七年级数学上册专题5.8 期末专项复习之几何图形初步十八大必考点（举一反三）（人教版）（原卷版）

/专题5.8几何图形初步十八大考点【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1直线、射线、线段的条数】 1【考点2双中点线段问题】 2【考点3线段的等分点问题】 3【考点4线段动点的定值计算】 4【考点5线段中的参数表示(比例关系)问题】 6【考点6剪绳子(端点重合)问题】 7【考点7动点中线段和差问题】 8【考点8线段的长短比较】 10【考点9时针和分针重合次数与时间】 10【考点10两定角、双角平分线与角度关系】 11【考点11线段、角的规律问题】 13【考点12角度的翻折问题】 14【考点13两块三角板旋转问题】 16【考点14射线旋转与角度的关系】 18【考点15余角和补角的性质】 20【考点16从三个方向看几何体】 22【考点17根据从三个方向看到的图形确定几何体】 23【考点18几何体展开图的识别】 24【考点1直线、射线、线段的条数】【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为______．【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有AB，AC，AD3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但AB和BA是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有______条线段．知识迁移：若在一个锐角∠AOB内部画2条射线OC，OD，则这个图形中总共有______个角；若在∠AOB内部画n条射线，则总共有______个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点2双中点线段问题】【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有E、F、G、H四点．若点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，则有（）A．EF=GH B．EG>GH C．GH>2FG D．FG=【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a−16)2+|2b−8|=0，求a，(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有A，B，C三点，AB=8cm，AC=18cm，点P，Q分别是AB，AC的中点，则【考点3线段的等分点问题】【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．（1）数轴上点P表示的数为，点Q表示的数为（用含t的代数式表示）；（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；（3）点P追上点Q时，求t的值；（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为．【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若CB=2，则线段AB的长为______．【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43AB（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=【考点4线段动点的定值计算】【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足a+1+(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x−2的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM−2BN的值不变；②PM−2【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0(1)数轴上点P表示的数为__________（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，AP=2BP？(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．【变式4-2】（2022·江苏·南京市科利华中学七年级阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dAC例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB反之，当dACAB=因此，我们可以这样理解：“dACAB=n【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dAC若dACAB=23【拓展与延伸】(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅dAPAB+d②t为何值时，dAQ【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点5线段中的参数表示(比例关系)问题】【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【考点6剪绳子(端点重合)问题】【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段AB，在线段AB取一点P，使AP=13PB，从P处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24A．32cm B．64cm C．32cm或64cm 【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．34【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A′①如图2，若A′,B②如图3，若点A′落在B′的左侧，且③若A′（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B′处，在重合部分B【考点7动点中线段和差问题】【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段AB上的运动，当PM=10时，PN=；(2)若点P在射线AB上的运动，当PM=2PN时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持BC=n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m．(1)如图，当动点B，C在线段OA上移动时，①若n=2，且B为OA中点时，则点B表示的数为__________，点C表示的数为__________；②若AC=OB，求多项式6m+3n−40的值；(2)当线段BC在射线AO上移动时，且AC−OB=12AB，求m【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．【考点8线段的长短比较】【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(

)A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是()A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB<CD. D．无法确定.【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC=34AC，且AC=16cm，则(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．【考点9时针和分针重合次数与时间】【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（

）A．有一种 B．有二种 C．有三种 D．有四种【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：

（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．

（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．实验准备：机械钟（手表）一只实验内容与步骤：观察与思考：（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）操作与探究：（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？拓展延伸：一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）【考点10两定角、双角平分线与角度关系】【例10】（2022·陕西西安·七年级期中）已知∠AOB和三条射线OE、OC、OF在同一个平面内，其中OE平分角∠BOC,OF平分角∠AOC，(1)如图，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度数；(2)如图，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面内，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接写出用α、β表示∠EOF．【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB,OA关于OM(1)【理解题意】如图1，射线OB,OA关于OM对称且∠AOB=45∘(2)【应用实际】如图2，若∠AOB=45∘,OP在∠AOB内部，OP,OP1关于OB(3)如图3,若∠AOB=45∘,OP在∠AOB外部，且0∘<∠AOP<(4)【拓展提升】如图4，若∠AOB=45∘,OP,OP1关于∠AOB【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．(1)如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；(2)将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．【考点11线段、角的规律问题】【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（

）A．190 B．380 C．231 D．462【变式11-3】（2022·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A．4−122020 B．6−122019【考点12角度的翻折问题】【例12】（2022·山东德州·七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=_____．【变式12-1】（2022·广西·上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知∠CED′=50º.则∠AED的是()A．60º B．50º C．75º D．65º【变式12-2】（2022·福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型．其中有三个步骤如下：如图①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带EF折叠成图案②，再沿BF折叠成图案③，则③中的∠CFE的度数是()A．20° B．120° C．90° D．150°【变式12-3】（2022·江西南昌·七年级期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点N在边AD上，将∠NAE沿EN翻折到∠NA'E，射线EA'与CD交于点F.点M在边BC上，将∠MBE沿EM翻折到∠MB'（1）如图1，若点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠AEN=∠FEG+10∘，∠BEM=∠FEG+20∘，求（3）若点G在点F的左侧，且∠FEG=a，求∠MEN的度数（用含a的代数式表示）.【考点13两块三角板旋转问题】【例13】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．①若∠ECD=35°，则∠ACB=_________；若∠ACB=140°，则∠ECD=______；②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何特殊关系，并说明理由；(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶，点A重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，则∠GAC与∠DAF的大小又有何关系，请说明理由；(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系：________．【变式13-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为______；（3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角∠AOB的顶点与60°角∠COD的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（如图②），当OB平分∠EOD时，求旋转角度α．【变式13-2】（2022·河南南阳·七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝．②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．【变式13-3】（2022·湖北随州·七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD=∠AOB=90°．(1)将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=35°，则∠BOD=______；当∠AOC＜90°时猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分∠AOB？【考点14射线旋转与角度的关系】【例14】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．【变式14-1】（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．【变式14-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为（直接写出答案）．【变式4-3】（2022·湖南岳阳·七年级期末）(1)特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．①若AM＝16cm，则CD＝cm；②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．(2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．(3)类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k【考点15余角和补角的性质】【例15】（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得OC⊥OE．（1）如图，OD平分∠AOC．若∠BOC=40°，求∠DOE的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．解：∵点O是直线AB上一点，∴∠AOC+∠BOC=180°．∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°．∵OD平分∠AOC．∴∠COD=12∠AOC∴∠COD=°．∵OC⊥OE，∴∠COE=90°（）．∵∠DOE=∠+∠，∴∠DOE=°．（2）在平面内有一点D，满足∠AOC=2∠AOD．探究：当∠BOC=α(0°<α<180°)时，是否存在α的值，使得∠COD=∠BOE．若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．【变式15-1】（2022·福建·福州市秀山初级中学七年级阶段练习）如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为________°；（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：_________________________．【变式15-2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以C为顶点的相等的角；(2)若∠ACB=150°，求∠DCE度数；(3)写出∠ACB与∠DCE之间所具