【高效备课】人教版八(上) 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 课件

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11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

R·八年级上册

前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．

新课导入

学习目标：

1．通过经历探究活动的过程，得出三角形的

内角和定理.

2．能运用平行线的性质证明内角和定理.

3．能应用三角形内角和定理推导并归纳直角

三角形的性质与判定.

推进新课

探索并证明三角形内角和定理

在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．

知识点1

方法：度量、剪拼、折叠

B

B

C

C

A

A

A

B

B

C

A

A

B

B

C

A

B

B

C

C

方法：度量、剪拼、折叠

A

B

C

方法：度量、剪拼、折叠

追问1运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？

不一定，测量可能会有误差．

追问2通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？

需要通过推理去证明．

你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？

追问1在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？

直线l与边BC平行．

B

B

C

C

A

l

B

B

C

C

A

l

追问2在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？

通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论．

证明：过点A作直线l，使l∥BC．

∵l∥BC，

∴∠2=∠4，

∠3=∠5

（两直线平行，内错角相等）．

追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？

已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．

A

B

C

2

4

1

5

3

l

A

B

C

2

4

1

5

3

l

追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？

已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．

证明：∵∠1+∠4+∠5=180°

（平角定义），

∴∠A+∠B+∠C=180°

（等量代换）．

追问4通过前面的操作和证明过程，你受到了什么启发？你还能用其他方法证明此定理吗？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

n

追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

n

追问4通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？

运用三角形内角和定理

知识点2

例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．

解：∵由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得

∠BAD=∠BAC=20°.

在△ABD中，

∠ADB=180°–∠B–∠BAD

=180°–75°–20°

=85°.

北

北

C

A

B

D

E

例2如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

解：

∠CAB=∠BAD-∠CAD

=80°-50°

=30°.

过C点作正南方向线，则有

∠1=∠3，∠2=∠4

（两直线平行，内错角相等），

∴∠ACB=∠1+∠2

=∠3+∠4

=50°+40°

=90°

（等量代换）．

北

北

C

A

B

D

E

南

3

4

1

2

练习1如图，说出各图中∠1的度数．

30°

105°

1

（2）

80°

50°

1

（1）

22°

1

（3）

50°

45°

68°

练习2如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°．从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少？

A

B

D

C

∠ACB=∠ACD–∠BCD

=60°–45°=15°.

【课本P13练习第1题】

问题在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你是用什么知识解决的？

A

B

C

∠C=90°，三角形的三个内角和等于180°。

A

B

C

探索直角三角形的性质

知识点3

在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？

利用上面的结果，你能得出什么结论？

直角三角形的两个锐角互余．

A

B

C

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，

直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．

A

B

C

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°．

此性质的几何推理格式该怎样表示？

例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？

C

D

E

A

B

例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

C

D

E

A

B

解：在Rt△AEC中，

∵∠C=90°，

∴∠CAE+∠AEC=90°

（直角三角形两锐角互余）．

在Rt△BDE中，

∵∠D=90°，

例3如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

C

D

E

A

B

解：∴∠DBE+∠BED=90°

（直角三角形两锐角互余）．

∵∠AEC=∠BED

（对顶角相等），

∴∠CAE=∠DBE

（等角的余角相等）．

探索直角三角形的判定

知识点4

我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？

利用三角形内角和定理可得：

有两个角互余的三角形是直角三角形．

类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？

推理格式：

在Rt△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形．

A

B

C

相等．

同角的余角相等．

练习如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？

D

A

B

C

【课本P14练习第1题】

D

A

B

C

变式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？

是．

有两个角互余的三角形

是直角三角形．

D

A

B

C

变式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB为直角三角形吗？为什么？

是．

有两个角互余的三角形是直角三角形．

变式3如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？

是．

有两个角互余的三角形是直角三角形．

（证明过程略）．

D

E

A

B

C

随堂演练

1.△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠A=______，∠B=______，∠C=______.

90°

30°

60°

基础巩固

2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有__________________

______________，互余的角有：____________

________________________________________.

∠A=∠BCD，

∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD

∠B=∠ACD

3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.

2

3

1

4

解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，

∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.

∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.

即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.

则∠BCD=360°－150°－80°=130°.

【课本P13练习第2题】

4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？

【课本P14练习第2题】

解:△ADE是直角三角形.理由如下:

∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.

又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.

∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.

5.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.

解：∵∠ABC=70°，∠C=6