高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)

高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B． C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种 B．24种 C．25种 D．27种8.若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2） B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C． D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）10.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＜0，a10＞0，则下列结论正确的是（）A．S10＞S9 B．S17＜0 C．S18＞S19 D．S19＞011.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等12.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2+3n+3，则数列{an}的通项公式为．14.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为．15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．16.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kg）6366707274根据上表可得回归直线方程：＝0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.完成下列各题．（1）求（3+）4的展开式；（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．18.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有极值，且f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．19.在数列{an}中，已知an＞0，a1＝1，an+12﹣an2﹣an+1﹣an＝0．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）设数列{an}的前n和为Sn，bn＝，求数列{bn}的前n和Tn．20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m25≤m＜3515≤m＜25或35≤m＜450＜m＜15或45≤m＜65等级一等品二等品三等品某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右图的率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“（一、二等品其占全部产品百分比）较活动前提高多少个百分点？（2）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．21.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快．听书，逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一．某网络公司组织统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y；（单位：人）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：ti12345yi2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式参考数据≈75.47（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新﹣﹣轮更新调整．针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人．填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？青年人中老年人合计付费阅读10024不付费阅读合计200附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82822.已知fn（x）＝Cxk（n∈N*）．（Ⅰ）计算fk（﹣1）的值；（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4项的系数；（Ⅲ）证明：＝．答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．24【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的前n项和2.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．180【答案】D【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．【解答】解：＝（x3﹣1）（•x3++•4+•8+•16x﹣3+•32+•64x﹣6），故它的展开式中的常数项为•16﹣•4＝180，故选：D．【知识点】二项式定理3.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B． C．﹣2 D．2【答案】C【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．【解答】解：∵切线与直线y＝ax+1平行，斜率为a，又y'＝＝，所以切线斜率k＝f′（）＝﹣2，所以y＝ax+1的斜率为﹣2，即a＝﹣2．故选：C．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程4.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14【答案】D【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性，P（X＞92）＝，计算即可．【解答】解：依题意，P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性知P（X＞92）＝＝（1﹣2×0.36）＝0.14．故选：D．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义5.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤3【答案】C【分析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．【解答】解：，∴a＝1，因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，所以，∴1＜m≤2．故选：C．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”【答案】A【分析】根据列联表与独立性检验的应用问题，对照临界值即可得出结论．【解答】解：由题意知，观测值K2＝4.236＞3.841，所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．故选：A．【知识点】独立性检验7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种 B．24种 C．25种 D．27种【答案】D【分析】根据题意，分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31＝3种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33＝6种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，故选：D．【知识点】排列、组合及简单计数问题8.若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】解：＝＝×＝×＝×＝．故选：C．【知识点】等差数列的性质二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）【答案】AD【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：A．正确；因为令g（x）＝＝lnx，在（0，+∞）上是增函数，∴当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），∴即x2f（x1）＜x1f（x2）．B．错误；因为令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x∴g′（x）＝lnx+2，∴x∈（e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．∴x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小．C．错误；因为令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，g′（x）＝lnx，∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x1＜x2＜1时，g（x1）＞g（x2），∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，∴＜0．当1＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2）∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，∴．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【知识点】利用导数研究函数的单调性10.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＜0，a10＞0，则下列结论正确的是（）A．S10＞S9 B．S17＜0 C．S18＞S19 D．S19＞0【答案】ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列则a19＞0，又S18＝S19﹣a19，进而可知S15＞S16，判断出C不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知S17＝＝＝17a9＜0，S19＝＝＝19a10＞0，故BD正确．【解答】解：根据题意可知数列为递增数列，a9＜0，a10＞0∴前9项的和最小，故A正确，S17＝＝＝17a9＜0，故B正确，S19＝＝＝19a10＞0，故D正确．∵a19＞0∴S18＝S19﹣a19∴S18＜S19，故C不正确．故选：ABD．【知识点】等差数列的前n项和11.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【答案】ACD【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．