江西省九江一中高一上学期期末数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年江西省九江一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（12分&＃215；5=60分）1．设集合M=｛x|﹣4≤x＜2}，集合N=｛x|3x＜,则M∩N中所含整数的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1 B．y=lnx C．y=x3 D．y=|x｜3．设a=1og1。20。8，b=1og0.70。8，c=1。20。8,则a，b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b4．已知m，n是两条不同直线，α,β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，m∥β,则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．两条直线l1：ax+（1+a）y=3，l2：（a+1）x+（3﹣2a）y=2互相垂直,则a的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．0或36．若函数f（x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．［0，2） B． C．[1,2] D．[0,1］7．已知a,b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n)在直线l：ax+by+3c=0上，则m2+n2的最小值为（)A．2 B．3 C．4 D．98．在正四面体A﹣BCD中，棱长为4，M是BC的中点,P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q,给出下列命题:①BC⊥面AMD;②Q点一定在直线DM上③VC﹣AMD=4．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．已知圆C1：（x+a)2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b)2+(y﹣2）2=4相外切,a，b为正实数，则ab的最大值为（）A．2 B． C． D．10．已知函数f(x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞,0］上单调递减，若f（﹣1）=0,则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（B）(）A．（﹣6，0）∪（1，3) B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞,1）∪（3,+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29π B．30π C． D．216π12．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣t，∀x1∈［1，6）时，总存在x2∈[1，6)使得f（x1)=g（x2），则t的取值范围是（）A．∅ B．t≥28或t≤1 C．t＞28或t＜1 D．1≤t≤28二、填空题（4分×；5=20分）13．函数f(x）=+lg（5﹣x）的定义域为．14．点A(1，a，0）和点B（1﹣a，2，1)的距离的最小值为．15．三条直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+3=0，l3：x﹣my﹣5=0围成一个三角形,则m的取值范围是．16．已知函数f（x)=，则关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合为．三、解答题(10分+12分×5=70分)17．集合A=（2,3]，B=（1，3),C=[m，+∞），全集为R．（1）求（∁RA）∩B;（2）若(A∪B）∩C≠∅,求实数m的取值范围．18．在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=，E，F分别为BC，PA的中点．（1）求证:BF∥面PDE（2)求点C到面PDE的距离．19．已知函数（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞）上为增函数（2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f(7）20．已知圆M上一点A（1，﹣1)关于直线y=x的对称点仍在圆M上，直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为．（1）求圆M的方程；(2）设P是直线x+y+2=0上的动点,PE、PF是圆M的两条切线，E、F为切点，求四边形PEMF面积的最小值．21．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°,AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证:DC⊥平面ABC；（2）设CD=1,求三棱锥A﹣BFE的体积．22．已知函数,g(x）=3ax+1﹣a,h（x）=f（x)+g（x)．（1）当a=1时，判断函数h（x）在（1,+∞）上的单调性及零点个数；（2)若关于x的方程f（x）=log2g（x)有两个不相等实数根，求实数a的取值范围．

