系统可靠性模型

#系统可靠性模型定义:系统：可完成某种特定功能的整体,是若干协调工作单元的有机组合．系统与单元是相对而言的.例如：产品等级(八级)：f、零件--T部件--T组合体-T单机--T机组-T装置-T分系统--T系统失效(或故障)：系统丧失规定功能．通常用一个非负随即变量X来描述产品的寿命，X的相应分布函数F(t)二P{X<t},t>0为产品的寿命分布.产品可靠性函数(可靠度)为：R(t)三1-F(t)二P{X>t}.性质:(1)R(0)=1;⑵RS)=0;(3)R(t)是t的递减函数.例如:产品寿命为威布尔(Weibull)分布的可靠度为：R(t)二exp(—(九t)«),(九,a>0),其图像为：plot({exp(-(0.7*t)A0.6),exp(-(0.7*t)A1),exp(-(0.7*t)A2)},t=0..8,color=[red,black,green]);

00因为:E(X)」00因为:E(X)」tdF(t)二ffdudF(t)二ffdF(t)du二f(1—F(u))du二fR(t)dt•实际上,还有更广的关系存在:0uE(Xk)二fktk-1R(t)dt,ifP{X>0}二1,k=1,2,….(2)失效率函数:(failureratefunction)设产品的寿命(非负连续随机变量)分布函数为f(t),其密度函数为f(t),则定义r(t)三空为随机变量(产品)的失效率函数，简称失效率(故障率).R(t)失效率的解释:若产品工作到时刻t仍然正常,则它在(t,t+At］中失效的概率为P{t<X<t+At}F(t+At)—F(t)f(t)AtP{X<t+AtIX>t}==〜=r(t)At,P{X>t}1—F(t)R(t)因此,失效率为/、P{X<t+AtIX>t}AtTOAt根据失效率的定义,我们有AtTOAt根据失效率的定义,我们有0•/R(0)=1nR(t)=0•/R(0)=1nR(t)=exp(—0r(t)二——lnR(t)nR(t)二Cexp(—dt系统可靠性模型:(1)串联系统(seriessystem)系统由n个单元组成,系统工作的充分必要条件为所有单元均工作.用可靠性框图表示为：TOC\o"1-5"\h\z—12°n—串联系统可靠性框图令X,(1<i<n)为第i个单元的寿命，则其可靠度为R(t)二P{X>t}；假定iiiX,X，…,X相互独立,且各单元在初始时刻t二0,所有的部件都是新的,且同时开始工作，则系统的寿命为X二min{X,X，…，X}•12n系统可靠度为R(t)二P{X>t}二P{min{X,X，…,X}>t}12n=P{X>t,X>t,…,X>t}=HP{X>t}12nii=1=Hr(t)•i系统的失效=1率可由下面的关系获得R(t)=11exp(—Jr(u)du)=exp(—J》r(u)du),因此,我们有iii=100i=1r(t)=》r(t),即串联系统的失效率为各单兀失效率之和.ii=1如果各单元的寿命为指数分布，则系统的失效率为工九，由此可得出系ii=1统的平均寿命为一1—,此处九为单兀i的失效率.》九'ii=1(也可用马尔可夫链的方式来给出指数分布串联系统的MTTF(MeanTimeToFailure)).(2)并联系统(parallelsystem)系统由n个单元组成，只有当这n个单元全部失效后系统才失效，即这n个单元并联而成.其可靠性框图为：

12•••—n—若假定在id(independentdistribution)的情况下，系统的寿命为X二max{X,X，…,X},且在时刻t=0时所有单元是新的，则系统的可靠度12nR(t)二P{max{X,X，…，X}>t}12n二1-P{max{X，X，…，X}<t}12n二1-P{X<t，X<t，…X<t}12n二l-Ft1[1-R(t)]i(思考题:若各单元为指数分布,请给出系统的MTTF)3.表决系统:(k-out-of-n:Gsystem：n中取k：G系统)系统由n个单元组成，只要当这n个单元中的k单元工作,系统才工作,此系统称为n中取k表决系统,记为:k/n(G)・即当失效的单元数大于或等于n-k+1时,系统才失效.如果在iid(independentidenticaldistribution)情况下，且在初始时刻所有部件均是新的，则系统可靠度为y(n)R(t)二乙P{X<t,・..,X<t,X>t,・..,X>t}丿=丄j丿j+1n1jy(n)二乙.[R(t)]j[1-R(t)]n-j円Ij丿00一个重要等式:ykj=0勺)Rn-j(1ykj=0勺)Rn-j(1—R)jIj丿1B(n—k,k+1)0(0<R<1)-1}Proof:d

