直线方程(人教A版2019选择性必修第一册)

直线方程思考1如图，直线l经过点P(x，y)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P的任意一点，0000那么x，y应满足什么关系？y－y0答案由斜率公式得k＝x－x，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．0思考2经过点P(x，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？00答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P斜率不存在的直线为x＝x.00梳理点斜式已知条件图示点P(x0，y0)和斜率k方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？已知条件图示斜率k和直线在y轴上的截距b方程式y＝kx＋b适用条件斜率存在对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝xy－－xy00.()2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．()3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.()类型一直线的点斜式方程例1(1)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．答案y－3＝－12(x－1)解析由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－12.由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－12(x－1)．3(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝3x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．3α，则tanα＝，∴α＝30°.那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，∴l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°(x＋1)，即y＋2＝3(x＋1)．3(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直；(4)经过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解(1)由题意知，直线的斜率为(2)由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝(3)由题意可知直线的斜率x＝1，该直线3－－2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．0.不存在，所以直线的方程为没有点斜式方程．4(4)kPQ＝＝－1，所以该直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．－2－5类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是___________________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．（1）答案∴直线在y轴上的截距是（2）解由斜截式方程知，直线l在y轴上的截距b＝－2.由斜y＝3x＋3或－l1的斜率3或60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，3，∴所求直线的斜y＝3x＋3或y＝3x－k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.由题意知，l2在l的方程为y＝－2x－2.y＝3x－3解析∵直线的倾斜角是截式方程是3.y轴上的截距为－2，所以直线截式可得直线引申探究本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．12解∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为.∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.∴直线l12的方程为y＝x＋2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．166b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.解设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－161x－1.故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝64/18类型三平行与垂直的应用例3(1)当a为何值时，直线l：y＝－x＋2a与直线l：12y＝(a－2)x＋2平行？2(2)当a为何值时，直线l：y＝(2a－1)x＋3与直线l：y＝4x－3垂直？12k解(1)由题意可知，l1＝－1，l2＝a2－2，∵l1∥l2，∴ka2－2＝－1，解得a＝－1.2a≠2，故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．k(2)由题意可知，l1＝2a－1，l2＝4，∵kl1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝83时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：38y＝4x－3垂直．反思与感悟设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)两条直线重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.跟踪训练312已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，求a的值．5/18－＝－1，解得a＝±2.∴当a＝2时，直线l：y＝2x＋13；当a＝－2时，直线l：y＝2x＋5.又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，∴a＝－2.2直线的两点式方程知识点一直线方程的两点式思考过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理名称已知条件示意图方程使用范围P1(x1，y1)，P2(x2，斜率存在且y－yx－x11＝两点式y2)，其中x1≠x2，y1≠y2y－yx2－x1不为021知识点二直线方程的截距式思考已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得by－－00＝0x－－aa，xy即＋＝1.ab梳理名称已知条件示意图方程使用范围在x，y轴上的截斜率存在且不为xy＋＝1ab截距式距分别为a，b且a≠0，b≠00，不过原点x＋x＝，21x2P，P的坐标分别为(x，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段PP的中点，则12112y＋yy＝12.21．不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1表示．()2．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．()类型一直线的两点式方程例1已知(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，方程．x－5解(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得－y－2－－－44＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．0－5()5＋05－4＋－252(2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M，－3，又BC边的中线过点A(－3,2)，222y－2＝5x－－3，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.2－－3所以－3－2引申探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．()()x－，4－－5－22552523，由点斜式方程可得y＋3＝5225BC边的垂直平分线的斜率为，又BC的中点坐标为，－即10x－4y－37＝0.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．跟踪训练1若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.y－－2解析由直线方程的两点式，得＝，即＝.∴直线4－－1－3－25－1x－2y＋x－512答案－AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.类型二直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．