解三角形章末复习

章末复习第一章解三角形学习目标UEIMUBIAO1整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识2掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解组合3能解决三角形与三角变换的综合问题NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PARTONE1正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则1＝＝＝2a＝ ，b＝ ，c＝ 3sinA＝，sinB＝，sinC＝4在△ABC中，A>B⇔ ⇔ 2R2RsinA2RsinB2RsinCa>bsinA>sinB2cosA＝；cosB＝ ；cosC＝ 3在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2>a2＋b2⇔C为；c2<a2＋b2⇔C为2余弦定理及其推论1a2＝ ，b2＝ ，c2＝ b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC直角钝角锐角3三角形面积公式4应用举例1测量距离问题；2测量高度问题；3测量角度问题2题型探究PARTTWO题型一利用正弦、余弦定理解三角形例11若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC＝7反思感悟利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题跟踪训练11在△ABC中，∠A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为√2已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为A75° B60° C45° D30°√∵三角形为锐角三角形∴C＝30°题型二几何计算例2如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，求ED的长在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD反思感悟正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决解如图，由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°在△ABC中，由正弦定理，题型三实际应用例3如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，且AM＝100m，BN＝200m，一测量车在塔底M的正南方向的点后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离解在Rt△AM＝30°，AM＝100m，在△中，∠QPM＝60°，所以△为等边三角形，在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200m在Rt△BNQ中，因为tanθ＝2，BN＝200m，在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ，反思感悟实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60°”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素跟踪训练3如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60m，则河流的宽度BC等于√解析如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，题型四三角形中的综合问题解p＝2－2sinA，cosA＋sinA，q＝sinA－cosA,1＋sinA，又p∥q，∴2－2sinA1＋sinA－cosA＋sinA·sinA－cosA＝0，即4sin2A－3＝0，反思感悟解三角形综合问题的方法1三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解2解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解1求A的度数；41＋cosA－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∵0°<A<180°，∴A＝60°化简并整理，得b＋c2－a2＝3bc，3达标检测PARTTHREE∴bc＝40 ③由①②③可知a＝7解析设角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc， ①12341若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为A5 B6 C7 D8√∴b2＋c2－a2＝bc ②1234∴sinC＝sin＝sinA＋B1234又0<A<π，0<B<π，∴A＝B，∴△A