计数原理排列组合题型练习

计数原理［基础训练A组］一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A．81 B．64C．12D．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140种B.84种C.70种D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A.A3 B.4A3 C.A5—A2A3 d.A2A3+AiAiA33 3 5 33 23 2334.a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A.20 B．i6 C．i0 D．65•现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A.男生2人，女生6人 B•男生3人，女生5人C•男生5人，女生3人 D•男生6人，女生2人.6•在--亠的展开式中的常数项是（）124x丿A.7 B.—7 C.28D.—287-（1—2x）5（2+x）的展开式中x3的项的系数是（）A.i20 B．—i20 C．i00 D．—i008.L'7+—Y展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）I x2丿A．i80B．90C．45D．360二、填空题1•从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么⑴甲一定当选，共有种选法.⑵甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.3•由O，1，3,5,7,9这六个数字组 个没有重复数字的六位奇数.4•在（x-J3）10的展开式中，x6的系数是.5.在（1-x2）2。展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，则r二，T二.4r6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有 个？7•用匕4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288，则x.8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有 个？三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）髙三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？⑵高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？⑶有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，2）甲不排头，也不排尾，3）甲、乙、丙三人必须在一起，4）甲、乙之间有且只有两人，5）甲、乙、丙三人两两不相邻，6）甲在乙的左边（不一定相邻），7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，8）甲不排头，乙不排当中。3•解方程(1)A4二140A3；TOC\o"1-5"\h\z2x x(2)Cn+1=Cn-1+Cn+Cn—2n+3 n-1 n+1 n（ 1\n4.已知X2-—展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系数的和大128,k x丿（1\求x2--展开式中的系数最大的项和系数量小的项.k x丿5-（】）在（1+x）n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少?（l1 \n（2） xJX+卓的展开式奇数项的二项式系数之和为I28,I丿则求展开式中二项式系数最大项。+ax5o,其中a,a,a50 0 1 2,a50是常数,计算6■已知(2—*3x)+ax5o,其中a,a,a50 0 1 2,a50是常数,计算012(a+a+a+ +a)2—(a+a+a+ +a)20 2 4 50 1 3 5 49［综合训练B组］一、选择题1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个 B．48个C．36个 D．24个3X不同的电影票全部分给10个人/每人至多一X,则有不同分法的种数是（）A.1260B.120C.240D.720ngN且n<55，则乘积（55-n）（56-n） （69-n）等于A・A55-n B・A1569-n 69-n•••C.A15 D.A1455-n 69-n4从字母a,b,c,d,e,f中选岀4个数字排成一列，其中一定要选出a和b,并且必须相邻（。在b的前面），共有排列方法（）种・A.36B.72C.90D.144从不同的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A.120 B.240TOC\o"1-5"\h\zC.280 D.60把（活-x）10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（）A.135 B.-135C.-360d.360*.3i（ 1、2n2x+—的展开式中，x2的系数是224,I 2x丿则丄的系数是（）x2A.14 B.28C.56D.112在（1-x3）（1+x）10的展开中，x5的系数是（ ）A.-297B.-252C.297D.207二、填空题n个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？以1，2，3，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.