2解方法一(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；5(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可xy设方程为＋＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，a－a∴l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.方法二由题意知直线的斜率()一定存在．设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，当x＝0时，y＝2－5k，当y＝0时，x＝5－2k.2kk＝或1.当k＝时，直线方程为y－2＝25(x－5)，即2x－5y＝0；225根据题意得2－5k＝－5－，解方程得5当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.5y＝0或x－y－3＝综上，直线l的方程是2x－0.(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(解析当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．y－yx－x求它的方程，此时直线1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式1＝yyxx1－－2121的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．梳理直线的一般式方程形式条件Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系形式方程点斜式y－y0＝k(x－x0)斜截式y＝kx＋b两点式y－yx－x局限不能表示斜率不存在的直线不能表示斜率不存在的直线1＝1x1≠x2，y1≠y2y－yx－x2121截距式ax＋＝by1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无10/181．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．()2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()(1)斜率是3，且经过点(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴．A(5,3)；解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝3(x－5)，即3x－y－53＋3＝0.(2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0.x－－1(3)由两点式，得直线方程为－y－1－55＝，即2x＋y－3＝0.2－－1(4)由截距式，得直线方程为－x3＋－y1＝1，即x＋3y＋3＝0.(5)y－2＝0.反思与感悟(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求AB，CA的值；若B≠0，则方程化为ABx＋y＋＝0，只BCCAABAC需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．BB(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．3－解因为kl＝＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－3－1233，一般式方程为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，22)，斜截式方程为y＝2x－在y轴上的截距为－3.类型二直线的一般式方程的应用命题角度1根据直线特征求参数例2设直线l的方程为(m－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.2(1)若直线l在x轴上的截距为－(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.3，则m＝________；2m－60，则x＝，∴m2－2m－3m2－2m－2m－3653解析(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．53∴m＝－.12m2－2m－36－2m2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.由直线l化为斜截式方程得y＝x＋2m2＋m－2m2＋m－(2)由题意知，，11m2－2m－1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.2m2＋m－31则＝反思与感悟(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．跟踪训练2若方程(a＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足_____．212/18a2＋5a＋6＝0，解析由得a＝－2，∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，∴a≠－2.a2＋2a＝0，命题角度2一般形式下直线的平行与垂直的问题例3(1)已知直线l：x＋my－2m－2＝0，直线l：mx＋y－1－m＝0，则当l⊥l时，m＝________；1212当l1∥l2时，(2)已知直线l的方程为①过点(－1,3)，且与l平行；②过点(－1,3)，且与l垂直．m＝________.3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：解析(1)若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，且(－1－m)×1－m(－2m－2)≠0，解得m＝1.34343.解（2）方法一①l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.∵l′与l平行，∴l′的斜率为－434又∵l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.434(x＋②∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝1)，即4x－3y＋13＝0.3方法二①由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.②由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.反思与感悟(1)对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔－ABA2B1＝0，12BC－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.12l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.13/18(1)如果直线l：x＋2ay－1＝0与直线l：(3a－1)x－ay－1＝0平行，则a等于12161D．0或6C．0或1(2)已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：①过点A和直线l平行的直线方程；②过点A和直线l垂直的直线方程．解①将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.②将与直线l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以所求直线方程为4x－3y－2＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.这种判定方法可避免讨论，减小失误.14/18课后作业一、单选题期末）经过两点1,2、3,2的直线的方程是（）1．（2021·贵溪市实验中学高一A．x2y50C．2xy40x2y50B．D．xy240xy230经过（）2．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）在直角坐标系中，直线A．一、二、三象限B．一、二、四象限D．二、三、四象限C．一、三、四象限3．（2021·浙江宁波市·镇海中学高一期末）下列直线方程纵截距为2的选项为（）xy1A．xy20xy202yxD．B．C．244．（2021·乌鲁木齐市第二十中学高二期末）若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m的值（）A．15．（2019·贵州高二学业考试）过点且与直线xy20平行的直线方程是（）B．1C．2D．21,0A．C．xy10B．xy10D．xy1010xy1,2中高二期中）已知直线l经过点，且与直线2x3y10垂直，则6．（2021·湖南娄底市·娄底一l的方程为（）A．2x3y40xy2380xy3270D．xy3210B．C．10与直线axy10相互垂直”的（）7．（2021·北京丰台区·高三二模）“a1”是“直线xayA．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件月考）已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B中高一8．（2021·陕西高新一两点，则ABO的面积取得最小值时直线l的方程为（）A．2x3y60C．x2y60xy23120B．D．x2y12015/18二、多选题9．（2021·重庆八中高一期末）如果AB0，BC0，那么直线AxByC0经过（）A．第一象限B．第二象