重难点专题16 三角函数的图像与性质八大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总题型1正余弦平移问题 1题型2识图问题 6题型3恒等变换与平移 14题型4已知对称轴问题 21题型5已知对称中心问题 24题型6周期问题 29题型7平移与重合问题 39题型8sinx,cosx和差积与最值 43题型1正余弦平移问题函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径注意：1.两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．2.变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．【例题1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数fx=sin2x+π3的A．向左平移π4个单位 B．向左平移π8C．向右平移π4个单位 D．向右平移π8【答案】B【分析】fx=sin【详解】因为fx所以将函数gx=sin2x+π12的图象向左平移π故选:B.【变式1-1】1.（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）把函数y=fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=cosx+πA．cos2x-5π12 B．cos【答案】C【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数fx【详解】由题意可知，将函数y=cosx+π4的图象先向左平移π6个再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得到函数fx=故选：C.【变式1-1】2.（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数y=sin2x+π3图像上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，再将图像向右平移π6个A．x=-π3 B．x=-2π【答案】C【分析】由已知条件先求出函数fx【详解】将函数y=sin2x+π纵坐标不变，得到函数y=sin再将图像向右平移π6个得到fx其图像的对称轴满足3x-π即x=k令k=0时，有x=2故选：C.【变式1-1】3.（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数fx=sinx+φ(0<φ<2π),gx=sinωx+π3ω>0,A．φ=B．gxC．gx的一个单调递增区间为D．gx=12在区间a,b【答案】ABD【分析】根据函数平移和伸缩变换得到g(x)解析式，对比可得ω和φ的值，从而求得g(x)解析式，从而可判断AB；根据正弦型函数单调性可判断C，数形结合可判断D．【详解】fx=sinx+φ横向压缩再右移π6个单位得，y=∴-又0<φ<2π，∴ω=2,∴gx∴周期T=2由x∈7π12gx=12在区间a,b上有5个不同的解，由函数图象可知，区间故选：ABD.【变式1-1】4.（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）将函数gx=sinωxω>0的图象向左平移φω0<φ<π个单位长度得到函数fx的图象，f0=12，fA．23≤ω<1C．23≤ω<【答案】D【分析】根据三角函数平移变换原则可得fx，结合f0,【详解】∵fx=gx+∴f0=sin∵ω>0，∴cosφ<0，又0<φ<π∴fx当x∈0,π时，∵fx∈-1,12故选：D.【变式1-1】5.（2023·河南开封·统考模拟预测）将函数fx=cos2x的图象向右平移π6个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ωω>1，得到函数gA．2312≤ω<C．2912≤ω<【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换可得gx=cos2ωx-π【详解】将函数fx=cos2x的图象向右平移π6个再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ωω>1，得到函数gxx∈0,π时，y=cosx在y因为函数gx的图象在区间0,所以9π2<2ωπ故选:D.题型2识图问题给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求φ.(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,-π<φ<-π2的部分图象如图所示，把函数fx图象