2016-2017学年江西省九江一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12分×；5=60分）1．设集合M=｛x|﹣4≤x＜2｝，集合N=｛x|3x＜，则M∩N中所含整数的个数为(）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N不等式的解集,确定出集合N找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解:由3x＜=3﹣2,解得:x＜﹣2，∴N={x｜x＜﹣2｝，∵集合M={x|﹣4≤x＜2｝，∴M∩N={x|﹣4≤x＜﹣2｝，∴则M∩N中所含整数为﹣4，﹣3，即整数个数为2个，故选：C．2．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1 B．y=lnx C．y=x3 D．y=|x｜【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；选项B:定义域为（0,+∞），故为非奇非偶函数,不正确；选项C:满足f（﹣x）=﹣f（x）,且在区间(0，+∞）上单调递增，正确；选项D：f（﹣x）≠﹣f（x），故y=｜x｜不是奇函数，不正确．【解答】解:选项A：y=在（0，+∞)上单调递减,不正确；选项B:定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；选项C:记f(x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x)3=﹣x3,∴f（﹣x)=﹣f（x）,故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间(0,+∞）上单调递增，符合条件，正确;选项D：记f(x）=｜x|，∵f（﹣x）=|﹣x｜=｜x｜，∴f(x)≠﹣f(x）,故y=｜x|不是奇函数，不正确．故选D3．设a=1og1.20.8,b=1og0。70。8，c=1.20。8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=1og1。20。8＜log1。21=0，0=log0。71＜b=1og0.70.8＜log0.70.7=1,c=1.20。8＞1.20=1，∴a，b，c的大小关系是a＜b＜c．故选:A．4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α,m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α,则m∥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系．【分析】用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．【解答】解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；答案B:α与β相交时候，m与交线平行;答案C:直线m与n相交,异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案D：，正确故选D．5．两条直线l1：ax+（1+a)y=3，l2：（a+1）x+（3﹣2a）y=2互相垂直，则a的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．0或3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：a=﹣1时,两条直线方程分别化为:﹣x=3，5y=2，此时两条直线相互垂直，因此a=﹣1满足条件．a=时，两条直线方程分别化为：3x+5y﹣6=0，5x﹣4=0，此时两条直线不垂直，舍去．a≠﹣1，时，由两条直线相互垂直，则×=﹣1，化为：a=3．综上可得：a=﹣1或3．故选:C．6．若函数f(x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(）A．[0，2) B． C．［1,2] D．［0，1］【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足，即,解得＜a＜2，故选：B7．已知a，b,c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M(m，n)在直线l：ax+by+3c=0上,则m2+n2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用直角三角形的勾股定理，又m2+n2=（）2表示原点到(m,n)的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值,运用点到直线的距离，即可得到所求值．【解答】解：a,b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，可得a2+b2=c2，点M（m，n）在直线l：ax+by+3c=0上，又m2+n2=(）2表示原点到（m，n）的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，可得最小值为==3．则m2+n2的最小值为9．故选：D．8．在正四面体A﹣BCD中，棱长为4，M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q,给出下列命题：①BC⊥面AMD；②Q点一定在直线DM上③VC﹣AMD=4．其中正确的是()A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】①因为AM⊥BC，DM⊥BC所以BC⊥平面ADM．故①正确②因为PQ⊥平面BCD，BC⊂平面BCD所以PQ⊥BC因为P∈AM所以P∈平面AMD因为BC⊥平面AMD所以Q∈平面AMD因为平面AMD∩平面BCD=MD所以Q∈MD故②正确．③因为BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C﹣MAD的高,△AMD为其底面，S△AMD=,VC﹣AMD=．故③错误【解答】解：∵A﹣BCD为正四面体且M为BC的中点∴AM⊥BC,DM⊥BC又∵AM∩DM=M∴BC⊥平面ADM故①正确．∵PQ⊥平面BCD，BC⊂平面BCD∴PQ⊥BC又∵P∈AM∴P∈平面AMD又∵BC⊥平面AMD∴Q∈平面AMD又∵平面AMD∩平面BCD=MD∴Q∈MD故②正确．由①得BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C﹣MAD的高，△AMD为其底面在三角形△AMD中AM=MD=,AD=4∴S△AMD=∴VC﹣AMD==故③错误．