【解答】解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1+）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【知识点】二项式定理12.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近【答案】ABC【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确．【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0.4kg，A正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8kg，所以μ1＜μ2，C正确；由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些，所以σ1＜σ2，得出B正确；所以D错误．故选：ABC．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2+3n+3，则数列{an}的通项公式为．【分析】由n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1，代入关系式化简求出an，再把n＝1时a1＝s1代入验证，再用分段函数形式表示．【解答】解：当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝2n2+3n+3﹣[2（n﹣1）2+3（n﹣1）+3]＝4n+1，当n＝1时，a1＝s1＝8，不符合上式，则an＝，故答案为：．【知识点】数列的概念及简单表示法14.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为．【答案】3【分析】由已知求得函数在x＜0时的函数解析式，然后求导函数，进一步求得函数在x＝﹣1处的函数值得答案．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝2ln（﹣x）﹣x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴﹣f（x）＝2ln（﹣x）﹣x，则f（x）＝﹣2ln（﹣x）+x，∴f′（x）＝，则f′（﹣1）＝3．即曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为3．故答案为：3．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．【答案】81【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，②，由分步计数原理分析剩下的3人分配方案数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；故答案为：81【知识点】排列、组合及简单计数问题16.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kg）6366707274根据上表可得回归直线方程：＝0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为．【答案】70.12kg【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，得到线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重．【解答】解：由表中数据可得＝＝170，＝＝69，∵（，）一定在回归直线方程y＝0.56x+a上，∴69＝0.56×170+a，解得a＝﹣26.2∴y＝0.56x﹣26.2，当x＝172时，y＝0.56×172﹣26.2＝70.12．故答案为：70.12kg．【知识点】线性回归方程四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.完成下列各题．（1）求（3+）4的展开式；（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．【分析】（1）解法一：根据二项式展开式定理计算即可；解法二：通分再利用二项式展开式定理计算；（2）利用二项式展开式定理拟用，计算即可．【解答】（1）解法一：（3+）4＝•+••+••+•（3）•+•＝81x2+108x+54++；解法二：（3+）4＝＝（81x4+108x3+54x2+12x+1）＝81x2+108x+54++；（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1＝•（2x+1）5﹣•（2x+1）4+•（2x+1）3﹣•（2x+1）2+•（2x+1）﹣•（2x+1）0＝[（2x+1）﹣1]5＝32x5．【知识点】二项式定理18.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有极值，且f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，b进而可求函数解析式；（2）结合导数可求解函数的单调性，进而可求最值．【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+b，由题意，得，解得，经检验，符合题意．所以，f（x）＝x3﹣2x2﹣4x+2；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2），令f'（x）＝0，得，x2＝2，由f'（x）＞0，解得或x＞2，f'（x）＜0，解得，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，3）单调递增．又f（0）＝2，f（2）＝﹣6，f（3）＝1，故f（x）在[0，3]上的最大值为2，最小值为﹣6．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的最值19.在数列{an}中，已知an＞0，a1＝1，an+12﹣an2﹣an+1﹣an＝0．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）设数列{an}的前n和为Sn，bn＝，求数列{bn}的前n和Tn．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的为等差数列．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】证明：（1）由，得（an+1﹣an﹣1）（an+1+an）＝0，因为an＞0，所以an+1﹣an＝1，又因为a1＝1，所以数列{an}是首项为a1＝1，公差为1的等差数列．解：（2）由（1）可得，．∴．∴Tn＝b1+b2+…+bn＝＝．【知识点】数列递推式、数列的求和、等差数列的性质20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值m25≤m＜3515≤m＜25或35≤m＜450＜m＜15或45≤m＜65等级一等品二等品三等品某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右图的率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“（一、二等品其占全部产品百分比）较活动前提高多少个百分点？（2）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（1）求出样本中一等品和二等品在样本中所占比例为80%，得到100件产品中三等品为15件，推出一、二等品率增加了5个百分点．（2）随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）根据抽样调查数据知，样本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）在样本中所占比例为80%，活动后产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），所以100件产品中三等品为15件，一、二等品数为100﹣15＝85（件）合格率为85%，所以一、二等品率增加了5个百分点．（2）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．，，，．，所以X的分布列为：X240270300330360P（X）X的数学期望．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列21.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快．听书，逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一．某网络公司组织统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y；（单位：人）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：ti12345yi2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式参考数据≈75.47（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新﹣﹣轮更新调整．针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人．填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？青年人中老年人合计付费阅读10024不付费阅读合计200附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）直接利用相关系数公式求得r值，与0.75比较大小得结论；（2）填写2×2列联表，求出K2的观测值k，结合临界值表得结论．【解答】解：（1），，＝852﹣705＝147，＝10，＝2278，∴r＝＝≈0.97＞0.75，∴可用线性回归模型拟合y与t的关系；（2）填写2×2列联表如图：青年人中老年人合计付费阅读10024124不付费阅读502676合计15050200K2的观测值k＝≈5.546＞5.024．∴有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关．【知识点】线性回归方程22.已知fn（x）＝Cxk（n∈N*）．（Ⅰ）计算fk（﹣1）的值；（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4项的系数；（Ⅲ）证明：＝．【分析】（1）利用赋值法，令x＝﹣1即可算出答案．（2）写出G（x）的展开表达式，即可找出x4系数的计算式．