A．gx+B．gx的最小正周期是C．gx的图象关于直线x=D．gx在区间7【答案】B【分析】根据给定的图象依次求出A,φ,ω，得函数f(x)的解析式，结合图象变换求出函数y=g(x)，再根据正弦函数性质逐项判断作答.【详解】观察图象知，A=2，f(0)=-1，则sinφ=-12，而-函数f(x)的周期T满足：T>5π634又f(5π6)=0，即有5π因此k=0,ω=115，所以把函数fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y=gx则g(x)=2sin(11显然函数y=2sin(2x-πg(x)=2sin(2x-5π6因为g(π2)=2sin(2×π2当7π12<x<π时，π3<2x-5π则gx的图象故选：B【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）函数fx=Asinωx+φ+bφ<A．fx=B．fx=C．fx=D．fx=【答案】D【分析】根据函数fx的最大值和最小值可求得A、b的值，根据函数fx的最小正周期可求得ω的值，再由f1=32结合φ的取值范围可求得φ的值，可得出函数fx的解析式，计算出f【详解】由图可知，函数fx的最小正周期为4，则ω=A=fxmax又因为f1=1因为-π2<φ<π2因为f0又因为2024=4×506，因此，S=f0故选：D.【变式2-1】2.（2023秋·天津滨海新·高三校考期末）函数fx=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，把函数fx的图象上所有的点向右平移π6①φ=π3；②函数gx的最小正③函数gx在区间-π3,π其中正确结论的个数是（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据f0=3分析出φ的可取值，然后分类讨论φ的可取值是否成立，由此确定出ω,φ的取值；对②，根据图象平移确定出gx的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出gx的单调递增区间，然后根据k的取值确定出-【详解】解：由图可知：11π12∴11π即1811又∵f0=2sin由图可知：φ=2π又∵f11∴11且1112∴11故k=1，当φ=2π3时，1112∴fx故gx对①，由上述可知①错误；对②，∵gx∴gx的最小正周期为2π对③，令2kπ-π即kπ-5π令k=0，此时单调递增区间为-5π12,对④，∵g-∴-故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数gx=Asin若求函数gx的单调递增区间，则令2kπ-若求函数gx的单调递减区间，则令2kπ+若求函数gx图象的对称轴，则令ωx+φ=kπ+若求函数gx图象的对称中心或零点，则令ωx+φ=kπ【变式2-1】3.（2022秋·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象A．向左平移π4个单位长度 B．向右平移π4C．向左平移π2个单位长度 D．向右平移π2【答案】B【分析】先由图用7π12-π3=14T求出ω，由得到f(x)=3sin利用三角函数图象平移性质得解.【详解】如图知:,∵7π12-π3=14∴f∵f(π3)=0,∴Asin解得：φ=π3又f(0)=3,∴Asinπ3g(x)=1-2=2由三角函数图象平移性质得2sin(技巧：由三角函数图象平移性质得(2x+π所以g(x)函数向右平移π4个单位长度得到f(x)故选：B【点睛】本题考查由图象求函数y=确定y=(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A=M-m(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．【变式2-1】4.（多选）（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）函数f(x)=2A．f(x)的最小正周期T为πB．f(x)向左平移3π8个C．若方程f(x)=1在(0,m)上共有6个根，则这6个根的和为33πD．f(x)x∈0,5π4图像上的动点M到直线2x-y+4=0【答案】ABD【分析】选项A，把图像上的点代入函数解析式，可以求出ω，再算出最小正周期进行判断；选项B，利用图像的平移，得到新函数解析式，再判断奇偶性；选项C，方程的根转化为两个函数图像的交点问题，再根据对称性求和；选项D，点到直线距离的最小问题，转化成曲线的切线问题解决.【详解】因为f(x)经过点5π8，又5π8在f(x)的单调递减区间内，所以又因为f(x)经过点5π4，  1又x=5π4是f(x)=1在x>联立①、②，可得5ωπ8=5π4，即ω=2，代入①，可得φ=-π4+2kπ(k∈Z)，又|φ|<f(x)向左平移3π8个单位后得到的新函数是设f(x)=1在(0，  m)上的6个根从小到大依次为x1，  x2，  ⋯，  x6．令2x-π4=π作与l：2x-y+4=0平行的直线，使其与f(x)x∈0，令f'(x)=22cos2x-解得x=kπ(k∈Z)或x=π4+kπ又f(0)=-1，令M1(0，  -1)，fπ4=1，M2π4，  1，则由|1+4|5>π故选：ABD．题型3恒等变换与平移【例题3】（2020春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数fx=asinωx+bcosωxω>0在区间π6,π2上单调，且fπ2=f2π3=-fπ6，当x=A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由已知可得fx=a2+b2sinωx+φ，由fπ2=f【详解】解：设fx=a∴π2-又fπ∴x=π2+且π2+π62由于0<ω≤3，所以x=7π12与则T=47π12-π3又a2+b解之得a=2，b=23故fx=2sin因为gx=4sinx+π3在-π3,0所以x=-π3右侧g同时x+π3>4所以y=gx-x+π故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.【变式3-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知把函数fx=sinx+π3cosx-34的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数gA．