第1章 优化设计的基本概念3(白版)

机械优化设计中国石油大学机电工程学院自我介绍刘健中国石油大学机电工程学院机械设计系(主楼3078392305liujian503@163.com姓名：办公地点：电话：E-mail：计划学时数：32学时（讲课24学时上机8学时）使用教材孙靖民.机械优化设计（第三版）.北京：机械工业出版社，2003学习参考书[1]高健.机械优化设计基础.北京：科学出版社，2000[2]阳明盛、罗长童，最优化原理、方法及求解软件.北京：科学出版社，2007[3]陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，2005[4]刘惟信.机械最优化设计.北京：清华大学出版社，1994课程介绍课时很少，起抛砖引玉的作用，给大家一个优化思想，今后在研究、工作中如果用到，会很容易拾起来。作业纪律考试交作业、程序时间:根据课程进度要求:关手机不要在下面开小会平时、作业、上机：20%

~30%期末考试(开卷）：70%

~80%第一章优化设计的基本概念

§1-1绪论§1-2优化设计问题的示例§1-3优化设计的数学模型

§1-4优化问题的几何解释和基本解法

优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。

优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。

优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。§1-1绪论1.优化、优化设计和机械优化设计的含义例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。

为什么树越接近根底越变粗？生物结构的优化（演变过程）优化历史自然演化——自然界人的潜意识上升到理论高度，人为（有目的）的降低成本意识的优化Thelowestenergy,最低的能量例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。我国宋代建筑师李诫在其著作《营造法式》一书中指出：圆木做成矩形截面梁的高宽比为三比二。上升到理论高度人为（有目的）的降低成本

（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程；（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；（3）优化设计：是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。即：进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。

（4）优化的目的TheBestPracticalUsage,最好的使用性能TheBestEconomicBenefits,最佳的经济效益TheBestSocialBenefits,最佳的社会效益TheLowestMaterialsUseandtheLowestMakingPrice,最低的材料消耗和最低的制造成本机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。优化设计流程

常规设计流程2.优化设计的发展概况历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。——古典最优化方法

直到本世纪40年代初（二战期间），由于军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。——近代最优化方法

近年来，最优化设计方法已广泛用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用如连杆机构、凸轮机构轨迹再现的优化设计，机器的速度波动最小，一些机械零、部件的优化设计如减速器、轴承、轴、弹簧、制动器等结构参数的优化。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。

最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支

第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。第四阶段现代优化方法：如遗传算法、

模拟退火算法、

蚁群算法、

神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。现代智能优化（启发式）根据自然现象以直观为基础而构成的，并具有大规模并行计算和智能特征的算法。广义优化——产品全系统、全性能、全寿命周期的优化。广义优化与传统优化特征体系之间的比较机械优化设计应用实例美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。3.优化设计的应用另外在最优计划、最优管理和最优控制等方面应用也很广泛。基础：（1）最优化数学理论（2）现代计算技术内容：（1）将工程实际问题数学化；（建立优化设计数学模型）（2）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。4.本课程的任务现代优化设计方法OptimizationDesign优化设计NumericalComputing数值计算SpecialKnowledge专业知识FundamentalKnowledge基础知识Programming编程能力计算机该课程的主要目的和任务：

①了解和基本掌握优化设计的基本知识；②扩大视野，增强优化意识，并初步具有应用优化设计的基本理论和基本方法解决工程实际问题的素质。§1-2优化设计问题的示例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。

已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件： （a）体积要求； （b）长度要求；

x1x2x3箱盒的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。产品材料/kg工时/h电力/(kw.h)利润/元甲93460乙4105120供应量360300200最大产值生产资源分配问题

这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。解：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即

f(x1,x2)=60x1+120x2

每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即西南科技大学网络教育系列课程数学模型设计参数：设计目标：约束条件：

已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）；（3）设计约束条件： （a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；

（e）最小齿数要求。直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：§1-3

优化设计的数学模型

1.设计变量

设计变量是指在设计过程中可以进行调整和优选的独立参数。设计变量的选择：应该选择那些与目标函数和约束函数密切相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。又叫做优化参数。

优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。

设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。

由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。１）连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。

注：大多数机械优化问题的设计变量都属于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。２）离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。

注：少数的机械优化问题的设计变量是离散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其视为连续变量，用常规的优化方法最优解。西南科技大学网络教育系列课程

按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。

图1-1设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。

小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。

维数灾难，以货郎担问题(又称为旅行商问题、TSP问题)为例：有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，唯一走遍所有的城市，再回到他出发的城市，求最短的路线。）城市数2425262728293031计算时间1s24s10min4.3h4.9d136.5d10.8y325y城市数与计算时间关系如何选定设计变量？

任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。

2.约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束显式约束隐式约束

约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——是根据设计性能或指标要求而定的一种约束条件。是对设计变量所加的间接变量。例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条件均属于性能约束；边界约束——对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。是对设计变量本身所加的直接限制。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。3、可行域每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记作D。可行域可看作满足所有约束条件的所构成的空间（设计点的集合），因此，可用集合式表示如下：西南科技大学网络教育系列课程下约束优化问题可简记为。图1-2设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面

如图1-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于X2=2的上面和圆x12＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。图1-3约束条件规定的可行域D图1-4线性约束下的可行域此题的约束可行域是由约束边界线围成的封闭五边形OABCD。西南科技大学网络教育系列课程3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、能耗最小、动负荷最小等等。

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。

目标函数等值（线）面目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，F(x1,x2)=c代表x-x设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。图1-4等值线

图1-4表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中f=40的等值线就是使f(x1,x2)=40的各点[x1,x2]T所组成的连线。如图函数的等值线图。图1-5等值线簇目标函数f(x)＝一60x1一120x2的等值线族。这是一组相互平行的直线，函数值沿箭头所指方间逐渐下降。如图所示。1-6线性函数的等值线簇西南科技大学网络教育系列课程用Matlab可画出该函数的等高线。

可行域与等值线x﹡g1

(x)＝0g2

(x)＝0g3

(x)＝0图1-7可行域与等值线4.优化设计问题一般数学形式：满足约束条件：求设计变量向量使目标函数对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求［-F（X）］的最小值，因为min［-F（X）］与maxF（X）是等价的。当然，也可看成是求1／F（X）的极小值。5.建模实例

1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：人字架结构优化设计

受力分析图圆杆截面图