dRj=0/n)Rn-j(1—R)j]=nIj丿Rn-k-1(1-R)n!=(n—k—l)!k!Rn-k7—R"n!对上式进行积分,积分上，下限分别为R和0得出结论.#在上面的证明中用到了:B(s,t)三JxB(s,t)三Jxs—i(1-x)t—idx,r(f)三Jxf—ie-xdx,00B(s,t)=r（s）r（t）r（s+1）r(f+1)二fr(f).因而,系统的可靠度也可写为：R（R（t）=系统可靠性框图为：n!R0(t)JUk-1(1-U)n-kdU.(n-k)!(k-1)!0如果单元的寿命密度函数为f0（t）,则系统的失效率函数为f0(t)[R0(t爪-1[1-R0(t)]n-k0JUk-1(1-U)n-kdU当R(t)二e-k时，R(t)=R(t)=£j=k/n)e-山(1—e-尢t)n-j,Ij丿MTTF

=JR(t)dt但在id情况下，问题略微复杂一些，例如对2/4(G)系统，我们有,0=JH00=JH0j=k=工！(1—y)j-1yn-jdy='n)e-j"(1—e-入t)n-jdtIj丿kj=k1工九j=kR(t)二R(T)R(T)R(T)R(T)+F(T)R(T)R(T)R(T)+R(T)F(T)R(T)R(T)TOC\o"1-5"\h\z123412341234+R(T)R(T)F(T)R(T)+R(T)R(T)R(T)F(T)+F(T)F(T)R(T)R(T)123412341234+R(T)F(T)F(T)R(T)+R(T)R(T)F(T)F(T)+F(T)R(T)F(T)R(T)123412341234+F(T)+F(T)R(T)R(T)F(T)+R(T)F(T)R(T)F(T)1234234-firstlecture表决系统的另外一种形式是k/n(F)系统,它是由N单兀组成，如果在这N个单元中有k或k个以上单元失效，则系统失效.因此，我们可以得出k/n(F)系统等价于N-k+1/n(G)系统.表决系统与串联和并联系统的关系:1/n(F)或N/n(G)是串联系统；N/n(F)或1/n(G)系统为并联系统.多数表决系统：(n+1)/(2n+1)(G)或(n+1)/(2n+1)(F)系统.表决系统应用：工程系统中的数据采集；数据融合；社会科学；等等。串-并联系统：其可靠性框图为系统可靠度为R(t)={1-FI[1-R(T)]}.ijI=1/=1并-串联系统：其可靠性框图为

系统可靠度为R(t)二i-H[i-FIr(t)].iji=j=1冷贮备系统:转换开关完全可靠的情形系统由n个单元组成，在初始时刻，一个单元开始工作，其余n-1个单元作冷贮备.当工作单元失效时,贮备单元逐个地去替换,直到所有单元都失效时，系统才失效.可靠性框图为:这里冷贮备是指贮备的单元在贮备期间不失效，不劣化，即贮备期的长短对后来的工作寿命无关.系统寿命为:X=YX,系统的可靠度为：ii=1R(t)=1-F(t)=1-P{X<t}=1-P{X+X+…+X<t}12n=1-F(t)*F(t)*…*F(t).12n这里*表示卷积(convolution)A(t)*B(t)三J*B(t-u)dA(u)=\A(t-u)dB(u)•怎样理解卷积？………)系统的平均寿命为:MTTF=£E(X)i当F(t)=1—e-尢t,i二1,2,…,n时:我们有iR(t)=e-k2—1丛k!<k=0nMTTF=“