已知集合S={—1Q1},P={l，2,3,4},从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标，可作TOC\o"1-5"\h\z出不同的点共有 个.n,keN且n>k,若Cn:Cn:Cn=1:23则n+k=\o"CurrentDocument"k-1k k+1( 1 、5x+1-1展开式中的常数项有Ix丿6•在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有 种(用数字作答).7・(x-1)_(x-1)2+(x-1)3—(x-1)4+(x-1)5的展开式中的x3的系数 &A={1，2,3,4,5,6,7,8,9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为 .三、解答题1•集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合AB中有4个元素，集合C满足(1)C有3个元素； (2)CEAIIB(3)CBH①,CAHe求这样的集合c的集合个数.2•计算：(1)(C21001001012)C3+C3+ +C3.3 4 10Cm Cn-m+13)—n+1—n Cm Cn-mnn3．证明：Am+mAm-1二Am.n n n+14求++-2）3展开式中的常数项。x5.从｛一3,-2,-1，0，1，2,3,4｝中任选三个不同元素作为二次函数y二ax2+bx+c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?6.8X椅子排成，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种?［提高训练C组］一、选择题1•若A3二6C4，则n的值为（）nn

A．6B．7C．8D．92．某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）A．C2C2C1302046B．C5—C5—C550 30 20A．C2C2C1302046B．C5—C5—C550 30 20C．3．C5—C1C4—C4C150 3020 30206本不同的书分给甲、乙、丙三人C3C2+C2C33020 3020每人两本，不同的分法种数是D．A．4．C2C2C2C2C2b.~4264 A33设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则-的值为（）SC．6A33D．C3620A.——128C.^6128B．D．15V28211285•若(2x+*3)4=a+ax+ax2+ax3+ax4,TOC\o"1-5"\h\z0 1 2 3 4则（a+a+a）2—（a+a）2的值为（ ）0 2 4 1 3A.1 B.—1C.0 D.26.在（x+y）n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（）A.13,14 B.14,15C.12,13D.11,12,137•不共面的四个定点到平面Q的距离都相等，这样的平面Q共有（）A.3个B.4个C.6个 D.7个8•由0,1,2,3,・..,9十个数码和一个虚数单位i可以组成虚数的个数为（）A.100 B.10C.9D.90二、填空题将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种？在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上0点共个点，以这12个点为顶点的三角形有个.a,b,c则可组成不同的函数 个,其中以y轴作为该函数的图像的对称轴的函数有4．___个.('4．___个.('若a若 IXXj92丿9的展开式中x3的系数为4，则常数a的值为.+C2=363,则自然数n=n5+C2=363,则自然数n=n345TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 176•若——= ，则Cm=CmCmlOCm. 85 6 77-0.9915的近似值(精确到0・001)是多少?8■已知(1—2x)7=a+a+ax2++ax7，那么a+a++a等于多少？o1 2 7 1 2 7三、解答题1・6个人坐在一排10个座位上，问⑴空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多•有2个相邻的坐法有多少种？2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法?3•求(1-2x)5(1+3X)4展开式中按x的降幂排列的前两项.4■用二次项定理证明C2n+2-8n-9能被64整除(ngN).证：C0+2C2+ +(n+l)Cn=2n+n•2n—i.nn n6-⑴若(1+x)n的展开式中，X3的系数是x的系数的7倍，求n；(2)已知(ax+1)v(a丰0)的展开式中,x3的系数是X2的系数与x4的系数的等差中项，求a;⑶已知(2x+xigx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于H20，求x.参考答案计数原理［基础训练A组］一、选择题1.B 每个小球都有4种可能的放法，即4x4x4二642.C分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C1C2；⑵甲型2台，乙型1台：C2C1C1C2+C2C1二70TOC\o"1-5"\h\z5 453.C 不考虑限制条件有A5，若甲，乙两人都站中间有A2A3，A5-A2A3为所求3 3 5 3 34-B不考虑限制条件有A2，若a偏偏要当副组长有A1,A2-A1=16为所求5 4 5 45.B 设男学生有x人，则女学生有8-x人，则C2C1A3二90,x8-x3即x(x—1)(8—x)二30二2x3x5,x=3x 1 1 1 1 4AT=Cr()8-r(— )r=(—1)r()8-Cx#宀3「=(—1)r(_)8-Cx#3「r+1 82 3上 2 8 2 841令8——r=0,r=6,T=(—1)6()8-6C6=73 7 2 8B (1—2x)5(2+x)—2(1—2x)5+x(1—2x)5二…+2C3(—2x)3+xC2(—2x)2+...55—(4C2—16C3)x3+...