高等代数试题四

线性变换一判断题⑴在向量空间R3中，-(Xi,X2,叮-牛，X2,X2-H贝2是R3的一个线性变换.()•TOC\o"1-5"\h\z⑵在向量空间R[x]中，◎(f(x))=f2(x),则c是R[x]的一个线性变换.().nn⑶取定A&M(F),对任意的n阶矩阵XeM(F),定义c(X)=AX-XA,则c是nnM(F)的一个线性变换.().n(4)c是向量空间V的线性变换，向量组a,a，…,a线性相关，那么12mC(ai),C巴),…,C(am)也线性相关.()•(5)在向量空间R[x]中，则微商c(f(x))=f'(x)是一个线性变换.().n(6)在向量空间R3中,已知线性变换c(x,x,x)=(x+x,x+x,x),12312233T(x,x,x)=(x,0,x).12313则(c—2t)(x,x,x)=(x—x,x+x,—x)()12321233(7)对向量空间V的任意线性变换c,有线性变换t,使ct=i(I是单位变换).().⑻向量空间R2的两个线性变换c,T为c(xi，x2)=(xi，x2-xi"(xi，x2)=W―x2,x2)则(ct—c2)(x,x)=(—x,x+x).TOC\o"1-5"\h\zi22i2在实数域F上的n维向量空间V中取定一组基后，V的全体线性变换和F上全体n阶矩阵之间就建立了一个一一对应.().在取定基后，V的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵，但逆变换未必对应于逆矩阵.().(ii)线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的.().(i2)相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵.().(I3)域F上的向量空间V及其零子空间，对V的每个线性变换来说，都是不变子空间.().(I4)除零变换外，还存在向量空间V的线性变换，能使V的任意子空间对该变换不变.()向量空间V的线性变换b［的不变子空间W,也是V的另一线性变换b的不变子空12TOC\o"1-5"\h\z间，这里b工b.().21向量空间V的线性变换b的象与核都是b的不变子空间.().线性变换b的特征向量之和，仍为b的特征向量.().属于线性变换b同一特征根九0的特征向量的线性组合仍是b的特征向量.().数域F中任意数九都是F上的向量空间V的零变换的特征根.().b在一个基下可以对角化，则。在任何基下可以对角化.().(1)正确(2)错误(3)正确(4)正确(5)正确(6)正确(7)错误(8)正确(9)正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)错误(16)正确(17)错误(18)正确(19)错误(20)错误

填空题设V和W是数域F上的向量空间，而b:VTW是一个线性映射，那么a是单射的TOC\o"1-5"\h\z充要条件是.设V和W是数域F上的向量空间，而b:VTW是一个线性映射，那么a是满射的充要条件是.b是向量空间V的线性变换，若满足,则称b是可逆变换.⑷向量空间V的任意线性变换0,都有b(0)=，b(Y)=•基的矩⑸b是n维向量空间V的一个位似变换：b(g)=kg，那么b关于V的基的矩阵是kI.⑹在匕的基®⑹在匕的基®B2,8_｝下b的矩阵是123aaa1112aaa2122iaaa3132,A132333丿那么b关于基怡3，匕严2,281｝的矩阵是在F3中的线性变换b(x,x,x)二(2x-x,x+x,x),那么b关于基123122318=(1,0,0),8=(0,1,0),8=(0,0,1)的矩阵是.123设b,b分别是向量空间R2中绕原点逆时针旋转0,0角的线性变换，那么bb关于121221基a二(1,0),a二(0,1)的矩阵是.12对于域F上向量空间V的数乘变换来说不变子空间.2维平面上的旋转变换b,非平凡的不变子空间.若线性变换b与是,则t的象与核都是b的不变子空间.相似矩阵有的特征多项式.(九I-A)X=0的都是A的属于九的特征向量.00A与对角阵相似，f(x)eF[x],则f(A)必与某一.设V是数域F上的n维向量空间，beL(V),b的不同的特征根是九,九，…,九，则12t

