用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定

2009.12.16用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定联系电话讯地址：黑龙江省哈尔滨市呼兰区第六中学邮编：150500电子信箱：wangweihua999999@我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。θβθβαl图11.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有（图2）；2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）θθβlαωωθβlα图2图2图3在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向yxzlOΧУ图41.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示yxzlOΧУ图4βyxzlO图52.若平面法向量，βyxzlO图5四．应用举例例题1.如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其由图知，半平面SBA的法向量为=(1，0，0)的方向指向面SCD与面SBA所成的二面角的里面，半平面SCD的法向量指向面SCD与面SBA所成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得：cos=∴所求的二面角的余弦值为.若在：AzAzyxDCBS图9SCD与面SBA所成的二面角的里面了，如图9，两个法向量的夹角与二面角的大小互补，即：=<∴cos=<注：在求得关于x,y,z的关系式，给z赋值时，由于版面的空间有限，只好取z=，而通常我们在做题时，一般都令z=1,这样便于计算。>评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）法向量的取法可以灵活多变，但做出法向量的时候，要遵循一个原则，即：从原点出发。将向量知识引进中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，又给很多问题的解决增加了亮点，比如：在解析几何上，在立体几何上都有其非