七年级数学上册专题1.11有理数的乘方-【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

/【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.11有理数的乘方【名师点睛】（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．【典例剖析】【例1】（2022春•商城县校级月考）计算：（1）（﹣3）2×[-23+（-（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．【分析】（1）原式先算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果；（3）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．【解析】（1）原式＝9×（-2＝9×（-23）+9×（＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4＝﹣1﹣3×18+8÷4＝﹣1﹣54+2＝﹣53；（3）原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1＝﹣1000+（16﹣16）+7＝﹣1000+7＝﹣993．【变式1】（2021秋•高青县期末）计算：（1）（14+3（2）﹣23÷8-14×（﹣2（3）﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2；（4）[（﹣2）3+43]÷4+（【分析】（1）运用乘法对加法的分配律，简化计算．（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减．（4）先算乘方，再算中括号里的，再算除法，再算加法．【解析】（1）原式=(=1＝6+9﹣14＝1．（2）原式=-8÷8-＝﹣1﹣1＝﹣2．（3）原式＝﹣16+（﹣4）2﹣2×1＝﹣16+16﹣2＝﹣2．（4）原式=(-8+=-20=-5=-7【例2】（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝12，(-12)（2）将下列运算结果直接写成幂的形式：5⑥＝154；(-12)（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为1an（4）算一算：42×(-13【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(-12)③=（-12）÷（-（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(-（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1（4）原式＝16×9＝144．【变式2.1】（2022春•泰州月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，4）＝1，（2，16）＝4；（2）记（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c．求证：a+b＝c．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义进行计算．【解析】（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵41＝4，∴（4，4）＝1；∵24＝16，∴（2，16）＝4；（2）∵（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c，∴5a＝6，5b＝7，5c＝42，∵5a•5b＝5（a+b）＝6×7＝42＝5c，∴a+b＝c．【变式2.2】2022春•邕宁区期末）材料：一般地，n个相同的因数a相乘：a⋅a⋯a︸n个记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式：log24+log216＝log264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN＝MN（a＞o且a≠1，M＞0，N＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝logaMN．【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，故答案为：2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝logaMN，故答案为：MN．【例3】．（2021秋•安居区期末）观察下列各式：131313…（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；（2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．【分析】观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的形式，右边是14与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这个数大1【解析】（1）13+23+33+43+…+103，=1=14×100＝3025；（2）13+23+33+43+…+n3=1【变式3】．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+…+103＝3025（2）13+23+33+…+203＝44100（3）13+23+33+…+n3＝n2（4）计算：113+123+133+…+203的值．【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．【解析】（1）13+23+33+…+103＝3025；（2）13+23+33+…+203＝44100；（3）13+23+33+…+n3=n（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）n2(n+1)【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2019秋•祁阳县期末）下列计算正确的是（）A．﹣22＝﹣4 B．﹣（﹣2）2＝4 C．（﹣3）2＝6 D．（﹣1）3＝1【分析】原式各项利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．【解析】A、原式＝﹣4，正确；B、原式＝﹣4，错误；C、原式＝9，错误；D、原式＝﹣1，错误，故选：A．2．（2022•泗洪县一模）（﹣2）3的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【分析】根据有理数乘方的法则计算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．【解析】（﹣2）3＝﹣8，故选C．3．（2021•河北模拟）(-1A．(-13)×(-13C．(-1)×(-1)×(-1)3 D．【分析】根据乘方的意义即可得出结果．【解析】∵(-13)3表示∴(-13)3表示的意义是（-1故选：A．4．（2021•河北模拟）下列各对数中，相等的是（）A．﹣3和2 B．（﹣2）4和﹣24 C．﹣2和﹣（﹣2） D．﹣（﹣2）和|﹣2|【分析】根据有理数的乘方、绝对值、相反数的意义逐个判断即可得出结果．【解析】﹣3≠2，选项A不符合题意；∵（﹣2）4＝16，﹣24＝﹣16，∴（﹣2）4≠﹣24，选项B不符合题意；﹣2≠﹣（﹣2）选项C不符合题意；∵﹣（﹣2）＝2，|﹣2|＝2，∴﹣（﹣2）＝|﹣2|，选项D符合题意；故选：D．5．（2021秋•原阳县期末）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．【解析】A．23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意；C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意；D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意；故选：B．