TOC\o"1-5"\h\z◎可对角化的充要条件是.设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，如果V的任意一维子空间都是◎的不变子空间，那么◎可以.设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，◎可对角化的充要条件是◎的特征多项式的根都在F内；;设AgM(F),如果A的特征多项式在F内有,那么A可对角化.n设◎是实数域F上的n维向量空间V的线性变换，九是◎的一个特征根，则dim崔九的重数.'327、矩阵024的特征根是.05丿答案(1)ker(b)={0}(2)Im(b)=W⑶存在V的线性变换工，使qt=1(4)0,-a(8)'cos(e+(8)'cos(e+0)12.sin(0+0)12-sin(0+0))12

cos(0+0).12(9)每个子空间都是(10)没有(11)可交换的'aa+a2a''2-10'13111211(5)任意(6)aa+a2a(7)01123212221kaa3331+a322a.31<100丿(12)相同(13)非零解向量(14)对角阵相似(15)”dim乙=n(16)对角化(17)i=1对于◎的特征多项式的每一个根九,特征子空间£的维数等于九的重数(18)n个不同的单根(19)<(20)3,2,5

.单选题：.单选题：1•向量空间V（F）的零变换0的象及核的维数分别是（）。nA.0,nB.n,0C.0,0D.n,n）。2•向量空间V（F）的单位变换t的象及核的维数分别是（）。nA.1,n—1B.n—1,1A.1,n—1B.n—1,1C.n,0D.0,n3．“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（A.充分B.必要C.充分必要对于域F上向量空间V的数乘变换来说，（A.只有一个B.每个子空间都是2维平面上的旋转变换◎,（A.有一个B.有无穷多6•若线性变换◎与t是（A.互逆的B.可交换的），D.C.不存在）条件。以上都不对）不变子空间。D.存在且有限个）非平凡的不变子空间。C.没有D.有有限个则的象与核都是◎的不变子空间。C.不等的D.不可换的以向量空间V的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（）A.零变换B.位似（数乘）变换C.单位变换D.以上都不对设◎是一线性变换，若Ker（q）={o}。则下面说法正确的是（A.无特征根零B.有特征根零C.不确定D.以上都不对9.设S是对合矩阵（S2=I）,P是幕等矩阵（P2=P）,H是幕零矩阵（Hm=0）且H丰0,那么（）可以对角化。S,P,H在F上均可以对角化仅S,P在F上可以对角化它们在F上均不能对角化。在F上可以对角化答案：1.A2.C3.B4.B5.C6.B7.B8.A9.B四多选题1设◎是n维线性空间的线性变换，则c在不同基下的矩阵().A.一定合同;B.一定相似;C.秩一定相等;D.秩不一定相等.2设c是线性空间V的线性变换，则c(0)=0;c(aB+aB+•••+a|3)=ac(B)+ac(B)+ac(B)；TOC\o"1-5"\h\z1122nn1122nnC.当B,B，…，B线性无关，c(B)Q(B)，…Q(B)线性无关；12n12nD.当B，B，…，B线性相关，c(B)，c(B)，…,c(B)线性相关.12n12n3设c是数域P上的n维线性空间V的线性变换，且c是单的.则A.若Qr%，…，Q是V的一组基，则c(a)，c(a)，…,c(a)也是V的一组基;B.c是满射;c不是满射；D.c是双射.设V是复数域上的n维线性空间，c，T是V的线性变换，且ct=tc.那么若九是c的一个特征值，那么V是t的不变子空间；0q)c，t的特征值一定相同;C.c，t的特征子空间一定相同;c，t至少有一个特征值一定相同;n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件;A.A的特征子空间的维数和等于n;B.A的初等因子都是一次的;A有n个不同的特征根；A的最小多项式无重根.答案:1B，C;2A，B，D;3A，B，D;4A，D;5A，B，D.1212五简单题1.线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组?2.R3的线性变换◎为b(x,x,x)=(x+x+2x,3x+3x,一x+2x+x)12312323123求b的象与核的维数.3•在数域F上全体n阶对称矩阵所组成的向量空间V中定义变换b：b(X)=TXT,其中T为一个固定的n阶方阵，X为V中任一对称矩阵。证明：b是V的一个线性变换。在向量空间Fn中，对任意向量a,规定b(a)=Aa，这里A为取定的一个n阶方阵。证明：b是Fn的一个线性变换。证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。b,t是向量空间v的线性变换。若bp=e，则b=e或t=o不成立，试举一反例.F[x]的两个线性变换为：对任意f(x)eF[x]，b(f(x))=f'(x),t(f(x))=xf(x)证明：bT—Tb=i.设b,T,P是V(F)的线性变换，定义Q,T]=bT—Tb证明：对任意b,T,P以下等式成立：[[b,T],P]+[[T,P],b]+[[P,b],T]=9证明：若f(b)=9,g(b)=9，则d(b)=9，其中d(x)是F[x]中多项式f(x)与g(x)的最大公因式。令E=(x,x,x)是R3中任意向量，b是线性变换:b(g)=(x+x,x,x—x)12312232试证b可逆。设A,B是数域F上的n阶矩阵，若A,B之一可逆，则AB与BA相似。设V的两个线性变换b与T是可变换的。试证T的象Im(T)与核Ker(t)都是b的不变子空间。设b是向量空间V的线性变换，那么W=L(g)是b的一维不变子空间当且仅当g是b的属于某特征根九的特征向量。0设b是复数域C上线性空间的线性变换，若b关于空间的一个基£,£的矩阵为