——120x3+...55A 只有第六项二项式系数最大，则n—10,TOC\o"1-5"\h\z2 5 5T—Cr(仁)10-r( )r—2『Crx5—2，令5——r—0,r—2,T—4C2—180r+1 10 x2 10 2 3 10二、填空题(1)10C3—10；(2)5C4—5；(3)14C4—C4—145 5 6 48640 先排女生有A4，再排男生有A4，共有A4-A4—86406 4 6 44800既不能排首位，也不能排在末尾，即有A1，其余的有A5，共有A1-A5—4804 5 4 51890T—Crx10-r(―\；'3)r，令10—V—6,V—4,T—9C4x6—1890x6r+1 10 5 104,—C15x30C4r—1—Cr+1,4r—1+r+1—20,r—4,T—C15(—x2)15——C15x30202020162020840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A2，其余的A2，共有A2•A2—8405 7 5 72当x丰0时，有A4—24个四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x424(1+4+5+x)—28&x—2；当x—0时，288不能被10整除，即无解8.11040 不考虑0的特殊情况，有C3C2A5—12000，若0在首位，则C3C1A4—960,5 5 5 5 4 4C3C2A5-C3C1A4二12000-960二110405 5 5 5 4 4三、解答题1•解：⑴①是排列问题，共通了A2二110封信；②是组合问题，共握手C2二55次。⑵①是排列问题，共有聲=90种选法；②是组合问题，共有45种选法。⑶①是排列问题，共有A2=56个商；②是组合问题，共有C2=28个积。882•解：⑴甲固定不动，其余有A6=720，即共有A6=720种；66⑵甲有中间5个位置供选择，有A1，其余有A6二720，即共有A1A6二3600种；5 6 5 6⑶先排甲、乙、丙三人，有A3,再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排列，即A5，则共有A5A3二720种；5 5 3(4)从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有A［，甲、乙可以交换有A：，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，则共有A2A2A4二960种；524⑸先排甲、乙、丙之外的四人，有A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排4这五个空位，有A3，则共有A3A4二1440种；5 5 4不考虑限制条件有A，甲在乙的左边(不一定相邻)，占总数的一半，1即-A7二2520种；27先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A4，留下三个空位，甲、乙、丙7三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A4二8407不考虑限制条件有A7，而甲排头有A6，乙排当中有A6，这样重复了甲排头，766乙排当中A5一次，即A7-2A6+A5二37205 7 6 5‘2x+1>4-_ x>33•解：(1)A4二140A32x+i xxeN(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)二140x(x-1)(x-2)

x>3OvxGN、(2x+l)(2x-1)二35(x-2)x>3OvxGN4x2-35x+69=0C2=C2+C1+C2,C2+C1=C2+C2n+3 n+1 n+1 n n+2 n+2 n+2nC1 =C2,n+2= ,n=4n+2 n 24．解：24．解：2n-27=128,n=8x2-1［的通项Tx丿 r+1=Cr(x2)8-r(一)r=(-1)rCrx16-3r8 x 8当r=4时，展开式中的系数最大，即T=70x4为展开式中的系数最大的项；当厂=3,或5时，展开式中的系数最小，即T=-56x7,T=-56x为展开式中26的系数最小的项。5■解：（1）由已知得C2=C5nn=7nn⑵由已知得C1+C3+C5+...=128,2n-1=128,n=8，而展开式中二项式nnn系数最大项是T=C4（x*G）4（丄）4=70x43x?。TOC\o"1-5"\h\z4+1 8 3v6■解：设f(x)=(2-+3x)50，令x=1,得a+a+a+ +a=(2-\3)50' 0 1 2 50令x=-1，得a-a+a- +a2 50(a+a+a+024+a)2=49+(a+a+a+024+a)2=4950 1 3 5(a+a+a+012+a)(a-a+a-50 0 1 2+a)(a+a+a+012+a)(a-a+a-50 0 1 250\o"CurrentDocument"［综合训练B•组］ …一、选择题1-C个位Ai，万位A1，其余A3，共计AiA1A3=363 3 23 3D 相当于3个元素排10个位置，A3二72010B从55-n到69-n共计有15个正整数，即A1569—nA 从c,d,e，f中选2个，有C2，把a,b看成一个整体，则3个元素全排列，A343共计C2A3二3643A 先从5双鞋中任取1双，有C1，再从8只鞋中任取2只，即C2，但需要排除584种成双的情况，即C-4，则共计C5(Cf-4)二1208 5 8DT=C7(J3i)3(-x)7=360.'3ix7，系数为360J3i8101A T二Cr(2x)2n-r =22n-rCrX2n-2r令2n—2f=2,Y—n—1TOC\o"1-5"\h\zr+1 2n 2X 2nC3 14则22Cn-1—224,Cn-1—56,n—4，再令8-2r—-2,r—5,T——x-2——2n 2n 6 4 X2D (1-X3)(1+X)10—(1+X)10-X3(1+X)10—(C5-C2)X5+...—207X5+...1010二、填空题1-2n 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2X2X…X2(n个2)—2n60 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即—1—3+—3—1—60TOC\o"1-5"\h\z54 5423—1—1A2-1—23，其中(1,1)重复了一次3423n—1,k—2< 1 \5 1 15--51(X+_)—1的通项为—5(X+_)5-r(-1)r,其中(X+_)5-r的通项为IX丿 rX X—r'X5-r-2r'，所以通项为(-1)r—r—r'X5-r-2r'，令5—r—2厂—05-r 55-r5-r得厂—〒，当r—1时，厂—2，得常数为-30；当r—3时，r'—1，得常数为-20；当r—5时，r'—0，得常数为—1；/.—30+(—20)+(—1)——516.41863件次品，或4件次品，—3—2+—4—1—4186TOC\o"1-5"\h\z446 446715 原式(x-1)[1+(x-1)5] (x-1)+(x-1)6 ( 舟厶士4 „7-15原式— — ，(X―1)6中含有X4的项是1+(X-1) X