、九(思考题：当F(t)=1—e-3,i=1,2,…,n时,情况为??)•Hints:Laplacetransform/inverseLaplacetransform.>with(inttrans):>laplace(c*exp(-c*t),t,s);invlaplace((s+5)/(s+2)A2,s,t);3texp(-2t)+exp(-2t)invlaplace((s+5)A2/(s+2)A3,s,t);29/2texp(-2t)+6texp(-2t)+exp(-2t)特别是当系统由两个指数分布单元组成时,我们有(方法一)F(t)*F(t)=P{X+X<t}=fF(t—x)dF(x)=f(1—e-/-x))de吗x121210=1—2exp(—kt)+1exp(—kt)k-k1k-k272112(方法二)LS[7)*F2(t)](S)=LSF(t)](S)-LSF(t)](S)=做反Ls变换得1—s+k12kk=21+1k—ks+kk—k21112k—2—三ALs-1[A](t)=1—R(t)•(随机变量X的特征值：Expectation:e(X),Variance:Var(X),中位数，众数，分位数，中心矩：E{[X-E(X)]m},原点矩：E{(X)m}，偏度(skewness)：e{[(X-E(X)]3}/(、Var(X))3；峰度(kurtosis):E{[(X-E(X)]3}心Var(X))4-3,等等，但注意，一般有限的特征值不能完全确定随机变量的分布)。数学变换：两个重要：正态分布(一般统计学)，指数分布(可靠性)理解再应用，在理解。转换开关不完全可靠的情形开关也可能失效,我们只讨论两种类型:(i)开关寿命0-1型;(ii)开关寿命指数型6.2.1.转换开关不完全可靠的情形:开关寿命0-1型转换开关在每次使用时，开关正常的概率为p,失效概率为q二1-p,因而,在下列两种情形之一,系统就失效:当正在工作的单元失效,使用转换开关时开关失效;所有n个单元全部失效.假设：n个单元为iid,且其寿命分布为指数分布，即F(t)二1-exp(-九t),而且单元的寿命与开关的寿命相互独立.i为了给出系统的可靠度，我们引进一个随机变量VV二j,当第j次使用开关时，开关首次失效，j二1,2,…,n-1;V二n，当n-1次使用开关时，开关都正常.因而，我们有P{V=j}=pj-1q,j=1,2,…,n-1.E(V)=》jP{V=j}=E(V)=》jP{V=j}=j=1艺j=1jpj-1q+npn-1=(1一pn).q(sum('k*pA(k-l)*q','k'=l..n-l)+n*pA(n-l);simplify(%);)那么，系统的寿命为：X=X+X+…+XTOC\o"1-5"\h\z12VR(t)=P{X+X+…+X>t}12V=》P{X+X+…+X>11V=j}P{V=j}12Vj=1=P{X+X+•…+X>t}pj-1q+P{X+X+•…+X>t}pn~112j12nj=1由于F(t)=1-exp(-九t),因而有，iP{X+X+…+X>t}丄凹!exp(-Xt),j=1,2,…,n•i=012i=0i=0事实上，上面的分布为r分布.i!R(t)=艺pj-1q艺g)iexp(-毗)+pn-1艺g)'exp(—九t)i!i!j=1i=0i=0=艺亞exp(-Xt)i!思考题：此系统与6.1模型的关系?MTTF=E(X+X+…+X)TOC\o"1-5"\h\z12V=1Le(X+X+…+XIV=j)P{V=j}12Vj=1.=》jE(X)P{V=j}=E(X)E(V)=1(1-pn)、一j=111叫、、、当每个单兀的失效率不同时，系统的r(t),MTTF较复杂.下面我们只讨论两个单元的情况.Iq,whenj=1,

P{V=力=[p,whenj=2.R(t)=P{^X>t}jj=1

=P{X>11V=1}P{V=1}+P{X+X>11V=2}P{V=2}112=qP{X>t}+pP{X+X>t}112=qexp（—九t）+p[1-P{X+X<t}]112=qexp（-尢t）+p[1-fP{X<t-u}dF（u）]1120=qexp（—尢t）+p{1-f（1-exp[—尢（t-u）]）尢exp（—尢u）du}11220=qexp（—九t）+p{1-f（1-exp[—九（t-u）]）九exp（—九u）du}11220p尢=exp（—九t）+1—[exp（—九t）-exp（—九t）]1九一九2112MTTF=1+纟.九九转换开关不完全可靠的情形:开关寿命指数型假设开关的寿命X服从参数为九的指数分布，并于各部件的寿命相互独立.这样开关对系统的影响有两种不同的形式：（1）当开关失效时,系统立即失效.系统的寿命为：X=min（X+X+…+X,X）12nKR（t）=P{min（X+X+…+X,X）>t}12nK=P{X+X+…+X>t}P{X>t}12nKi=0TOC\o"1-5"\h\z=exp（—九t）£1（九t-exp（—九t）i!Ki=0i=0MTTF=fR（t）dt二艺兀ftiexp（-（X+九）t）dti!K0i=00=艺-=艺-—fxiexp(—x)dxi=0(X+XK)i+1i!0=EXi=_1[1-(丄)n](X+X)i+1XX+X(2)当开关失效时，0系统并不立即失效，当工作单元失效需要开关转换时，由于开关失效而使系统失效.为简单起见,我们只讨论两个单元的情况,X,X,X分别为单元1,2和开关的寿命，并且服从参数为X,X,X的指数分布:在7id情况下，则系统的寿命为X二X+XI，此处I为事件a12{X>X}A的示性函数，即K1