π B．3π4 C．3π2【答案】C【分析】先化简函数fx，然后根据图像的变换得函数gx的解析式，通过判断得x1，x2同时令gx取得最大值或最小值时，g【详解】fx=sinx+=14sin2x+32再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数gx，可得g所以gxmax=∴x1，x2同时令gx取得最大值或最小值时，gx1⋅gx2=根据函数的图象可知x1-x2的最大值为故选：C.【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为y=Asin【变式3-1】2.（多选）（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知f'x是fxA．将f'x图象上所有的点向右平移π2个单位长度可得B．fx与f'x的图象C．fx+fD．当a=b时，fx+f'x【答案】AC【分析】首先求得fx的导函数f【详解】∵fx=asin将f'x的图像向右平移π2个已知fx的图像与f3π2f3πfx+f'x=a+bfx-f'x=a-b当a=b时，fx+f当a>0时，fx+f'x在0,当a<0时，fx+f'x在0,综上可知fx+f'x故选：AC【变式3-1】3.（多选）（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知fx=2cos2ω2x+φ-1,ω>0,φ∈0,π4，具有下面三个性质：①将fx的图象右移π个单位得到的图象A．fx在x∈B．fC．将fx的图象左移π24个单位长度后得到的D．若gx与fx图象关于x=π3对称，则当x∈【答案】BCD【分析】根据①可得ω=2k,k∈Z，再根据③可得3T4<5π12<5T4，由此可得185<ω<6，从而可求得ω的值，再由②可知f5π12=±1，可求得φ的值，从而可求出函数f【详解】fx将fx右移π个单位得到的函数解析式为y=又该函数的图象与原图象重合，所以πω=2kπ,k∈Z，所以ω=2k,k∈Z，又fx在x∈0,5π所以π3<T<5π9，即π3所以fx又∀x∈R，fx≤f所以5π3+2φ=kπ,k∈Z，所以又φ∈0,π4，所以φ=由2kπ≤4x+π3≤2kπ+π,k∈Z所以函数fx的单调递减区间为当k=0时，函数fx在-由2kπ+π≤4x+π3≤2kπ+2π,k∈Z所以函数fx的单调递增区间为当k=0时，函数fx在π所以函数fx在0,π6fπfπf9π所以fπ将fx的图象左移π24个单位长度后得到的图象的解析式为又h(-x)=-sin4-x所以h(x)的图象关于原点对称，故C正确；π2,2π3关于当x∈0,π6时，4x+所以当x∈π2,2π3故选：BCD【变式3-1】4.（2020·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知fx=4sinx+3cosx，fx向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则【答案】34【分析】化简函数fx=5sin(x+φ)，其中tanφ=34，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得α=φ，求得tanα=tanφ=34，把方程fx【详解】由题意，函数fx=4sin因为fx向右平移α个单位后，可得g又由gx=5sin(x-α+φ)为奇函数，所以又因为0<α<π，所以α=φ，所以tanα=由方程fx-m=0在即方程fx=m在即函数y=fx与y=m在[α,π]上的图象因为x∈[α,π]，即x+φ∈[α+φ,π+φ]，又由tanα=tanφ=34<1，且所以当x+φ=π2，函数当x+φ=3π2，即x=π，函数fx当x+φ=α+φ，即x=α=φ，函数fφ要使得函数y=fx与y=m在[α,π]上的图象则245≤m<5，即实数m的取值范围是故答案为：34，24【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.题型4已知对称轴问题已知对称轴，可以带入对称轴【例题4】（2023·全国·高三专题练习）将函数fx=sinωx+π6ω>0的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于A．12 B．2 C．32【答案】B【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到π6ω+π6=π2+kπ，k∈【详解】fx=sinωx+π6因为gx=sinωx+π6ω+π6关于y因为ω>0，故当x∈0,π6因为函数fx在0,π6上单调递增，所以ω故ω=2+6k∈0,2，解得k∈-13,0，因为k∈故选：B【变式4-1】1.（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）将函数y=2sinωxω>0的图象向左平移φω0<φ<π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到fx的图象，已知函数fx的一个零点是x=π3，且直线A．11π18 B．7π18【答案】A【分析】根据函数图象的平移变换可得fx=2sinωx+φ-1，进而结合零点和对称轴可得π【详解】由题意得fx令fx=2sin所以ωx+φ=π6+2kπ或因为π3为函数f所以π3ω+φ=π6+2kπ又x=-π6是y=fx所以-π6ω+φ=π①-②得π2ω=±π即ω=±23+2k由于ω>0，所以k=0时，ω取最小值为23此时-π6×故选：A.