(0a)A二,a丰0、—a0丿求b的特征根与特征向量。15．设矩阵(cos0sin0)八A[sin0cos0戶0求A的特征根与特征向量。设a是属于n阶对称矩阵A的特征根九的特征向量。0证明：九是(P-1AP)'的特征根，并求矩阵(P-1AP)'的属于九的一个特征向量。00试证幕等矩阵A的特征根等于0或1。设A,B均为n阶矩阵。证明：T(AB)=T(BA)rr设n阶矩阵A—(a.)的特征根是九,九，…,九。ij12n证明：工九2—工另aa证明：内有n个iijjii—1i—1j内有n个20.令A是数域F上一个n阶矩阵，A可以对角化的充分必要条件是f(x)在FA单根。这种说法对吗？答案1-答不一定.例如，在二维空间V2中,到x轴的投影变换Q9(x,x)二(x,0),把线性2121无关的向量组(1,0),(0,1),变为线性相关的向量组(1,0),(0,0).解设£,£,£为R3的标准基，则得线性方程组123x+x+2x=0TOC\o"1-5"\h\z123<3x+3x=023—x+2x+x=0123其解空间即为ker(b).因为此方程组的系数矩阵的秩为2,故dimker©)=1.证明：任取X,YeV,k,leF，贝yc(kX+lY)=T'(kX+lY)T=T(kX)T+T'(lY)T=k(TXT)+1(TYT)=kc(X)+Lc(Y)故c是V的线性变换。证明：任取a,卩eFn,a,beF，有c(aa+bP)=A(aa+bP)=A(aa)+A(bP)=a(Aa)+b(AP)=ac(a)+bc(P)故c是Fn的线性变换。证明：设向量组a,a，…,a在线性变换c下的象c(a),c(a),...,c(a)线性无关。12r12r令ka+ka+...+ka=01122rr于是kc(a)+kc(a)+...+kc(a)=01122rr由c(a),c(a),...,c(a)线性无关，知k=k=...=k=0,故a,a，…,a线性无关。12r12r12r6•解：反例为：对向量空间R2的任意向量(x,y)，定义线性变换c(x,y)=(x,0);t(x,y)=(0,y)则有cT(x,y)=c(0,y)=(0,0).即cT=0，但是c,T。7.证明：任取f(x)eF[x]，则◎T(f(X))=◎(Xf(X))二f(X)+Xf'(X)TQ(f(X))二T(八X))二Xf'(X)因而QT—TQ)(f(X))=QT(f(x))—TQ(f(x))=f(X)故QT—TQ=18•证明：原式=[Q,T]p—p[Q,T]+[T,p]Q—Q[T,p]+[p,Q]T—T[p,Q]=QTp—TQp—pQT+pTQ+TpQ—pTQ—QTp+QpT+pQT—QpT—TpQ+TQp=e9•证明：因为d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，所以存在u(x),v(x)eF(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)TOC\o"1-5"\h\z故有d(Q)=f(Q)u(Q)+g(Q)v(Q)=eu(Q)+0v(Q)=e。任取R3的一个基，e=(1,0,0),e=(0,1,0),e=(0,0,1)123'110、那么(Q(8),Q(8),Q(8))=(8,8,8)01012312310-11丿由于Q关于此基的矩阵是可逆阵，故Q可逆。证明：不妨设A可逆，于是存在A-1而有BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A证明：任取geIm(T)，则存在耳eV使g=T们)于是Q(g)=Q(T(n))=(qt)(n)=(tq)(n)=T(Q(n))eim(T)所以Im(T)是的Q不变子空间。任取geKer(T)，贝yT(g)=0，于是T(Q(g))=(TQ)(g)=(QT)(g)=Q(T(g))=Q(0)=0故由Q(g)eKer(T)而知Ker(T)是Q的不变子空间。证明：g是一维不变子空间V的生成向量，自然有gH0，且Q(g)eW=L(g)，因此存在九eF,而使Q(g)=Xg。反之，若g是Q的属于特征根九的特征向量，那么对000任何卩eF,Q(pg)=pQ(g)=九(pg)0