qx4（-1）2=15x4，所以展开式中的x3的系数是1568．105直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数间接法：C5-C5-C4C1=1059 5 54C2C3+间接法：C5-C5-C4C1=1059 5 54TOC\o"1-5"\h\z45 45 45三、解答题1■解：AB中有元素7+10一4=13C3-C3-C3=286-20-1=265。13 6 3A3 12•解:(1)原式二(C2+C3)一A3=C3一A3=-^01一A3=1一A3=_。100 100 101 101 101 A3 101 3 63⑵原式=C3 +C4 -C4+C4-C4 + +C4-C4 =C4 =330。5 4 6 5 11 10 11另一方法：原式=C4+C3+C3+ +C3=C3+ C34 5 10 5 10•••=C4+C3+ +C3= =C4+C3=C4=330610101011•・••・•Cm +Cm-1Cm-1 Cm-1Cm-1TOC\o"1-5"\h\z3)原式=—nn —n =1+—n —n =1… Cm Cm Cm Cmn n n nn! m-n! (n-m+1)-n!+m-n!3•证明：左边= + =(n-m)! (n-m+1)! (n-m+1)!("+1)! =Am=右边[(n+1)-m]! n+1所以等式成立。4•解：dX+打-2）3=罟邑，在（1-|x|）6中，叶的系数C3（-1）3=-20另一方法：就是展开式中的常数项。另一方法：=C3(-1)3=-2065•解：抛物线经过原点，得c=0,当顶点在第一象限时，a<0,b2a当顶点在第一象限时，a<0,b2a当顶点在第三象限时，a>0,-丟<0，即｛a<0b>0则有C3C4种;a>0b>0，则有A4种;共计有C1C1+A2=24种。3 4 46•解：把4个人先排，有A4，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位4当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有A2，所以共计有A4A2二480种。45［提高训练C组］一、选择题1.Bn! n!=6x ,n-3=4,n=7(n-3)! (n-4)!x4!2.D男生2人，女生3人，有C2C3；男生3人，女生2人，有C3C23020 3020共计C2C3+C3C23020 30203.A甲得2本有C2，乙从余下的4本中取2本有C2，余下的C2，共计C2C26 4 2 6 44.B含有10个元素的集合的全部子集数为S=210，由3个元素组成的子集数为 T C3 15为T=C3， =^^=10S 210 1285.A(a+a+a)2-(a+a)2=(a+a+a+a+a)(a-a+a-a+a)0 2 4 1 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4二(2+朽)4•(2-朽)4二1D分三种情况：(】)若仅T系数最大，则共有13项，n二12；(2)若T与卩系数76相等且最大，则共有12项，n二11;(3)若-与T8系数相等且最大，则共有14项,n二13，所以n的值可能等于H，12，13D四个点分两类：(1)三个与一个，有O；(2)平均分二个与二个，有仔42共计有C1+C2=74 28.D复数a+bi,(a，bgR)为虚数，则。有10种可能，b有9种可能，共计90种可能二、填空题1-9分三类：第一格填2，则第二格有A3，第三、四格自动对号入座，不能自由排列;第一格填3，则第三格有A3，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；

第一格填4，则第撕格有A3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列;共计有3A1=932.165c3-C3-C3=16512673.180,30a主0,C1C1C1=180；b=0,A2=30r4.4二(一1>r4.4二(一1>ra9-rC；X了-9，令丰-9=3,r=8TOC\o"1-5"\h\z(-1)8(込8aC8=—a=a=42 916 413C3+C2+C2+C2+ +C2 =363+1,C3+C2 +C2 + +C2 =364,3 3 4 5n 4 4 5nC3+C2++C2=...=C3=364,n=135 5 n n+1••••・•28 一 =x ,m2一23m+42=0m!(5.—m)!m!(6一m)! 10m!(7一m)!而0<m<5，得m=2,Cm=C2=2888TOC\o"1-5"\h\z0.9560.9915=(1-0.009)5=1-5x0.009+10x(0.009)2+...沁1-0.045+0.00081沁0.9568.-2设f(x)=(1-2x)n，令x=1，得a+a+a++a=(1-2)7=-1^令x=0，彳得a=1,a+a+ +a=-1—a=-20 1 2 7 0三、解答题 …1•解：6个人排有A6种,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.6⑴空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C4=35种插法，故空位不相邻的坐法有A6C4=25200种。67将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插有年种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有今今=30240种。7 674个空位至少有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有C4种坐法；74个空位2