应用多元统计14总复习第二章

XY分别是p维、q维随机向量ABmplq常数矩阵 D(AX)=AD(X)A'Cov(AX,BY)Xpq随机矩阵AB分别是mpqE(AXB)=XY相互独立Cov(X,Y)＝OpqCov(X,Y)＝Opq,XY相互独立随机向量X的协方差阵D(X)=负定矩阵p1 0p

ilil

p

i其中1p为的特征根，l1lp)l1,…,lp为相应的正交单位特征向量随机向量XD(X)=可以表示为=L2,其中L是对称非负定矩阵.注当矩阵>0正定)时,L也称为的平方根矩阵,记为½X(t)=exp[it-0.5tt](≥0)f(x)=(2)-p/2||-1/2exp[-0.5(x-)-1(x-X12X3中是p维实向量，是p阶正定矩阵,则称X服从(非退化)p元正态分布;也称X为P维正态随机向量,简记X~Np(,).设X~Np(,),B为sp常数矩阵d为s维常数向量,则Z=BX+d~Ns(B+d,BB设

r pr r

p则X(1)~Nr((1),11),X(2)~Np-r((2),E(X)=,D(X)=设X~Np(,),将X,,XX(1)

(1) (2)

,

0

设ri1(i=1,,k),且r1+r2++rk=p,X(1)

1k X M~

p , M (k)

(k)

pp则X(1),,X(k)相互独立ij=O(一切ij)X(1)

(2

~Np

(2

且>0

p 22(X(1)|X(2))~Nr(1.2, =(1)+ -1(x(2) (2) 11.2=11-12

(2p (2(2p (2

p 22且>0则(1)X(2与X(1-12

22X(2)相互独立(2)X(1)与X(2)-

(3)(X(2)|X(1))~Np-r(2.1, 其中 =(2)+ -1(x(1) 22.1=22-2111-1 X(i)=(xi1,…,xip)(i样本均值向量XX1

,L,

)1nn 样本离差阵(又称交叉乘积阵)A1 1A(X(j

X)(X(j)X)X(j)X(j

X

(anX

X

i 样本协方差阵SS n

(si

)psi

n

a

xai

x (i1,2,L,pi称为变量Xi的样本方差;样本方差的平方根称为变量Xi的样本标准差.i样本相关阵RR(aiaiaj

j)psissisj

si

ai

(i,j1,2,L,p和 X(i)=(xi1,…,xip)(i=1,…,n)是来自p元正态总体Np(,)的随机样本,下面就各种情形②未知,和L(,)f(x(1),L,x(n)n

2

(2)np/2n/2exp[1

(x(i

(x(i

(2)np/2

n/2n/2 (i))1(x(i) 1(x 1(x(i(2)np/2

n/2exp[1tr( tr(AB)=

L(,)f(x(1),L,

n/2exp[1tr( (((2)np/2

n/2exp[tr(1(x(x(i))(x(i)ntr(Aa)=kk

n

)np/2

2

引理2.5.1若B为p阶正定矩阵,tr(B)-ln|B|且等号成立的充分必要条件是B=Ip讨论lnL(,lnxx当给定O时,lnL(, X(i)(i是p元正态总体Np(,)的随机样本n>p,则参数和 ˆX,ˆ1A(i(i

2

n

(i

C

2

(x)(x) C

tr[(x)