【变式4-1】2.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数fx=sinx+φ0<φ<π的图象向右平移π4个单位长度可以得到gx的A．22,2 B．1,2【答案】A【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得φ，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.【详解】函数fx=sinx+φ的图象向右平移π由于gx是偶函数，所以φ-由于0<φ<π，所以φ=所以gx由于x∈3π4,π故选：A【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是ω的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域.【变式4-1】3.（2023·全国·高三专题练习）将函数y=cos2x+π3的图像向左平移φ【答案】π【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于y轴对称，列出方程，即可得到φ，从而得到结果.【详解】将函数y=cos2x+π3得到函数y=cos因为图像关于y轴对称，所以2φ+π3=kπ，k∈Z，则令k=0，得φ的最小值为π6故答案为：π【变式4-1】4.（2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=2sinωxcos2(ωx2-π4)-sin2ωxω>0，现将该函数图象向右平移【答案】(0,1]∪[【分析】根据给定条件，化简函数f(x)，结合图象平移求出函数g(x)，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.【详解】函数f(x)=sin因此g(x)=f(x-π4ω)=由2kπ-π即函数g(x)在[2k于是(π2,解得ω≥4k-12ω≤83k+1,k∈Z，由83当k=0时，0<ω≤1，当k=1时，72所以ω的取值范围为(0,1]∪[7故答案为：(0,1]∪[题型5已知对称中心问题已知对称中心，可以带入对中心【例题5】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）将函数fx=sinx+3cosx【答案】2【分析】先根据辅助角公式化简得fx=2sinx+π【详解】∵fx图像向左平移φφ>0个单位长度后得到y=2φ+π3=kπ,φ=-π故答案为：2π【变式5-1】1.（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将函数fx=sin2x+φ0<φ<π的图象向右平移π3个【答案】2【分析】根据函数的平移可得函数fx的图象向右平移π3个单位长度后得到的【详解】函数fx=sin(2x+φ)的图象向右平移π3个要使该函数为奇函数，则φ-2π3即φ=2π3又0<φ<π，则φ=故答案为：2π【变式5-1】2.（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）将函数fx=2sin2x+φ0<φ<π2的图像向左平移π6个单位，得到偶函数gx的图像，下列结论中：①gx的图像关于点π4,0对称；②fx在-【答案】①③④【分析】利用函数平移法则及偶函数性质求出fx,gx【详解】将函数fx=2sin2x+φ得到函数gx因为函数gx为偶函数，所以π3+φ=k因为0<φ<π2，所以φ=π6，所以①gπ4=2cosπ②因为x∈-π6,π③f7π6=2sin④由π2+2kπ≤2x+π所以fx在π故答案为：①③④【变式5-1】3.（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）将函数f(x)=2sin3x+φφ≤π2的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数g(x)的图象关于点-1118【答案】π2/12【分析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的表达式，根据其对称中心可求得【详解】将函数f(x)=2sin(3x+φ)(|φ|≤π2)的得到的函数g(x)=2sin(3x-3×2π9∴3×(-11π18因为|φ|≤π2，则若φ=π2，则∵g(x)在区间(φm,-当x∈(π2m,-∴9π-m即m≤-92，且m≤-9若φ=-π2，则∵g(x)在区间(φm,-当x∈(-π2m,-9π-7mπ即m≤-94且m≥9综上可得，φ=π2，故答案为：π2；【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得φ=±π【变式5-1】4.（2021·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知θ∈π4,π2,3π4,2π，现将函数fx=cos4x-sin4xA．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】首先化简fx=cos4x-sin4x，可得：fx=cos2x，因为y=tanωxω>0为奇函数，若要两函数【详解】依题化简得：fx=cos2x，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，fx-θθ=