故选A．9．已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2)2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2)2=4相外切,a，b为正实数，则ab的最大值为(）A．2 B． C． D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【解答】解：由已知,圆C1：(x+a)2+(y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2)，半径r1=1．圆C2:(x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2）,半径r2=2．∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+(y﹣2）2=4相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab≤=．故选：B．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,且在（﹣∞，0]上单调递减，若f（﹣1）=0,则不等式f（2x﹣1)＞0解集为(B）（）A．（﹣6，0）∪(1,3） B．(﹣∞，0）∪(1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1)∪（3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由于函数为偶函数，则有f（2x﹣1）=f（﹣|2x﹣1｜），结合函数在(﹣∞，0]上单调递减,可得﹣|2x﹣1|＜｜﹣1|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意,函数f（x）是定义在R上的偶函数,则有f(2x﹣1）=f（﹣｜2x﹣1|）,又由函数在（﹣∞，0]上单调递减，则f（2x﹣1)＞0⇔f(﹣｜2x﹣1|）＞f(﹣1）⇔﹣｜2x﹣1｜＜﹣1⇔｜2x﹣1｜＞1，解可得：x＜0或a＞1，即x的取值范围(﹣∞,0）∪（1，+∞)；故选：B．11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为（)A．29π B．30π C． D．216π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥;把它扩展为长方体,两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：,球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选A．12．已知幂函数在（0，+∞)上单调递增，函数g（x）=2x﹣t，∀x1∈[1,6）时,总存在x2∈［1,6）使得f（x1)=g（x2)，则t的取值范围是（）A．∅ B．t≥28或t≤1 C．t＞28或t＜1 D．1≤t≤28【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出f(x）的解析式，分别求出f(x），g（x）的值域,问题转化为[1，36）⊆［2﹣t,64﹣t），求出t的范围即可．【解答】解:由f（x）是幂函数得:m=0或2，而在（0,+∞）上单调递增，则f（x)=x2，x∈[1，6）时,f（x）∈［1,36），x∈[1,6）时，g（x)∈［2﹣t,64﹣t）,若∀x1∈［1，6）时，总存在x2∈［1，6)使得f（x1）=g（x2)，则［1，36)⊆［2﹣t，64﹣t)，故，解得：1≤t≤28，故选：D．二、填空题（4分&＃215;5=20分）13．函数f(x）=+lg（5﹣x)的定义域为（2,5）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得：2＜x＜5．∴函数f（x）=+lg（5﹣x）的定义域为（2,5）．故答案为：（2，5)．14．点A（1,a,0)和点B（1﹣a,2,1）的距离的最小值为．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】由两点间距离公式得|AB｜==，由此得到当a=1时，点A（1，a，0）和点B（1﹣a，2，1）的距离取最小值．【解答】解：点A（1,a，0）和点B（1﹣a，2，1）的距离：｜AB|===，∴当a=1时,点A（1，a,0)和点B(1﹣a，2，1）的距离取最小值．故答案为：．15．三条直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+3=0，l3：x﹣my﹣5=0围成一个三角形,则m的取值范围是(﹣∞，﹣1)∪（﹣1，2）∪（2，3）∪（3，+∞）．【考点】直线的一般式方程．【分析】由三条直线中的任意两条平行求得m的值,再由三条直线相交于一点求得m的值，则l1，l2，l3不能围成一个三角形的m的所有取值组成的集合可求．【解答】解:当直线l1：x+y﹣1=0平行于l3：x﹣my﹣5=0时，m=﹣1．当直线l2：x﹣2y+3=0平行于l3：x﹣my﹣5=0时,m=2，当三条直线经过同一个点时，由解得直线l1与l2的交点（﹣，）代入l3：x﹣my﹣5=0，解得m=3;综上，m为﹣1或2或3．三条直线不能构成三角形．故当三条直线围成三角形时，m的取值范围（﹣∞，﹣1)∪（﹣1,2）∪(2，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1,2）∪(2，3）∪（3,+∞)．16．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合为{2,3，4，5,6，8｝．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数f（x）=，的图象，判断x+﹣2的范围，利用a的值，判断方程解的个数,即可得到方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图：当x＞1时，x+﹣2＞0，当x=1时，x﹣2=0，当x∈(0，1)时，x+﹣2＞0，当x＜0时，x+﹣2＜0,当a＜0或a＞2时，函数y=f（x+﹣2）与y=a，由一个交点，此时方程有两个x值，满足题意．