故c(L(g))匸L(g)。14.解：易证九的特征根为—ai，九—~ai,它们相应的特征向量分别为12ke+kie,k丰0,kgC，及k8一kie,k丰0,kgC121215•解：f（九）=九2-2cos&九+1，从而A的特征根为A尢=cos0+isin9,尢=cos。一isin912因此它们的特征向量分别是：k（一；1）-k（一ie+e）,k丰011121和k(2,1,_1)—k(2e+e—e),k丰0。22123216•证明：因为Aa=^a,A'=A0故(P-1APy(Pu)二P'Aa二九(Pd)0乂u丰0,P可逆，易知Pd丰0，因此九是（P-1AP）的一个特征根，并且Pd是所求0的一个特征向量。设九是A的任一特征根，因f（九）二九2是f（A）二A2的特征根，所以九2二f（九）二九iiiiiib)=工(工b)=工(工ba)=T(BA)证明：设A=（a）,B=（b），那么T（AB）=工（工aijijrikkikiikri=1k=1k=1i=1证明：由题设易知A2的特征根为九2,九2,...九2，因此工九2=T（A2）=HEaa12nirijjii=1i=1j=1答；不对。例如，矩阵（10）A=101丿有二重根1，而A本身就是对角形矩阵。六.计算题：1.向量空间R3的线性变换b为b(x,x,x)=(2x,3x,-2x)123123求Im（b）与Ker（b），并计算它们的维数。1-解取R的标准基I82’83‘，于是"（81）虫（1，°，°）=（2，°，°），"（82）虫（°丄0）=（°，3，°），"（83）丙（0,0，1）二©O’-2），任取g=a8+a8+a8，则b(g)=ab(8)+ab(8)+ab(8)112233112233因此1吨)匸L(b(81)’b(82)，b(83))显然1吨)-L(b(81)’b(82)，b(83))故1吨)二L(b(8严(82)，b(83))而b(8),b(8),b(8)线性无关，所以Im(b)二R3,dimIm(b)二3123因为Ker(b)=迄eR3b(g)=0)则由(2x1，3x2,-2x3)二(0,0,0)得x=x=x=0123所以Ker(b)={o},dimKer(b)=0

2.令F4表示数域F上四元列空间。取rii-ii5-2-1、3A=3-i81<13-97丿对于任E丘F4，令c(g)=Ag。求线性变换b的核和象的维数。2.解取F4的标准基2.解取F4的标准基SB2,B3,B..由Im(b)二L(bSQ32)Q巴))r1、r-1、r5、r5、r-1、11-2-233cG)=bG)=8c(S)=8c(S)=12-1334<1丿<3丿-9V7丿v9丿V7丿123412其中b%)=由此得dimIm(c)=A秩二2由线性方程组Ag=0的解空间的维数，得dimKer(c)=4-2=233设仟鲁与叮是^的标准基,线性变换◎关于此基的矩阵是ri—i0221i]3A=i255<2—21—2丿求◎的象Im(d)与Ker(b)。3解：解齐次线性方程组AX=0得基础解系山，耳｝12其中耳=(—2,—3，1,0)耳=(—1,—2,0,1)，从而122KerQ)二L⑴，耳)12又由于A的秩为2，知b(£),b(£),b(£),b(£)的秩为2,且。(S)Q(S)线性无关，它123412们构成Im(b)的一个基，从而Im(b)二L(b(S),b(S)).124.设◎是向量空间C2的线性变换，◎在基a,a下的矩阵是12(2—4)A二I5-2丿试找出◎的所有不变子空间。4解：C2和；(0丿;是Q的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于f（九）=|XI—A|=九2+16=（九一4i）（九+4i）.(2)因此当九=4i时，我们得A的属于九的特征向量匕=1111U-2i丿TOC\o"1-5"\h\z、(2)当九=—4i时，得特征向量g=1「。22(1+2i丿令B=2a+(1—2i)a,112B=2a+(1+2i)a.212那么W=L(0)和W=L(0)是◎的另两个不变子空间.112222)5•设数域F上向量空间V的线性变换a关于基a,a,a的矩阵是123'4-52（1）A=5-73<6-94>’1-34'（2）A=4-78<6-77丿'26-15、（3）A=11-5I12-6丿试找出a的一个不变子空间。5解：（1）因为1[1丿是A的属于特征根5解：（1）因为1[1丿间。是A属于特征根3的特征向量，所以L（a1+2a2+2a3）是-的不变子空间。⑶因为A的特征根是三重根-1所以V=特征子空间V-1就是-的不变子空间。6.在F3中定义线性变换如下，试求◎的特征根和特征向量。c(x,x,x)=(x+x+2x,2x+x,一x+x+3x)TOC\o"1-5"\h\z12312323123—2—1

