x3=f〔x4=1,则a的取值范围是______．三、解答题〔本大题共6小题,共72.0分已知向量,满足||=2,||=1,向量=2-,=+3．

〔1若与的夹角为60°,求|-|的值；

〔2若⊥,求向量与的夹角θ的值．如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．

〔Ⅰ求cos∠CAD的值；

〔Ⅱ若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长．已知函数．

〔1判断函数f〔x在区间[0,+∞上的单调性,并用定义证明其结论；

〔2求函数f〔x在区间[2,9]上的最大值与最小值．设向量=〔sinx,-1,=〔cosx,-,函数f〔x=〔+•．

〔1求函数f〔x的单调递增区间；

〔2当x∈〔0,时,求函数f〔x的值域．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosA．

〔1求角A的值；

〔2若,求△ABC的面积S．如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6海里,渔船乙以5

海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上．

〔1求渔船甲的速度；

〔2求sinα的值．答案和解析[答案]1.C2.C3.D4.B5.A6.D7.A8.B9.C10.B11.D12.D13.614.15.〔kπ+,kπ+〔k∈Z16.〔1,17.解：〔1=2×1×cos60°=1．∴|-|2=2-2+2=3．∴|-|=．

〔2∵⊥,∴•=0,即〔2-•〔+3=22+5-32=8+10cosθ-3=0．

∴cosθ=-．∴θ=120°．18.解：〔Ⅰcos∠CAD===．

〔Ⅱ∵cos∠BAD=-,

∴sin∠BAD==,

∵cos∠CAD=,

∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin〔∠BAD-∠CAD=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×+×=,

∴由正弦定理知=,

∴BC=•sin∠BAC=×=319.〔1解：f〔x在区间[0,+∞上是增函数．

证明如下：

任取x1,x2∈[0,+∞,且x1＜x2,

==．

∵x1-x2＜0,〔x1+1〔x2+1＞0,

∴f〔x1-f〔x2＜0,即f〔x1＜f〔x2．

∴函数f〔x在区间[0,+∞上是增函数．

〔2由〔1知函数f〔x在区间[2,9]上是增函数,

故函数f〔x在区间[2,9]上的最大值为,

最小值为．20.解：〔1∵=〔sinx,-1,=〔cosx,-,

∴f〔x=〔+•=〔sinx+cosx,-•〔sinx,-1=sin2x+sinxcos+=〔1-cos2x+sin2x+=sin2x-cos2x+2

=sin〔2x-+2,

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,

解得：kπ-≤x≤kπ+,

故函数的递增区间是[kπ-,kπ+]；

〔2∵x∈〔0,,

∴2x-∈〔-,,

故sin〔2x-的最大值是1,sin〔2x-＞sin〔-=-,

故函数的最大值是3,最小值大于,

即函数的值域是〔,3]．21.解：〔1在△ABC中,∵acosC+ccosA=2bcosA,

∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,

∴sin〔A+C=sinB=2sinBcosA,

∵sinB≠0,

∴,可得：．

〔2∵,,

∴b2+c2=bc+4,可得：〔b+c2=3bc+4=10,可得：bc=2．

∴．22.解：〔1依题意,∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10,∠BCA=α．

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC

=62+102-2×6×10×cos120°=196．

解得BC=14,所以渔船甲的速度为海里/小时．

答：渔船甲的速度为7海里/小时．

〔2在△ABC中,因为AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α,

由正弦定理,得．

即．

答：sinα的值为．[解析]1.解：∵集合A={1,2,3},

B={x|〔x+1〔x-2＜0,x∈Z}={0,1},

∴A∪B={0,1,2,3}．

故选：C．

先求出集合A,B,由此利用并集的定义能求出A∪B的值．

本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的合理运用．2.解：∵幂函数f〔x=〔m2-2m+1x2m-1在〔0,+∞上为增函数,

∴,

解得m=2．

故选：C．

利用幂函数的定义及性质列出方程组,由此能求出实数m的值．

本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意幂函数的定义及性质的合理运用．3.解：∵a=,c=2,cosA=,

∴由余弦定理可得：cosA===,整理可得：3b2-8b-3=0,

∴解得：b=3或-〔舍去．

故选：D．

由余弦定理可得cosA=,利用已知整理可得3b2-8b-3=0,从而解得b的值．

本题主要考查了余弦定理,一元二次方程的解法在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．4.解：在△ABC中,,A=75°,B=45°,

∴C=180°-A-B=60°,设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得2R==,解得R=1,

故△ABC的外接圆面积S=πR2=π,

故选：B．

由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径,可得面积．

本题考查正弦定理,求出外接圆的半径是解决问题的关键,属基础题．5.解：令f〔x=2x+x-2,

A、由f〔0=-1,f〔1=2+1-2=1知,f〔0f〔1＜0,故A正确；

B、由f〔2=4+2-2=4,f〔1=2+1-2=1知,f〔2f〔1＞0,故B不正确；

C、由f〔2=4+2-2=4,f〔3=8+3-2=9知,f〔2f〔3＞0,故C不正确；

D、由f〔4=16+4-2=18,f〔3=8+3-2=9知,f〔2f〔3＞0,故D不正确；

故选A．

构造函数f〔x=2x+x-2,分别计算区间端点的函数值,再验证是否符合函数零点存在的判定内容．

本题考查了函数零点的判定定理应用,一般的方法是把方程转变为对应的函数,求出区间端点的函数值,并验证它们的符号即可．6.解：∵已知角α的终边经过点〔2,-1,则x=2,y=-1,r=,

∴sinα=-,cosα=,

∴sinα+cosα=-,

故选D．

由题意可得x=2,y=-1,r=,可得sinα和cosα的值,从而求得sinα+cosα的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于中档题．7.解：,；

∴；

又0°≤∠ABC≤180°；

∴∠ABC=30°．

故选A．

根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．

考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角．8.解：∵向量,的夹角为60°,且||=||=1,

∴|+|====．

故选：B．

由已知结合,展开平方,代入平面向量数量积公式得答案．

本题考查平面向量的数量积运算,是基础的计算题．9.解：∵A,B,D三点共线,

∴=β,〔β为实数,

∵=2+,=-+3,=λ-,

∴=〔λ-1,

∴=,

解得,λ=5．

故选：C．

由A,B,D三点共线,得=β,〔β为实数,由此能求出实数λ．

本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量运算法则、共线向量的性质的合理运用．10.解：①∵E、F分别为△ABC的边CA、AB的中点,

∴==〔+

=+

,故①错误,

②==+,故②正确,

③==+,故③错误,

④=〔-+〔-+〔-=,故④正确,

故正确是②④,共有2个,

故选：B根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．

本题主要考查向量的加法和加法的运算,根据三角形法则是解决本题的关键．11.解：∵,,且∥,

∴,

即,化简得sinα=,

∴cos2α=1-2sin2α=1-=故选：D根据向量平行的条件建立关于α的等式,利用同角三角函数的基本关系算出sinα=,再由二倍角的余弦公式加以计算,可得cos2α的值．

本题给出向量含有三角函数的坐标式,在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识,属于基础题．12.解：∵y=sinx+cosx=2〔sinx+cosx=2sin〔x+．

∵-1≤sin〔x+≤1,

∴当sin〔x+=-1时,函数y取得最小值-2．

故选：D．

利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin〔x+θ,进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．

本题属于基础题,熟练掌握两角和的正弦公式化asinx+bcosx=sin〔x+θ、及正弦函数的单调性、最值是解题的关键．13.解：∵∴=〔2,1+2〔k,3=〔2+2k,7=2〔2,1-〔k,3=〔4-k,-1∵∥∴〔2+2k×〔-1=7〔4-k,

∴k=6

故答案为6．

先根据向量的线性运算可求得与,再由∥可得到〔2+2k×〔-1=7〔4-k,进而可求得k的值．

本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算．考查基础知识的综合应用和灵活能力．考查对向量的掌握程度和计算能力．14.解：根据投影的定义可得：

在方向上的投影为||cos＜,＞===-．

故答案为：．

根据投影的定义,应用公式在方向上的投影为||cos＜,＞=求解．

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．15.解：∵对于函数g〔x=cos〔2x-的单调减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π,

即kπ+≤x≤kπ+,而cos〔2x-＞0,

故函数g〔x的单调减区间为〔kπ+,kπ+〔k∈Z,

根据复合函数的同增异减的原则,

得：f〔x在〔kπ+,kπ+〔k∈Z递增,

故答案为：〔kπ+,kπ+〔k∈Z．

先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时2x-的范围,进而求得x的范围,求得函数f〔x的单调递增区间即可．

本题主要考查了余弦函数的单调性．考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握．16.解：如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与

曲线y=x2-|x|+a,

观图可知,a的取值必须满足,

解得1．

故答案为：〔1,

在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象,观察有四个交点的情况即可得到．

本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想．17.〔1求出,对|-|取平方计算；〔2由⊥得•=0,列出方程解出cosθ,得到θ的值．

本题考查了平面向量的数量积运算,夹角公式,属于基础题．18.〔Ⅰ利用余弦定理,利用已知条件求得cos∠CAD的值．

〔Ⅱ根据cos∠CAD,cos∠BAD的值分别,求得sin∠BAD和sin∠CAD,进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC．

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19.〔1利用函数的单调性的定义证明即可．

〔2利用函数的单调性,求解函数的最值即可．

本题考查函数的单调性的判断与应用,函数的最值的求法,考查计算能力．20.〔1利用向量数量积公式化简函数,结合正弦函数的单调增区间,可得f〔x的单调增区间；

〔2求出〔2x-的范围,从而确定f〔x的范围,化简函数,可得函数的值域．

本题考查向量知识的运用,考查三角函数的化简,考查学