6．（2021秋•本溪期末）平方等于它本身的数是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1【分析】根据有理数乘方的计算法则由02＝0，12＝1，即可得出答案．【解析】因为02＝0，12＝1，所以平方等于本身的数为0或1．故选：D．7．（2021•长安区二模）在数轴上标出下列各式的值所对应的点，其中落在原点左侧的是（）A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣（﹣2） D．﹣（+2）【分析】根据绝对值、相反数及有理数的乘方运算可得结果，然后作图，据图回答即可．【解析】|﹣2|＝2、（﹣2）2＝4、﹣（﹣2）＝2、﹣（+2）＝﹣2，作图如下：由图可知，落在原点左侧的是﹣（+2）．故选：D．8．（2020秋•阳信县期末）下列说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．有限小数和无限循环小数都是分数 C．一个有理数的绝对值一定是正数 D．平方等于它本身的数是﹣1，0【分析】根据有理数的概念与分类、分数的定义、绝对值的性质及乘方逐一判断即可得．【解析】A．正有理数和负有理数及0统称为有理数，此选项错误；B．有限小数和无限循环小数都是分数，此选项正确；C．一个有理数的绝对值一定是非负数，此选项错误；D．平方等于它本身的数是1，0，此选项错误；故选：B．9．（2021秋•霍邱县期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．【解析】由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．10．（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解析】∵101＝10，∴lg10＝1，∴原式＝（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2×lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1．故选：C．二．填空题（共8小题）11．对于（﹣2）3，指数是3，底数是﹣2，（﹣2）3＝﹣8；对于﹣42，指数是2，底数是4，幂是﹣16．【分析】根据乘方的定义可解决本题．【解析】根据乘方的定义，得（﹣2）3的底数是﹣2，指数是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8．同理，﹣42的底数是4，指数是2，幂是﹣16．故答案为：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16．12．（2021秋•耒阳市期末）在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣14中，正数有3个．【分析】根据相反数定义、有理数乘方的运算法则、绝对值性质逐一判断可得．【解析】在所列5个数中，正数有﹣（﹣3）、（﹣3）2，|﹣9|这3个数，故答案为：3．13．（2021春•靖江市月考）计算：(-23)9【分析】先根据积的乘方的逆运算变形为[（-23×3【解析】原式＝[（-23×32）]9＝（﹣1故答案为：﹣1．14．（2020秋•阳信县期末）已知|x|＝5，|y﹣3|＝0．且x+y＜0．则xy＝﹣125．【分析】先根据绝对值的性质得出x＝±5，y＝3，由x+y＜0得出x＝﹣5，y＝3，代入后利用乘方的定义计算可得．【解析】∵|x|＝5，|y﹣3|＝0，∴x＝±5，y＝3，∵x+y＜0，∴x＝﹣5，y＝3，则xy＝（﹣5）3＝﹣125，故答案为：﹣125．15．（2020秋•奉化区校级期末）平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是2或﹣10．【分析】分别利用平方根的定义和立方根的定义进行求解即可．【解析】∵36＝（±6）2，∴平方等于36的数是±6；∵（﹣4）3＝﹣64，∴立方等于﹣64的数是﹣4，∴平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是6+（﹣4）＝2或﹣6+（﹣4）＝﹣10．故答案为：2或﹣1016．（2020秋•织金县期末）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22006﹣1的个位数字是3．【分析】由21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…而题目中问22006﹣1的个位数字，可以猜想个位数字呈现一定的规律．【解析】21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255，由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环，知道2006除以4为501余2，而第二个数字为3，所以可以猜测22006﹣1的个位数字是3．故答案为3．17．（2020春•南岗区校级月考）1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后截去的小棒总长为6364【分析】求出每次截取小棒的长度，再计算截去小棒的总长．【解析】第1次截去小棒的长度为12米，第2次截去小棒的长度为122米，第3所以12+122故答案为：636418．如图所示，将一长方形的纸对折1次，可得到1条折痕，对折2次可得到3条折痕，对折3次可得到7条折痕，如果对折5次可得到31条折痕．【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．【解析】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，…，依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．当n＝5时，25﹣1＝31，故答案为：31．三．解答题（共6小题）19．计算下列各题，并说说它们的区别．（1）(3（2）33（3）35【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则进行计算；（2）根据有理数的乘方运算法则进行计算；（3）根据有理数的乘方运算法则进行计算．【解析】（1）(3（2）33（3）35区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是35，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是520．（2021秋•大余县期末）把下列各数填在相应的括号里．﹣|﹣2|，0，﹣（﹣1）2，﹣（﹣5），-13，正数集合{﹣（﹣5），227…}负数集合{﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13…非负整数集合{0，﹣（﹣5）…}．【分析】先化简这些数，再分类即可．【解析】﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣1）2＝﹣1，﹣（﹣5）＝5，正数集合{﹣（﹣5），227，…}负数集合{﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13，…非负整数集合{0，﹣（﹣5），…}；故答案为：﹣（﹣5），227；﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13；021．（2021秋•庆阳期末）计算：-3【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解析】-＝﹣9+23×[2+（﹣8）]﹣3＝﹣9+23×（﹣＝﹣9+（﹣4）+12＝﹣1．22．（2021秋•龙泉驿区校级期末）计算：（1）-3（2）100÷5【分析】（1）原式先算中括号中的乘方，乘法，以及减法，再算括号外的除法即可得到结果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．【解析】（1）原式=-32÷（﹣4=-32÷=-32÷=3（2）原式