θ=【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较难题.题型6周期问题1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解.2.利用图像观察求解.3.定义证明：f（x+T）=f（x）.4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期）.【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fA．sinπ2C．sinπ4【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2C选项中T=2ππ4排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2故选：B.【变式6-1】1.（多选）（2020·全国·校联考模拟预测）已知函数fxA．π是函数fxB．存在θ，使得函数fxC．当θ=π4时，函数fx在D．当θ=π时，函数fx的图象关于点2π,0【答案】BC【分析】本题可通过fx+π≠fx判断出A错误，然后通过取θ=π2判断出B正确，再然后令t=sinx+cosx，将f【详解】A项：因为fx+π所以fx+π≠fx，πB项：当θ=π2时，满足f-x=fxC项：当θ=π4=sin令t=sinx+cosx，则因为x∈0,π4则fx=gt故当t=1时，gt在1,2上取最大值，故函数fx在0,π4D项：当θ=π时，fx则f2π+x=-sinx+cos故函数fx的图像不关于点2π,0故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质的判断，考查三角函数的周期性、奇偶性、在区间内的最值以及对称性，若函数满足f2π+x=-f2π-x，则关于点2π,0中心对称，若函数定义域为R【变式6-1】2.（2023·北京·高三专题练习）函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足fπ2-x=fπ①f(π)=0；②π是函数f(x)的周期；③函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增；④函数g(x)=f(x)-sin1(x∈[-10,10])所有零点之和为其中，正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】由fπ2-x=fπ2+x可得f(π)=f0直接计算f0【详解】对于①：由fπ2-x对于②：由fπ2-x=fπ因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f所以f2π+x所以函数f(x)的周期为2π，故②不正确；对于③：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=x2-πx+π=x-π所以f(x)=sinxx2-πx+π所以函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增；故③正确；对于④：由fπ2-x=fπ2+x函数g(x)=f(x)-sin1(x∈[-10,10])所有零点之和即为函数y=fx与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[-π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2所以函数g(x)=f(x)-sin1(x∈[-10,10])所有零点之和为故答案为：①③④【点睛】求函数零点的方法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点的个数就是函数fx的零点个数；将函数fx拆成两个函数，hx和gx的形式，根据fx=0⇔hx=gx，则函数【变式6-1】3.（多选）（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知函数fnx=A．f12x在区间B．要得到f12x的图象，可将函数y=2cos2x图象上的C．f4x的周期为D．f3x【答案】BC【分析】f12x=2sin2x+π4，根据x的范围得出f12x的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得【详解】对于A项，由已知可得，f1因为0≤x≤π，所以π当2x+π4=π或2x+π4=2所以f12x在区间对于B项，将函数y=2cos2x图象上的所有点向右平移π8对于C项，由已知可得，f4x=sin4x+cos所以，f4x的周期T=2对于D项，f3x=sin3令t=cosx-π4，则g'解g't=0解g't>0，可得-22解g't<0，可得-1≤t<-22或22<t≤1且g-1=-3g22=所以，当t=-22时，gt有最小值-1；当t=22所以，f3x的值域为故选：BC.【点睛】思路点睛：求出f3x=322cosx-π4-【变式6-1】4.（多选）（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知函数fx=sinA．fx是周期函数，且π是它的一个周期 B．fx的图象关于直线C．fx的最大值为2 D．fx在区间【答案】ABD【分析】A选项，判断fx+B选项，判断f4C选项，先求0≤x≤π时fx的解析式，并求此时fxD选项，根据0≤x≤π时fx的解析式，求fx在0,【详解】A选项：因为f=sin所以fx是周期函数，且πB选项：因为f=sin12x+cos1C选项：当0≤12x≤π2易知π4≤12x+π4因为π是fx的一个周期，故当x∈R时，fD选项：当0≤x≤π时，由C选项知，f令π2+2kπ得fx的单调递减区间为π2,π2+π,π故选：ABD【变式6-1】5.（多选）（2021·全国·高三专题练习）关于函数f(x)=4sinA．f(x)的一个周期为π2； B．f(x)在πC．.g(x)=4sin12x+4【答案】BCD【解析】A.可验证f(x+π2)是否等于f(x)C.根据图象左右平移的特征可得答案；

