湖南省常德市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）下列各式中，分式的个数有（）

x−13，b2a+1，2x+yπ，−1m−2，12+a，(x−y)2(x+y)2，2−1x，−511．A.2个 B.3个 C.4个 D.5个以下列三条线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm，2cm，3cm B.2cm，3cm，4cm C.3cm，4cm，8cm D.4cm，4cm，9cm使分式2−x(x−2)(x2−9)有意义的x应取（）A.x≠3且x≠−3 B.x≠2或x≠3或x≠−3

C.x≠3或x≠−3 D.x≠2且x≠3且x≠−3下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A.a=−2 B.a=−1 C.a=1 D.a=2若关于x的方程x−3x−2=m2−x无解，则m的值为（）A.1 B.2 C.3 D.−1如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）

A.3：4 B.4：3 C.16：9 D.9：16如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（）A.PA+PC=BC B.PA=PB C.DE⊥AB D.PA=PC如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF的最小值为2．

上述结论始终正确的有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）化简1x-1x−1=______．若分式x2−1x+1的值为0，则x=______．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000

000

74mm2，这个数用科学记数法表示为______．如图，△ABC中，AD⊥BC于D要用“HL”定理判定△ABD≌△ACD，还需加条件______．

一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角∠3=72°，则∠1+∠2=______．

如图，在△ABC中，DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，交BC于点D，E，若△ADE的周长是18cm，则BC的长是______cm．已知x=-2时，分式x−bx+a无意义，x=3时，分式的值为0，则a+b=______．三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）已知1x-1y=5，求分式−x+xy+y2x+7xy−2y的值．

解分式方程：5x−1=1x+3．

先化简：(x−1x+1+2xx2−1)÷1x2−1，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

如图，把△ABC纸片沿DE折叠．当点A落在四边形BCDE内部时，求证：

①∠1+∠2=2∠A．

②当A落在四边形BCDE外部时，直接写出∠1，∠2与∠A之间的数量关系．

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，AC∥BG，CG⊥AD于点F，交AB于点E，求证：

（1）CD=BG；

（2）∠ADC=∠BDE．

甲、乙两商场自行定价销售某一商品．

（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为______元；

（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？

（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．

甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；

乙商场：两次提价的百分率都是a+b2（a＞0，b＞0，a≠b）．

请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．

如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，，，这4个式子分母中含有字母，因此是分式．

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．

故选：C．

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式．

本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．2.【答案】B

【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形；

B、2+3＞4，能组成三角形；

C、3+4＜8，不能够组成三角形；

D、4+4＜9，不能组成三角形．

故选：B．

根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．

本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．3.【答案】D

【解析】解：∵分式有意义，

∴（x-2）（x2-9）≠0，解得x≠2且x≠±3．

故选：D．

根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．4.【答案】A

【解析】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，

∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，∴A正确；

故选：A．

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．5.【答案】A

【解析】解：方程去分母得：（x-3）（2-x）=m（x-2），

解得：x=3-m，

当x=2时分母为0，方程无解，

即3-m=2，m=1时方程无解．

故选：A．

分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．6.【答案】B

【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，

∴h1=h2，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，

故选：B．

利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．

本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AP=BP，DE⊥AB，

∴AP+CP=BP+CP=BC，

故A、B、C选项结论正确；

∵P在AB的垂直平分线上，

∴AP和PC不一定相等，故D选项结论不一定正确，

故选：D．

根据作图过程可得DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义和性质可得AP=BP，DE⊥AB，利用等量代换可证得PA+PC=BC．但是AP和PC不一定相等．

此题主要考查了线段垂直平分线的做法，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．8.【答案】D

【解析】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠1=∠2，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∴在△APE与△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可证△APF≌△BPE，

①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；

②由△APE≌△CPF得到PE=PF，

∵∠EPF是直角，

∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；

③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF，则S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC，故③正确；

④由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=EP．当EP⊥AB时，EP去最小值，此时EP=AB，则EF最小值=AB=．故④正确；

综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．

故选：D．

利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．9.【答案】-1x(x−1)

【解析】解：-=-==-．

故答案为-．

将分式通分后，再按照同分母分式的加减即可求出结论．

本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法是解题的关键．10.【答案】1

【解析】解：分式的值为0，得

x2-1=0且x+1≠0．解得x=1，

故答案为：1．

分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．11.【答案】7.4×10-7

【解析】【分析】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】

解：0.000

000

74=7.4×10-7；

故答案为：7.4×10-7．

12.【答案】AB=AC

【解析】解：还需添加条件AB=AC，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

故答案为：AB=AC．

根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．

此题主要考查了直角三角形全等的判定，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，关键是正确理解HL定理．13.【答案】138°

【解析】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α=120°，∠2+β=90°，

∴∠1+∠2+α+β=90°+120°=210°，

且∠3=α+β，

∴α+β=72°，

∴∠1+∠2=210°-72°=138°，

故答案为：138°

如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α=120°，∠2+β=90°，且∠3=α+β，可求得∠1+∠2．