(xtr(AB)= C

C

2 [(x)1(x

)]

tr(A+B)=tr(A)+lnL(,)CC

12112

n[(x2

2lnL(,)C12

x lnL(x,)npln2nln1tr(1pln22ln

1A

n

n

n

np2

nlntr(B)-ln|B|lnL(x,)

ntr(1/

n

n

np2

nlnB1/2A1/为正定矩阵,则由引理nlnL(x,)Cnp

nln

B1/

A1/2

n nnn xnn

2

n2A n

2AAlnL(x, ) lnL(, ,

A) np/2An/ 2e X(i)(iˆX ˆ1n若ˆ1n

,

L(,) 当n>p时 P{A>0}= X(t)=(xt1,…,xtp)(tX1

A

(X(a)

nnt n定理2.5.2设X和pNp(,)本均值向量和样本离差阵

X~Ndn

(,1nAZtZt~Wp(n1,t其中Z1,…,Zn-1独立同Np(0,)分布P{A>0}=1n>ˆ函数g()的最大似然估计。例1已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(1求E(X)(2)给出XX1X2X3)(3)求(X1,X2)例1已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(1)求E(X),f(x)=(2)-p/2||-1/2exp[-0.5(x-)-1(x-

x22x2x22x1x22x2

2x12x2

4x22x12

2x3解 x1x2 x3E(X)=(1,1,例1已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(1)求E(X),f(x)=(2)-p/2||-1/2exp[-0.5(x-)-1(x- 1

D(X)

例1已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(2)给出XX1,X2,X3)其中=(11

,

(2)给出XX1X2X3)其中=(11

,

(3)(X1,X2)(X1,X2)~N2((1),11其中(1)=(1,

例2已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(1)求E(X),(2)给出XX1,X2,X3)(3)令Y=X1+X2，Z=X2–X3Z=(4)判断(3)中的Y与Z例2已知X

1X2X33f(x,x,

)(2)2exp0.5(x22x2x22xx2x

(1)(2)给出X=(X1,X2,X3)其中=(11

,

(3)令Y=X1+X2，Z=X2–X3Z=z首先，YZ=BX~N2(BBB 0

其中B

0

1

0

1

(3)令Y=X1+X2，Z=X2–X3Z=z 首先，YZ~N(2其

(Y|Z)~N,

=

,

11.2)=N(z+1,

12

(z (z-(z =

-

=2+2/2*(z-1)=11.2=5-2*2/2=(4(3)中的Y(Y,Z)~N( ), 其

因为cov(Y,Z)=20，所以Y与Z例3已知XX1X2X3 t3(t1,t2,t3)exp{i(t1t2t3)0.5(t22t2 2t1t2 t3(1)求E(X),(2)给出XX1X2X3)(3求(X1,X2)例3已知XX1X2X3 t3(t1,t2,t3)exp{i(t1t2t3)0.5(t22t2 2t1t2 t3(1)E(X),D(X)(2)X=(X1,X2,X3)X~N3(, 其中=(1,1, , 例3已知XX1X2X3 t3(t1,t2,t3)exp{i(t1t2t3)0.5(t22t2 t3(3)求(X1,X2)(X1,X2)~N2((1),11

2t1t2其中(1)=(1,

例4已知XX1X2X3 t3(t1,t2,t3)exp{i(t1t2t3)0.5(t22t2 2t1t2 t3(1)求E(X),(2)给出XX1,X2,X3)(3)令YX1+X2，ZX2X3Zz定时，Y(4)判断(3)中的Y与Z X~N3(,其中=(11

,

(3)令Y=X1+X2，Z=X2–X3Z=z首先，YZ=BX~N2(BBB 0 其中

B

0

1 0

0

1 (3)令Y=X1+X2，Z=X2–X3Z=z 首先，YZ~N2(其

(Y|Z)~N,

=

,

11.2)=N(z+1,

12

(z (z =

-

=2+3/3*(z-1)=z+11.2=5-3*3/3=(4判断(3)中的Y(Y,Z)~N(, 其

因为cov(Y,Z)=30，所以Y与Z例5 X(i)=(xi1,…,xip)(i是来自pNp(,)的随机样本下 证明:②未知, ln

n

1

)2 tr(AB)=tr(BA) 2

n22r(B)lnL()

2

22

x 有

lnL(x)npln 2

1tr(

L(x)(2)2e

1

2

2

(x(i))(x(i))

i1

A

0)ln 22220n 0n

A A