D.根据周期计算出g(x)的值域可得答案.【详解】A.f(x+=4sinB.当x∈π2,3π单调递增区间为-π得-7π6+4kπ≤x≤5π6C.把函数f(x)=4sin12g(x)=4sin又它们的定义域都为R，所以它们的值域相同，正确；D．由C知函数f(x)与g(x)的值域相同，g(x+π)=4sin12所以x∈0,π时，g(x)=4sin1所以正确.故选：BCD.【点睛】有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.【变式6-1】6.（多选）（2022·河北唐山·统考三模）已知函数f(x)=8sinA．f(x)的周期为π B．f(x)关于点(π,0)对称C．f(x)在0,π2上的最大值为33 D．y=f(x)-1【答案】BCD【分析】对A，根据正弦与正切的周期判断即可；对B，计算fx对C，求导分析fx的单调性，进而求得0,对D，根据f(x)的对称性与单调性，数形结合分析即可【详解】对A，因为y=sinx的周期为2π，y=tanx的周期为π，故对B，因为fx+f2π-x=8sinx-tan对C，因为导函数f'x=8cosx-1cos2x在0,π2上为减函数，且当f'x=0时，cosx=12对D，分析y=f(x)-1x-π在-π2,5π2上的所有零点即f(x)=1x-π图象交点的横坐标，又y=f(x),y=1x-π均关于(π,0)对称，故分析x∈-π2,π时的图象即可.由C选项,在0,π3上fx单调递增；在π3,π2上f故选：BCD【变式6-1】7.（2022·全国·高三专题练习）法国数学家傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=AsinωxA,ω≠0①f(x)的一个周期为2π；

②f(x)的最小值为－22③f(x)图像的一个对称中心为（π3④f(x)在区间（π2，3π其中所有正确结论的编号为（

）A．①③ B．①② C．②③ D．①②④【答案】D【分析】依据周期的定义判断①；求得f(x)的最小值判断②；依据对称中心定义代入验证法判断③；求得f(x)在区间（π2，3π【详解】因为fx+2所以2π是f(x)的一个周期，①正确；fx=34sinx+14sin令t=sinx∈-1,1令h't>0，解得-22<t<2所以h（t）在区间[－1，－22）和区间（2在区间（－22，2当t=-22时，h（t）取得极小值h-故ht由于f2π3-x=34即f2π3当x∈[0,π]时，由h't>0得0≤由h'(t)<0得22综合复合函数的单调性，所以f(x)在区间[0，π4），（π2，在区间（π4，π2），（3π4故选：D．题型7平移与重合问题【例题7】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若将函数fx=2sinωx+π3,ω>0的图像向右平移A．π3 B．-π3 C．【答案】C【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对gx【详解】fx=2sin函数fx=2sinωx+得函数y=2sin而gx由题意ω=2,π2+φ=2k令φ=2kπ-2π令φ=2kπ-2π令φ=2kπ-2π令φ=2kπ-2π故选：C.【变式7-1】1.（2020·内蒙古·校联考一模）已知函数f(x)=2sinωx-2cosωx(ω<0)，若y=f(x+π4)的图象与y=f(x-π4A．[-π3+kπ2,-C．[-π3+2kπ,-π12+2kπ]【答案】A【详解】f(x)=2sin(ωx-π4),y=f(x+π4)的图象与y=f(x-π4)的图象重合，说明函数的周期πg(x)=cos2kπ-π≤4x+π3≤2kπ，则kπ2-【变式7-1】2.（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数A．14 B．12 C．3【答案】C【分析】根据图象变换可得y=sinωx+π【详解】将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的得到y=fx+则π3ω+π所以当k=0时，ω的最小值为34故选：C.【变式7-1】3.（2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点B(0,1)，且在(7π18,2π3)上单调，同时f(x)的图象向左平移π个A．-3 B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】由题设知sinφ=12且T=πn(n∈N*)、T≥5π9，即可求φ、ω，写出f(x)解析式，即可判断函数在x∈(-19π【详解】由题设知：f(0)=2sinφ=1，即sinφ=∴f(x)=2sin(ωx+π6)，而T=∴πn≥5π9(n∈N∴T=2πω=π，即ω=2当x∈(-19π12,-5π6)时，∴当x1,x2∈(-19π12,-5π∴f(x故选：C.【点睛】关键点点睛：由函数过点、区间单调以及图象平移后的性质求参数，写出函数解析式，进而根据f(x1)=f(【变式7-1】4.