2023届高考数学重难点专题训练专题16数列求和-分组求和并项求和

专题16数列求和—分组求和（并项求和）已知公差不为的等差数列中，，是和的等比中项．

求数列的通项公式：

保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值．2.记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列．证明：是等比数列，并求的通项公式设，求数列的前项和．3.已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列，．求记，求数列的前项和．已知等比数列的公比为，前项和，，，．

求；

记数列中不超过正整数的项的个数为，求数列的前项和．已知数列中，且

求证：数列为等比数列

求数列的前项和．已知等差数列满足．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ若数列是公比为的等比数列，且，求数列的前项和．7.数列的前项和为，且若数列不是等比数列，求若，在和中插入个数构成一个新数列，，，，，，，，，，，插入的所有数依次构成首项为，公差为的等差数列，求的前项和．8.已知数列满足，，．

令，求数列和的通项公式；

设，若对一切都有，求的值；

在的条件下，求数列的前项和．

答案和解析1.【答案】解：设等差数列的公差为，

由是和的等比中项，得，即，

解得．

；

保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，

则新数列的前项为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

则

．

【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和，以及分组法求和，是较易题．

设等差数列的公差为，由题意列关于的方程，求解，再由等差数列的通项公式求解；

由题意得新数列的前项，分组后由等差数列与等比数列的前项和公式求解．

2.【答案】解：，，，，设，则，，又数列为等差数列，，，．当时，，，又，，即：，又，是以为首项，为公比的等比数列，，即：．，且，

．

【解析】本题主要考查等比数列的判定与证明，考查分组求和，属于中档题．

3.【答案】解：由题意得，，又是等比数列，，，，又，故，又是等差数列，故为等比数列，首项，公比，的通项公式为．，，令，则，记的前项和为，，数列的前项和为．

【解析】本题考查分组求和法，属于中档题．

4.【答案】解：由得：，

即，

因为，所以，所以，

又因为，所以，

所以，

所以．

由题设及得，

且当时，，

即，，

，，，

所以．

【解析】本题考查等比数列、求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．

根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出和公比，则可求出其通项公式；

由可求得，且当时，，可依次求出的值，再求和即可．

5.【答案】解：证明：，，

，

，

当时，也符合上式，

是首项为，公比为的等比数列；

由得，，

，，

【解析】本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，属于中档题．

把已知的递推关系式整理即可证明结论；

先利用的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．

6.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，

由，

可得，

即有，，

解得，，

则；

Ⅱ若数列是公比为的等比数列，且，

，

则，

由Ⅰ可得，

所以

．

【解析】Ⅰ设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和恒等式的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；

Ⅱ由等比数列的通项公式可得，进而得到，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

7.【答案】解：由，得，则，所以．当时，不是等比数列，符合题意当时，，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，与已知矛盾．综上，，从而，即．因为，则，由知是首项为，公比为的等比数列，，所以．设插入的所有数构成数列，则，因为，，，，所以，，，，中包含的前项及的前项，所以．

【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的判定，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的求和公式，属于较难题．

化简和变形关系式，可得，讨论是否为即可求解；

由可得，通过等差数列的求和公式以及比较大小，得出，，，中包含的前项及的前项，分组求和即可．

8.【答案】解：，

即

，

即

，

是以为首项，为公比的等比数列，

；

由已知

，

；

由知，

，

，

令，

，