（3）构造出关于（1+x）的多项式函数，计算其中的多项式系数，即可予以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝（1+x）n﹣1，∴fn（﹣1）＝﹣1；∴；（Ⅱ）g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x）＝（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6+4（1+x）7﹣10，g（x）中的x4项的系数为；（Ⅲ）设h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n（x≠0与﹣1）①则函数h（x）中含xm+1项的系数为，另一方面，由①×（1+x）得：（1+x）h（x）＝（1+x）m+2+2（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n+1②，①﹣②得：，∴，则h（x）中含xm+1项的系数为，，∴得证＝．【知识点】二项式定理高二年级下学期期末考试数学试题（二）一、单选题1．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．2．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（）A．5 B．25 C．35 D．503．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7 B．8 C．9 D．104．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（）A． B． C． D．5．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（）A． B． C． D．7．已知函数，其导函数为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题9．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大C． D．10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A． B．为的最小值C． D．三、填空题13．已知，则等于__________.（用数字作答）14．对任意都有.数列满足：，则__________.15．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.16．古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分2成5份，每人得，这样每人分得．形如的分数的分解：，，，按此规律，则________．四、解答题17．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.18．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由.设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若，，且.是否存在大于的正整数，使得成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19．已知数列中，，（1）证明：数列是等比数列（2）若数列满足，求数列的前项和.20．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.21．设函数，.（1）时，求的最小值.（2）若在恒成立，求的取值范围.22．已知.（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.答案解析一、单选题1．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，将条件表示为的形式，计算出，再计算即可.【详解】∵等比数列中，，，∴，解得，∴．故选：A.2．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（）A．5 B．25 C．35 D．50【答案】B【分析】根据等差中项及等差数列求和公式即可求解.【详解】由题意可知，为等差数列，所以故选：B3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．4．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论.【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，.故选：C.5．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用可求得答案.【详解】，∵，则．故选：D6．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.【详解】由，.故选：D7．已知函数，其导函数为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求得可得的解析式，求出解析式，可得为偶函数，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.【详解】，，所以为偶函数，所以，因为，所以，所以．故选：C．8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围【详解】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.故选：B.【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.二、多选题9．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大C． D．【答案】ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为【答案】ABD【分析】对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，，的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.【详解】解：由题图知可，当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增，对A，，故A错误；对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；对C，函数的极值点为，，故C正确；对D，函数的极大值为，故D错误.故选：ABD.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BCD【分析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由求出，然后求出相应的项，判断各选项．【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列．所以，解得．选项A：，故A错误，选项B：由，则，又，故B正确．选项C：，而，，故C正确．选项D：，则后3天走的路程为，而且，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的应用，解题关键是引入等比数列，表示第天行走的路程，根据前6项的和求出首项，然后可得通项公式，从而判断出结论．12．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A． B．为的最小值C． D．【答案】AC【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.【详解】,,对于也成立，所以，故A正确；当时，,当n=17时,当时，,只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当时，,∴，故C正确；，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系,若数列的前项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.三、填空题13．已知，则等于__________.（用数字作答）【答案】-2【分析】求出的导函数，代入即可求解.【详解】，，，解得.故答案为：.14．对任意都有.数列满足：，则__________.【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得：，，，……，，，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.15．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.【答案】【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.【详解】由得或，在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，，，∴，又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.16．古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分2成5份，每人得，这样每人分得．形如的分数的分解：，，，按此规律，则________．【答案】【分析】根据,，，…进行归纳推理.【详解】由题意得，，即，，即，，即，由此归纳出．经验证，结论成立，∴．故答案为：.【点睛】方法点睛：由数列的前项归纳通项公式时，首先要分析项的结构，然后再探究结构中的各部分与项的序号间的函数关系，进而求得通项公式．四、解答题17．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；（2）由利用裂项相消求和即可.【详解】（1）∵，∴，解得，当时，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴综上所述，结论是：.（2）由（1）可得∴，综上所述，.18．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由.设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若，，且.是否存在大于的正整数，使得成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【分析】由等比数列的条件，求得，可得等比数列的通项公式．然后分别选取条件①②，条件①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数列的通项公式及前项和，再由，，成等比数列列式求解值即可．【详解】解：设的公差为，的公比为，由题意知，所以，整理得，因为，所以，所以.（1）当选取的条件为①②时，有，所以，解得.所以.所以，若成等比数列，则，所以，解得，因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在.（2）当选取的条件为①③时，有，所以，解得.所以.所以，若成等比数列，则，所以，解得或（舍去）此时存在正整数满足题意.（3）当选取的条件为②③时，有，所以，解得.所以.所以，若成等比数列，则，即，所以，解得，因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．19．