=P{X<t,X<X}+P{X+X<t,X>X}1K112K1=fP{X<x}dP{X<x}+fP{X<t—x}dP{X<x}K12100=f[1—exp(—Xx)]Xexp(—Xx)dx+f[1—exp(—X(t—x))]Xexp(—Xx)dxK11211由此得出:00因而,1—R(t)=P{X<t}A1,ifAoccurs;0,otherwise.R(t)=exp(—九t)+九+九一九K12[exp(—Xt)—exp(—(X+X)t)]21K<MTTF=丄+X1XX(X—X)21K<MTTF=丄+X1XX(X—X)21K温贮备系统:转换开关完全可靠的情形解法一:曹晋华书p55(讨论了两种情况：(i)X相同；(ii)n=2)解法二:假设(X,Y),(i=1,2,,n)为第i个单元的工作与贮备寿命，则系统寿命为(以n=3为例)：X=X+XI+XI+XI12{Y2>X1}3{Y2<X1，Y3>X1}3{Y2>X1，Y3>X1+X2}温贮备系统:转换开关不完全可靠的情形.温贮备系统:转换开关不完全可靠的情形:开关寿命0-1型令V=1如果开关时开关正常；V=0如果开关时开关不正常.系统寿命为(以两个单元的系统为例)X=X+XII.12{Y>X}{V=1}因而,系统的可靠度为:21R(t)=P{X>t}=P{X>t,V=0}+P{X+XI>t,V=1}112{Y>X}温贮备系统:转换开关不完全可靠的情形21关寿命指数型当开关失效时,系统立即失效.系统的寿命为X=min{X+XI,X}，则系统的可靠度为12{Y2>X1}KR(t)=P{X>t}P{X+XI>t}.K12{Y>X}当开关失效时,系统并不21失效,当工作单元失效需要开关转换时,由于开关失效而使系统失效.系统的寿命为X二X+XII,12{Y>X}{X>X}则系统的可靠度为：21K11-R(t)=P{X<t}=P{X<t,Y<X}+P{X<t,Y>X}2121=P{X<t,Y<X}+P{X<t,Y>X}2121=P{X<t,Y<X}+P{X+X<t,Y>X,X>X}+P{X<t,Y>X,X<X}N中取连续K(N中连续取K)(Consecutive-k-out-of-n)Definition：(consecutive-k-out-of-n：Fsystem)：Thesystemconsistsofncomponentsarrangedinalineoracircle,thesystemfailsifandonlyifsomekconsecutivecomponentsfail.LetS(i,j)besetofallcomponentstatesofalinearworkingsystemwhichconsistsofcomponentsi,i+1,…,j.L(1,j)denotesalinearconsecutive-k-out-of-j：Fsystem.s,sareworkingstateandfailurestateofcomponent/.Theorem:s(1,n-1)二S(1,n)US(1,n-k-1)ss…s•TOC\o"1-5"\h\zLLLn—kn-k+1nProof.IfL(1,n)works,thenofcourseL(1,n-1)works.ThuswehaveS(1,n-1)nS(1,n)US(1,n-k-1)ss…s；Ontheotherhand,LLLn-kn-k+1nTheonlycasethatL(1,n-1)worksbutL(1,n)doesn'tiswhenthelastk+1componentsinL(1,n)havethestatesasspecified,i.e.,S(1,n-1)匸S(1,n)US(1,n-k-1)ss…s•LLLn-kn-k+1nTheProofiscompleted.Corollary:r(1,n)二R(1,n-1)-R(1,n-k-1)p廿q,LLLn-kn-k+jj=1WhereR(1,j)isthereliabilityofthelinearconsecutive-k-out-of-j:Fsystem;pisthereliabilityofcomponenti,q=1-p.应用举例:(consecutive-k-out-o