（2022·上海·高三专题练习）某作图软件的工作原理如下：给定δ∈0,0.01，对于函数y=fx，用直线段链接各点nδ,fnδ-5δ≤n≤5δ,n∈Z，所得图形作为y=fx的图象.因而，该软件所绘y=sin2001xA．1999 B．1001 C．999 D．101【答案】D【分析】由题意可知，该软件所绘y=sin2001x与y=sinx的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数y=sin2001x最小正周期的k k∈N*倍，若其所绘y=cosωx与y=cosx的图象也重合，则【详解】由题意可知，该软件所绘y=sin2001x与y=sinx的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数y=sin若其所绘y=cosωx与y=cosx的图象也重合，则δ也为函数y=cosωx最小正周期的k k∈因此，ω不可能的取值为101.故选D.【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出δ与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.题型8sinx,cosx和差积与最值sinxsin如果x∈R,则由辅助角可知sin【例题8】函数y=sin【答案】-2【分析】分3段讨论后，根据正余弦函数的性质可得．【详解】解：当x∈0,π4时，当x∈π4,5π当x∈5π4,2π时，∴x∈[0，2π]时，根据正余弦函数的周期性可知，y∈[-2，故答案为[-2，【点睛】本题考查了三角函数的最值,周期性，属中档题．【变式8-1】1.已知函数fx=sinxcosx-sinx-cosx，x∈【答案】0,π【解析】设sinx+【详解】设t=sinx+cos则y=t当y=1时，则t=-1，得x=2kπ-π2或x=2kπ-π，当y=-1时，则t=1，得x=2kπ+π2或x=2kπ，又x∈-π2,θ，若则θ的取值范围是0,π.故答案为：0,π.【点睛】本题考查二次函数型的复合函数的值域问题，本题是根据值域研究定义域，注意内层函数的值域作为外层函数的定义域，是一道难度较大的题目.【变式8-1】2.已知函数fx=-13cos2x-asinx-cosA．-14,14 B．【答案】C【分析】不妨设x1<x2，可得fx1-x1【详解】依题意对于任意的x1,x2∈不妨设x1<x2，可得fx1-gx则g'x=2设t=sin则23t2-1即2t2-3at-5≤0在所以4+32a-5≤04-3故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.【变式8-1】3.已知x∈0,π,y∈0,πA．x+y=π2 B．x+y=π4【答案】D【分析】解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果；解法二：将等式交叉相乘并化简，根据y=sinx-cosx的单调性得到解法三：对等式两边分别化简，然后根据y=tanx的单调性得到π4【详解】解法一：（排除法）当x→0时，y→π当y→0时，x→π解法二：由已知得sin又0<x+y<π,0<函数y=sinx-cos所以x+y=π2-x解法三：cossin所以tan又-πy=tanx在所以π4-x=y故选D.【点睛】本题考查利用三角函数单调性对等式进行化简，难度较难.（1）在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵活运用.（2）函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系.【变式8-1】4.若函数fx=sin2x-π3与A．π6 B．π3 C．π【答案】B【详解】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出f(x)的单调递减区间为5π12+kπ≤x≤11π12+kπ；利用辅助角公式，先将g(x)化成g(x)=2cos(x+详解：根据正弦函数的单调递减区间为π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z

g(x)=cosx-sinx=2cos

因为f(x)与g(x)在a,b(0<a<b<π)上同为单调递减函数，所以其交集为2kπ+5π所以选B点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等．熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算．【变式8-1】5.设max{m,n}表示m，n中最大值，则关于函数f(x)=①函数f(x)的周期T=2π②函数f(x)的值域为[-1,③函数f(x)是偶函数④函数f(x)图象与直线x=2y有3个交点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求解sinx+cosx=sinx-cosx【详解】当sinx+cosx=sinx-在同一坐标系种作出y=sinx+cosx与故f(x)=maxsinx+cosx,①fx的周期为32π-②当x=-π2+2kπk∈Z时，fx取得最小值-1，当x=π4+2kπk∈Z和x=③显然fx不为偶函数，故③④因为fx过-π2,-1，π2,1，x=2y过-2,-1，π2,故①②④正确.故选：C.【变式8-1】6.若函数fx=12cosA．17,1 B．