已知数列中，，（1）证明：数列是等比数列（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由可得，然后可得答案；（2）由（1）可算出，，然后用错位相减法可算出答案.【详解】（1）证明：由，知又，∴是以为首项，3为公比的等比数列（2）解：由（1）知，∴，两式相减得∴20．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；（2）由得，将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；【详解】解：（1）∵所以∴当时，，当时，；即的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由得，将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.21．设函数，.（1）时，求的最小值.（2）若在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）当时，求导可得，令，解得，分别讨论和时，的正负，即可得的单调性，即可求得答案；（2）求导可得，设，分别讨论和时的正负，可得的单调性，进而可得的单调性，综合分析，即可得答案.【详解】（1）当时，，则，令，解得，当时，，所以在单调递减函数；当时，，所以在单调递增函数；所以.（2），则，设，则，当时，，所以在上为增函数，又，所以，即，所以在在上为增函数，又，所以，满足题意；当时，令，解得，当时，，所以在为减函数，所以当时，，即，所以在为减函数，又所以，不满足题意，综上：a的取值范围是【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足，若处理存在性问题时，需满足，需仔细审题，进行求解，属中档题.22．已知.（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解；（2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解；（3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解.【详解】（1），∵函数在处取得极值，，解得，当时，.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴当时，函数在处取得极小值；（2），，令，则或，①当时，令可得，∴函数的单调递增区间为；②当时，令可得或，∴函数的单调递增区间为；③当时，在上恒成立，∴函数的单调递增区间为；④当时，令可得或，∴函数的单调递增区间为；（3），，，，整理可得，令，，，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴当时，取得极小值即最小值为，即，解得（舍去）或，的取值范围为.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.高二年级下学期期末考试数学试题（三）一、单选题1．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（）A．3 B． C．-3 D．2．在数列中，，，则（）A． B． C． D．33．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（）.A． B．1 C． D．24．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（）A．1 B．2 C． D．5．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A． B．7 C．6 D．6．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．若函数满足，则的值为（）．A．1 B．2 C．0 D．8．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．二、多选题9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．与均为的最大值10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列11．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（）A．为单调递增的等差数列 B．C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6三、填空题13．求和：___________．14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．15．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是_____．四、解答题17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n和.18．已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.19．已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．20．已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证：.21．设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2））讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.22．已知函数，其中.（1）讨论的单调性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.答案解析一、单选题1．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（）A．3 B． C．-3 D．【答案】D【分析】设数列是公差为，，根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；【详解】解：设数列是公差为，，首项为，因为所以，所以，所以所以故选：D2．在数列中，，，则（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据已知分析数列的周期性，可得答案．【详解】解：∵，，∴，，，.∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（）.A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案【详解】由题设可知，斐波那契数列为：其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，，，，，则.故选：B.4．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.【详解】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.5．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A． B．7 C．6 D．【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．6．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足∴方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得∴实数的取值范围是.故选:A．7．若函数满足，则的值为（）．A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】求导得到，取带入计算得到答案.【详解】，则，则，故.故选：C.【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由即可求解集.【详解】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A【点睛】思路点睛：由与组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.二、多选题9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．与均为的最大值【答案】BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列【答案】AC【分析】令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.11．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时，，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（）A．为单调递增的等差数列 B．C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6【答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.【详解】令，则，，，因为是等比数列，所以，即，，，B正确；，是公差为的递减等差数列，A错误；，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；，，，时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.三、填空题13．求和：___________．【答案】【解析】易知该数列的通项，故该数列的前n项和为14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.15．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.【答案】【分析】由题意得，，消去，可得，化简得，得，则有【详解】由题设可知：由是，的等差中项，则①，是，的等比中项，则②，则有①②可知：③，，，则将③式变形得：，即，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题考查等差中项、等比中项的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是由已知条件得，，消去，可得，再利用三角函数恒等变换公式化简可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是_____．【答案】①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.四、解答题17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n和.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③利用可得，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【详解】选条件①时，（1）时，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，（1）