九一36解：设C关于F—2—1

九一3r113、A=021<-113丿A的特征多项式为TOC\o"1-5"\h\z九-1-1|XI—A|=0九-21—1所以A的特征根为三重根九二九二九二2。解方程组(21—A)X=0，得特征向量123k(1,1,0)=ks+k£,k丰0127.设◎是F3的一个线性变换。已知：C(1,0,0)=(5,6,—3)q(0,1,0)=(-1,0,1),C(0,0,1)=(1,2,1)试求：◎的全部特征根及特征向量。7解：◎关于标准基£,£,£的矩阵为123(5-11]A=602厂311丿那么A的特征多项式为I九I-A|=(九—2)3，且特征根为九]=九2=九3=2解齐次线性方程组(21—A)x=0，得出特征向量为k(1,3,0)+k(0,1,1),12即k£+(3k+k)£+k£1112223这里k,k不全为零。12

8.设8,8,8是F3的一个基，令123a=8—28+28a=—28—28+48a二28+48一28TOC\o"1-5"\h\z1123,2123,3123bgL(F3)，且a(18+18+18)=la+1a+1a112233112233求：a的特征根与特征向量。8解：由条件b(8)=a,i=1,2,3ii'1—22、故b关于基8,8,8的矩阵为A=—2—24123I24-2丿于是求出A的特征根为九=九=2,九=一7123当九1=»=2时，解齐次方程组（2/-A）X=°,得出特征向量为k(—2,1,°)+k(2,°,1)=(—2k+2k)8+k8+k8121k1,k2不全为零。解齐次方程组(解齐次方程组(—7I—A)X=°得特征向量为k(—1,—2,2)=一k8一2k8+2k8k丰°123‘310、9.设A=-4-10，试由A的特征多项式和特征根写出A-1的伴随阵(A-1)*的特〔4-8-2丿征多项式和特征根。9解：因|九I—A|—（九+2）（九一1）2A的特征根为-2,1,1。今（A-1）（A-1）*—〔A-i|l所以（A-1）*—lAAIAI又|A—-2,所以（A-1）*的特征多项式是g（九）—九1_（—q）A=（-㊁）31（-2九）1-A|—（--）3（-2九+2）（-2九-1）2—（九一1）（九+-）322由此g（x）的特征根为-2，-2，1。