本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用α、β得到∠3和∠1、∠2之间的关系是解题的关键．14.【答案】18

【解析】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，

∴DA=DB，EA=EC，

∵AD+AE+DE=18cm，

∴BD+EC+DE=18cm，即BC=18cm．

故答案为：18．

如图，由题意可知DA=DB，EA=EC，再由AD+AE+DE=18cm，即可推出BD+EC+DE=18cm，即BC=118cm．

本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出DA=DA，EA=EC，正确的进行等量代换．15.【答案】5

【解析】解：由题意得：-2+a=0，3-b=0，

解得：a=2，b=3，

则a+b=5，

故答案为：5．

根据分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零可得：-2+a=0，3-b=0，再解即可．

此题主要考查了分式值为零和分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．16.【答案】解：∵1x-1y=y−xxy=5，

∴x-y=-5xy，

则原式=−(x−y)+xy2(x−y)+7xy=5xy+xy−10xy+7xy=-2．

【解析】

已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x-y=-5xy，原式变形后代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.【答案】解：去分母得：5x+15=x-1，

移项合并得：4x=-16，

解得：x=-4，

经检验x=-4是分式方程的解．

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.【答案】解：原式=[x2−2x+1(x+1)(x−1)+2x(x+1)(x−1)]•（x+1）（x-1）

=x2+1(x+1)(x−1)•（x+1）（x-1）

=x2+1，

∵x≠±1，

∴取x=0，

则原式=1．

【解析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再从-1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．

又∵AE=BD，

∴△AEC≌△BDA（SAS）．

∴AD=CE；

（2）∵（1）△AEC≌△BDA，

∴∠ACE=∠BAD，

∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

【解析】

根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．20.【答案】解：（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，则∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，

∵∠1+∠2=360°-2（x+y）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，

∴∠1+∠2=2∠A．

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，则∠1=180°-2x，∠2=y-（180°-y）=2y-180°

∴∠1-∠2=180°-2x-2y+180°=360-2（x+y）=2∠A

【解析】

（1）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，根据根据折叠的性质，以及平角的定义表示出∠1和∠2，求得∠1+∠2，再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，根据根据折叠的性质，三角形内角和定理，以及平角的定义表示出∠1和∠2，求得∠1-∠2，再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．

本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键．21.【答案】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，

在△BDE与△CEF中

BD=CE∠B=∠CBE=CF，

∴△BDE≌△CEF（SAS）．

∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．

（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，

∴∠BDE=∠CEF

∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B

∴∠DEF=∠B

∵AB=AC，∠A=40°

∴∠DEF=∠B=70°．

【解析】

（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；

（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC=∠BDE，∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B即可得出结论，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．22.【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天．根据题意，得

1023x+30(123x+1x)=1．

解得x=90．

经检验，x=90是原方程的根．

∴23x=23×90=60．

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

则有y(160+190)=1．

解得y=36．

需要施工费用：36×（8.4+5.6）=504（万元）．

∵504＞500．

∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．

【解析】

（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；

（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．

此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．23.【答案】证明：（1）∵CF⊥AD，

∴∠AFC=90°，

∴∠1+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

∵BG⊥BC，

∴∠CBG=90°，

在△ACD和△CBG中

∠ACD=∠CBGAC=CB∠3=∠2，

∴△ACD≌△CBG（ASA），

∴CD=BG；

（2）∵AD是BC边上的中线，

∴CD=BD，

而CD=BG，

∴BD=BG，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CBA=45°，

而∠CBG=90°，

∴∠EBG=45°，

在△BDE和△BGE中，

BD=BG∠DBE=∠GBEBE=BE，

∴△DBG≌△EBG（SAS），

∴∠G=∠BDE，

∵△ACD≌△CBG，

∴∠ADC=∠G，

∴∠ADC=∠BDE．

【解析】

（1）先由CF⊥AD得到∠AFC=90°，再利用等角的余角相等得到BG⊥BC，然后根据“ASA”可证明△ACD≌△CBG，则根据全等三角形的性质即可得到CD=BG；

（2）由于CD=BD，CD=BG，则BD=BG，再根据等腰直角三角形的性质得∠CBA=45°，则∠EBG=45°，然后根据“SAS”可证明△DBE≌△GBE，则根据全等三角形的性质即可得到结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．24.【答案】1

【解析】解：（1）1.15÷（1+15%）=1（元）；

（2）设该商品在乙商场的原价为x元，则

，

解得x=1．

经检验：x=1满足方程，符合实际．

答：该商品在乙商场的原价为1元．

（3）由于原价均为1元，则

甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）=1+a+b+ab．

乙商场两次提价后的价格为：（1+=．

∵．

∴乙商场两次提价后价格较多．

（1）灵活利用利润公式：售价-进价=利润，直接填空即可；

（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解．

（3）分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解．

此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．25.【答案】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠B