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文档简介
第三节矩阵的对角化一．矩阵的对角化的概念二．矩阵的对角化判别与计算1一．矩阵的对角化的概念若n
阶方阵A
与对角阵相似，则称A
可对角化．若A
可对角化，则Am就比较容易计算了．问题：如何判别一个方阵是否可对角化？若能够对角化，如何找可逆矩阵P？定义：2二.矩阵可对角化的判别与计算A可对角化
⇔A~Λ
⇔存在可逆矩阵
使得⇔A有n个线性无关的特征向量3由上面的讨论可得矩阵A可对角化的充要条件
.定理1：n阶方阵A可对角化⇔A
有n
个线性无关的特征向量．上述定理告诉我们，找可逆矩阵P，使得为对角阵，关键是找出A的n个线性无关的特征向量满足此时令则4是数域P上n
阶矩阵A
的所有设是齐次线性方程组不同的特征值，是否仍线性无关？的一个基础解系，它们是A的线性无关的特征向量，我们自然会想：把这m组向量合在一起，即问题：如何判断数域P上的n阶矩阵A有没有n个线性无关的特征向量？5定理2：证：线性无关．是数域P上n
阶矩阵A
的不同的设于线性无关的特征向量，则分别是A的属特征值，设两边左乘A得①6①式两边乘以得以上两式相减得
从而有7由于
线性无关，则代入①式得由于
线性无关，则线性无关．从而8数域P上n
阶矩阵A的属于不同特征值对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到定理3：是数域P上n
阶矩阵A
的设是A的属于的不同的特征值，线性无关．线性无关的特征向量，则向量组推论1：的特征向量线性无关。9从定理3可得出如下结论：是数域P上n
阶矩阵A
的所有设是齐次线性方程组不同的特征值，一定线性无关．的一个基础解系，则A的特征向量组10①若的特征向量，从而A不可以对角化；则A没有n个线性无关②若特征向量，从而A可以对角化；此时令则A有n个线性无关的则P为n
阶可逆矩阵，且11称为的相似标准型．注：除了主对角线元素排列次序外，A
的相似标准型是被A唯一确定的。
特别地，推论2：数域P上n
阶矩阵A若有n个互异的特征值，则A可对角化。12例1已知问A
是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P
，使得为对角阵．解：A
有两个互异的特征值，故可对角化⑴求矩阵A的特征值.13⑵求A
的特征向量,的一个基础解系是对于求得齐次线性方程组的一个基础解系是对于求得齐次线性方程组14线性无关，令∴
P可逆，且15例2设(书P168—例5.3.1)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P
，使得为对角阵．解：⑴求A
的特征值16一个基础解系为⑵求A
的特征向量,对于求得齐次线性方程组一个基础解系为对于求得齐次线性方程组17因为3阶矩阵A
有3个线性无关的特征向量，故A可对角化.⑶构造可逆矩阵P令18则或者①令则19②令③令则则20例3判断(书P169—例5.3.2)对解：为A
的特征值对于求的一个基础解系:因为A
只有一个线性无关的特征向量,故A不能对角化.21例4设二阶方阵A满
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