变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)概述

中国药科大学数学教研室杨访第六节相关变化率举例及相关变化率本节概要

应用问题中的函数关系所涉及的变量往往不止一个，这些变量及变化率之间都有着某种依赖关系和联系，这就是所谓相关变量及相关变化率问题。一、相关变化率问题举例几乎所有的科学领域都有变化率问题，前面对函数关系及变化率问题的讨论主要以抽象形式进行的，即所研究的是函数及其变化率的一般性质。这些函数关系及变化率问题其实都有着具体的实际背景和广泛的应用。为更感性地理解这种函数关系及变化率的概念，以下考察一些具体背景及应用问题。例：如果s

=

f(

t

)表示质点沿数轴作直线运动时的位置函数，由导数的物理意义可知，代表质点在时刻

t

时的瞬时速度，即位移关于时间的变化率。设质点位置函数的具体表达式为

s

=

f(

t

)=t

3-6

t

2+

9

t，其中

t、s的单位分别为

s

和

m

.(1)求速度表达式，并分别写出

2s

和

4s时的速度；(2)何时质点静止不动；(3)何时质点沿数轴正向运动；(4)画出质点运动草图；(5)求出前

5s

质点运动的路程。速度与路程问题解根据导数的物理意义进行计算求质点的速度表达式及

2s,4s

时的速度导数速度函数是位置函数对时间的导数，给定位置函数s

=

f(

t

)=t

3-6

t

2+

9

t，故求得速度函数为当

t

=

2

时，v(

2

)=[

3t

2-

12

t

+

9

]t

=

2=

3

2

2-

12

2

+

9=

-3

m

/s，当

t

=

4

时，v(

4

)=[

3t

2-

12

t

+

9

]t

=

4=

3

4

2-

12

4

+

9=

9

m

/s.求质点运动过程中的瞬间静止不动点质点的静止不动点就是速度为零的点，于是令

v(

t

)=

3t

2-

12

t

+

9

=

3(

t

2-

4

t

+

3

)=3(

t

-

1

)(

t

-

3

)=

0，解得

t

=

1

和

t

=

3是质点的静止不动点。质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴方向一致的时间段，即

v(

t

)>

0

的情形，于是令v(

t

)=

3t

2-

12

t

+

9

=3(

t

-

1

)(

t

-

3

)>

0，解得

t

<

1

和

t

>

3.求质点沿数轴正向运动的时间段作质点运动草图作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，而不是位移函数的二维图形。由前几问的讨论知：当

t

<

1

和

t

>

3时，质点沿数轴正向运动，当1<t

<

3时，质点沿数轴反向运动。于是可作出质点运动的轨迹图如下：求质点在

5s

内走过的路程因为当

t

<

1

时，质点沿数轴正向运动，当1<t

<

3时，质点沿数轴反向运动，当

t

>

3时，质点又沿数轴正向运动。因此质点在

5s内走过的路程应逐段考察。质点从

t

=

0到

t

=

1内走过的路程为

f(

1

)-

f(

0

)

=

4-

0

=

4(

m

)；质点从

t

=

1到

t

=

3内走过的路程为

f(

3

)-

f(

1

)

=

0-

4

=

4(

m

)；质点从

t

=

3到

t

=

5内走过的路程为

f(

5

)-

f(

3

)

=

20-

0

=

20(

m

)；于是求得质点在

5s内走过的路程为4

+

4

+

20

=

28(

m

)

.例：如果金属杆是均匀的，那么其线密度是不变的，此时可用单位长度的质量来定义其密度，其单位为kg/m.现考虑不均匀杆的密度定义，假设从左端算起长度为x的一段杆的质量为m=f(x)，杆位于x=x1和x=x2之间局部的质量为m=f(x2)-f(x1),其平均线密度为这局部质量为f(x)线密度问题随着x→0(即x2→x1)，平均线密度的极限就是金属杆在x=x1处的线密度，即线密度是质量关于长度的变化率或导数。用符号表示就是例如：设m=f(x)=，那么杆在[1,1.2]上的平均线密度为而在x=1处的线密度为二、相关变化率如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化率往往能由其它变化率计算出来。(1)

相关变化率问题的一般概念设变量x，y间的关系满足方程F(x,y)=0.假设变量x、y还和另一变量t之间存在函数关系：x=(t)，y=(t)，那么三变量x、y、t间的关系满足方程F(x,y)=F[(t),(t)]=0.将此方程两边对变量t求导可得方程G[x,y,(t),(t)]=0.由于x=(t),y=(t)，故只要知道了(t)(t)中的一个，解方程就可求得另一个，由此还可进一步求得(2)

相关变化率问题分析例：有一底半径为R(cm)，高为h(cm)的圆锥形容器,今以每秒A(cm3)的速率自顶部向容器内注水，试求：当容器内水位到达锥高一半时，水面上升的速率？容器内水位高度x显然是时间t的函数，记为x=x(t)，于是问题归结为求由于x=x(t)难以写出，直接求x对时间的变化率有困难。注意到水注入速率，即容器内水的体积V的变化速率的，故考虑先求出体积V与t的函数关系，再间接求分析解利用相关变化率关系求解设圆锥形容器的容积为V0，容器内尚未被水填充局部的体积为V1，那么有V=V0-V1.易求得由图可得故有求得容器中水的体积

V

与液面高度

x

的函数关系为将上式两边对

t

求导有

代入条件于是求得当

x=h/2时有

例：甲船以每小时

24(

km

)的速度向北行驶，同时在正东

10(

km

)处有乙船以每小时

20(

km

)的速度向东行驶,问：从这一时刻起经一小时后，两船间的距离按怎样的速率变化？这是求相对速率的问题。由于速率是路程函数对时间的导数，为求速率应先确定路程函数。为确定路程函数应先建立适当的坐标系。分析以甲船最初时刻所在位置为原点

O，以甲船行驶的正北方向为

y

轴方向，以乙船行驶方向为

x

轴方向建立坐标系。由所设坐标系，甲船最初时刻位于原点

O，乙船最初时刻所在位置为

C点。解建立适当坐标系进行计算甲船行驶方向乙船行驶方向建立坐标系设t小时后，甲船行驶了y(km)到达A点，乙船行驶了x(km)到达B点，甲乙两船的距离为S，那么S,x,y都是时间t的函数，即