10．试求方阵aa...a、aa...aA=••••••••••••*aa...a丿的特征根。10解：显然秩A=1所以A的任何高于一阶的子式皆为0。于是|九I一A|=九一T(A)Xn-i=Xn-nakn-i故A的特征根为九=九=•••=九=0,九=na。12n-1n七．证明题：1.取定AwM(F)，对任意XgM(F)，规定b(X)=AX—XAnn证明：b是M(F)的一个线性变换。n1证明：任取X,YgM(F),a,bgF,nb(aX+bY)=A(aX+bY)—(aX+bY)A=a(AX—XA)+b(AY—YA)=ab(X)+bb(Y)故b是M(F)的线性变换。n2.设M是向量空间V(F)的一个子空间，并且存在V的子空间N，使V=M+N，对任意aeV，有唯一分解式+a,agM,agN。定义V的变换c:c(a)=a12122证明：c是V的一个线性变换。2证明：设任意a,卩eV，并且a=a+a,卩=卩+卩,a,卩eM,a,卩eN,keF12121122于是c(a+卩)=c((a+a)+(卩+卩))=a+卩=c(a)+c(卩)121222c(ka)=c(k(a+a))=ka=kc(a),!22故c是v的线性变换。3•对向量空间Fn的任意向量（％,U…,»），定义(0,x,x,...,x)12n-1证明：a是Fn的线性变换。3证明：任取a=(x,xx),0=(y,yy)eFn,a,beF12n12n则a(aa+b0)=a(ax+by,ax+byax+by)1122nn=(0,ax+byax+by)TOC\o"1-5"\h\z11n-1n-1=a(0,xx)+b(0,yy)1n-11n-1=aa(a)+ba(0)故a是Fn的线性变换。4.在M2(F)中定义线性变换a4.在M2(F)中定义线性变换a如下：b(X)二rab\d丿x，XwM2（f）•ab证明：b可逆的充分必要条件是严0cd4证明：取M(F)的标准基{E,E2111221，E「E22}'则b关于此基的矩阵为b0d00b0d因为|A|ab故b可逆当且仅当A矩阵可逆当且仅当7丰0cd试证明：若矩阵A与B相似，C与D相似。则矩阵rB<OO)则矩阵rB<OD相似。D丿5证明：因为由题设，存在可逆T,使B=TAT。又因为存在可逆矩阵Q，使D=Q~lCQ，那么我们有分块矩阵rTGrTG=IOO)Q丿及G_1Q-1丿从而得到rAO、rT-10、rA0、rT0、rT-iAT0'rB0'G-1G===<0C<0Q-i丿<0C丿<0Q>、0Q-iCQ,<0D故得求证的相似关系。令◎是n维向量空间V的线性变换。若◎是可逆变换。则◎关于V的某一基的矩阵A秩为n。6证明设(a,a，…,a)是向量空间V的一个基，且12nc(a,a,・・・,a)=(a,a,...,a)A12n12n而c可逆当且仅当A可逆，因此矩阵A秩为n。试证线性变换◎的不变子空间的交与和都是◎的不变子空间。7证明：设W与S是a的两个不变子空间。那么WDS与W+S都是向量空间V的子空间。现在证它们是不变的。任取gwWp|S则由a(g)eW及a(g)eS，推出a(g)eWp|S。这证明了Wp|S是a的不变子空间。如果耳eW+S，那么耳可表成耳二耳+耳，耳eW，耳eS1212于是a(n)=a(n)+a(n)12又由于a(n)eW,a(n)eS12所以a(n)eW+S故W+S是a的不变子空间。所以是所以是"i的不变子空间(i,j=1,2,...,s)。00设V是复数域C上的向量空间，a与工是V的线性变换，并且。证明：如果果0是a的一个特征跟，那么特征子空间怯也是T的不变子空间。8证明：显然已知V={awVa(a)=Ra}是a的不变子空间。现在证它是t的不变子0空间。即任取aeV，往证t(a)gV.由于心九0a(t(a))=t(a(a))=t(九a)二九(t(a))00

设V是复数域上n维向量空间，其线性变换◎Q两两可换。2s证明：◎的每一个特征子空间都是b的不变子空间(i,j=1,2,...,s)。ij9证明：设I是9证明：设I是bi属于特征根九0的特征子空间，任取a€V九则有：b(a)二九a€Vi0入0那么bi(b尸))=bj(bi(a))」0(bj(a)),设◎是向量空间V的可逆线性变换。证明：◎的特征根都不为零。10证明：设九,九，…,九为◎的特征根，且设◎在V的某个基下对应的矩阵是A。那么12n|A|二九右…九,并且由◎可逆知A可逆。故◎的特征根都不为零。11.设非奇异矩阵A的全部特征跟为九,九，…,九,则A-1的全部特征根为：九T,九T,…,九T12n12n11证明：由A为可逆阵，有|A|=九］九2…\0所以A的全部特征根九,九，…,九皆不为零，其次对每个九，由存在非零向量«使12niiAa=la。iii我们可再从A-1Aa=A-1la，推得A-1a=l-1a。所以1-1,i=1,2,...,n都是A-1的特征TOC\o"1-5"\h\ziiiiiii根。再由A-1=1-11-1…1-1，12n即知A-1全部特征根是1-1,1-1,...,1-1。12n12•若a为n阶方阵A的属于特征根九的特征向量。0证明：九为T-1AT的特征根。012证明：因为A与T-1AT有相同的特征多项式’所以九0也是T-1AT的特征根。13.设数域F上的矩阵'bca''cab''abc'A=cab,B=abc,C=bca、abc丿、bca丿、cab丿证明：A,B,C彼此相似。TOC\o"1-5"\h\z13证明：在F3中取定基a,a,a，并且令线性变换b关于基｛a,a,a｝的矩阵为A。那123123么有(b(a),b(a),b(a))=(