第七章第9讲直线与圆锥曲线的位置关系2022届高三数

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系课标要求考情风向标1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题.3.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想1.本节复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.本节内容的特点是运算量比较大，应通过示例的剖析，掌握常规解题规律与方法，优化解题过程.2.重点掌握直线与曲线的位置关系(弦长、中点或交点个数)及有关最值、定值、定点、轨迹问题 1直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程A＋By＋C＝0A，B不同时为0代入圆锥曲线C的方程F，y＝0，消去y也可以消去，得到一个关于变量或变量y的一元方程1当a≠0时，设一元二次方程a2＋b＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C相交；相切 Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C__________； Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C无公共点 2当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行 2圆锥曲线的弦长 1圆锥曲线的弦长： 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段，线段的长就是弦长3直线与圆锥曲线的位置关系口诀“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘” 1平面上一机器人在行进中始终保持与点F1,0的距离和到直线＝－1的距离相等若机器人接触不到过点P－1,0且斜率为的直线，则实数的取值范围是_____________________－∞，－1∪1，＋∞图D66答案：D 32016年河北唐山模拟过抛物线C：y2＝4的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝_________考点1弦长公式的应用图7-9-1 思维点拨：利用点到直线的距离求解|CD|后；再将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后利用弦长公式进行整体代入求出|AB| 2椭圆2＋4y2＝4的长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________考点2点差法的应用 思维点拨：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解答案：C 【规律方法】1例1中的三个小题都设了端点的坐标，但最终没有求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法 2本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型：①求平行弦的中点的轨迹方程；②求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程；③求过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；④有关对称的问题3本例中“设而不求”的思想方法和“点差法”还适用于双曲线和抛物线考点3直线与圆锥曲线的位置关系 【跟踪训练】 思想与方法⊙圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想 1求椭圆C及圆O的方程； 2设直线l与圆O相切于第一象限内的点P ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；求直线l的方程 图7-9-2图7-9-3 【规律方法】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数、方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型【跟踪训练】 1直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题、参数的取值范围问题等分析问题时需借助于数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理等来综合考虑 2在处理直线与圆锥曲线