当a=0时，函数有两个交点，满足方程的解由x=0，与x＞0的两个解，此时解的集合为：3个；a=2时，方程有4个解．a∈（1，2）时,方程有8个解．a=1时，方程有6个解．a∈（0，1），方程有5个解．关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数构成的集合为：｛2,3，4,5，6，8}．故答案为:{2，3，4，5，6，8｝．三、解答题（10分+12分×5=70分）17．集合A=（2，3]，B=（1，3),C=［m，+∞），全集为R．（1）求（∁RA）∩B；（2）若（A∪B)∩C≠∅，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）由题意和补集的运算求出∁RA，由交集的运算求出（∁RA）∩B;（2)由题意和并集的运算求出A∪B，由条件和交集的运算求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由A=（2,3]得,∁RA=（﹣∞,2]∪（3，+∞）∵B=(1，3），∴(∁RA)∩B=（1，2］；（2）∵集合A=（2，3］，B=（1,3），∴A∪B=（1，3]，∵（A∪B）∩C≠∅,C=［m，+∞），∴m≤3，即实数m的取值范围是（﹣∞,3］．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=，E，F分别为BC，PA的中点．（1）求证：BF∥面PDE（2）求点C到面PDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD中点G，连结GF，由已知得四边形BEGF是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥面PDE．（2)以A为原点，AD为x轴,在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到面PDE的距离．【解答】（1）证明:取PD中点G，连结GF，∵E，F分别为BC，PA的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴GF平行且等于BE，∴四边形BEGF是平行四边形，∴BF∥EG，∵BF⊄平面PDE，EG⊂平面PDE,∴BF∥面PDE．（2)解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系,则P（0，0，），D(2,0，0），E（2,，0），C(3，，0）,=（2，0，﹣），=（2,，﹣)，=(3，,﹣)，设平面PDE的法向量=（x,y,z），则，取z=2,得=（），∴点C到面PDE的距离:d==．19．已知函数（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞）上为增函数（2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f（7）【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质．【分析】（1）任取x1，x2∈［2，+∞），且x1＜x2，通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，根据增函数的定义,只需说明f（x1）＜f(x2）即可；（2）根据函数的单调性得到x2﹣2x+4≤7，求出不等式的解集即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈[2，+∞）,且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+)=（x1﹣x2)+=，因为2≤x1＜x2,所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4,所以f（x1)﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f(x2），所以f（x)=x+在［2，+∞)上为增函数．（2)解：∵x2﹣2x+4≥2，结合（1)得f（x）在［2，+∞）递增，所以x2﹣2x+4≤7,解得：﹣1≤x≤3,故不等式的解集是[﹣1，3]．20．已知圆M上一点A（1，﹣1)关于直线y=x的对称点仍在圆M上，直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为．（1）求圆M的方程；(2)设P是直线x+y+2=0上的动点，PE、PF是圆M的两条切线，E、F为切点，求四边形PEMF面积的最小值．【考点】圆的切线方程;直线与圆相交的性质．【分析】（1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a，a），圆的方程为(x﹣a)2+（y﹣a）2=r2，代入A的坐标,利用直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为,由此可得结论；(2）先表示出四边形PEMF面积，再转化为求圆心到直线的距离即可．【解答】解：（1）由题意，圆心在直线y=x上，设为（a,a），圆的方程为（x﹣a）2+(y﹣a)2=r2,则（1﹣a)2+（1﹣a)2=r2，，解的a=1，r2=4,圆∴M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）由切线的性质知：四边形PEMF的面积S=｜PE｜•r,四边形PEMF的面积取最小值时,|PM|最小，即为圆心M到直线x+y+2=0的距离,即|PM|min=，得|PE|min=2．知四边形PEMF面积的最小值为4．21．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°,∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）设CD=1，求三棱锥A﹣BFE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判