-1,17【答案】D【详解】因为f/(x)=-sin2x+3a(cosx+sinx)+4a-1，由题设可得-sin2x+3a(cosx+sinx)+4a-1≥0在[-π2,0]上恒成立，令t=cosx+sinx，则sin点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．【变式8-1】7．已知函数fx在定义域R上的导函数为f'x，若函数y=f'x没有零点，且ffx-2019x=2019，当A．-∞,-1 B．-∞,2 C．-1,2 D．【答案】A【分析】根据导函数与单调性关系，可知fx为R上的单调函数，设t=fx利用换元法即可得fx=t+2019x，进而可得fx为增函数，即可知g【详解】由函数y=f'x没有零点，即方程f'x=0无解，则f'x所以fx为R∀x∈R都有ffx-设t=fx-则fx=t+2019x，易知∵gx∴g'x=又gx与f∴gx在-π2,π2当x∈-π2所以由正弦函数性质可知sinx+∴2sin所以-1-k≥0,k≤-1，即k∈-∞,-1故选：A.【点睛】本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.1．（2021·天津滨海新·校联考一模）将函数fx=cosx的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数gxA．0,29C．0,29【答案】A【解析】根据图象变换求出g(x)的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数fx=cosx的图象先向右平移56π再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=cosωx-5π因为函数gx在π2,3π2上没有零点，所以3π2-假设函数gx在π令g(x)=0，得ωx-5π6=kπ+π2，k∈Z则π2<kπω+又0<ω≤1，所以29<ω<2又函数gx在π2,所以0<ω≤29或故选：A【点睛】关键点点睛：求出函数g(x)的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cosA．π是f(x)的一个周期 B．函数在0,2C．函数f(x)的值域为[-5,1] D．函数f(x)在【答案】C【分析】对于A，根据fπ4+π≠fπ4即可判断；对于B，当x∈0,2π3将fx化简，然后检验即可；对于C，求出函数【详解】因为fπ当x∈0,2π3，f(x)=cosx-2sinx=515cosx-因为2π是函数f(x)的一个周期，可取一个周期[0,2π]f(x)=cosx-2sinx=515cosx-25sinx=5cos(x+φ)，φ≤x+φ≤π+φ因为函数f(x)为偶函数，所以在区间[-2π,2π]上零点个数可通过区间[0,2π]上零点个数，由y=sin|x|故选:C.3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设关于x、y的表达式F(x,y)=cos2x+cos2y-cos(xy)A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值【答案】D【分析】根据cos2x ，cos2y，cos【详解】由cos2x ，cos2y∈同时，由于π是无理数，因此当cosx=cosy=0时，cosxy≠1补充证明：二元表达式cos2x+cos2y-cosxy从而该式无最值.①取x=π，y=nπ（n∈N对任意ε>0，由抽屉原理，存在N∈N*，使得再考虑k∈N*，使得kδ<1<kδ+δ（由则n=kN时，2kNπ2+1-δ<kNπ②取x=π2，y=nπ+π对任意ε>0，由抽屉原理，存在N∈N*，使得再考虑k∈Z，使得kδ<-π则n=kN时，2kN4π-π故选：D．4．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数f(x)=asinx-23cosx的一条对称轴为x=-π6，f(A．2π3 B．π3 C．π【答案】A【分析】由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得x1,x【详解】由题，f(x)=asinx-23cosx因为对称轴为x=-π6，所以即-12a-3所以f(x)=4sin又因为f(x)在(x1,所以x1即x1所以x1当k=0时，x1+故选A【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题.5．（多选）（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0的最小正周期T<πA．sinB．ω的最小值为15C．若函数fx在π20,πD．函数fx在13【答案】ACD【分析】A选项，由fx图象关于x=π10对称结合fπ5=1可判断选项；B选项，由最小正周期T<π，fπ5=1，且fx【详解】A选项，因fx在x=π10处取得最大值，则fxf0B选项，最小正周期T<π，则2πω则π5ω+φ=π4+2mπ或则π10ω+φ=π2+2n其中m,n∈Z，则ω的最小值为5C选项，由AB选项分析结合π5ω+φ=π可取φ=3π4则k-34πω∈π当k≤1时，不存在相应的ω，当k=2时，5<ω<25，则存在ω=35由AB选项分析结合π5ω+φ=3可取φ=π4，令则k-14πω∈当k≤1时，不存在相应的ω，当k=2时，7<ω<35，则存在ω=45综上可知ω的最小值为352D选项，由C分析可知，ω=352时，可取此时f13π20=ω=52时，可取此时f13π当ω≠52,352则此时函数fx在13综上fx在13故选：ACD【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.