裂项相消法讲义

1、利用裂项相消法求和应注意:(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩几项，后面对称地也剩几项,且前面所剩项的符号与后边刚好相反，例如数列n(且前面所剩项的符号与后边刚好相反，例如数列n(n+2)的求和。(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相1等.如：若1等.如：若｛a｝是等差数列，则爲一aann+11r11「11r11]d.ana.n+1’，aa =2dnn+2.ana丿n+22.裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列a的通项公式，达到求解目的•归纳起来常见的命题角度有:-—七)-—七)型。如齐+1—丄nn+1；n+1⑷形如a=nr市厂型.⑸形如an+1⑷形如a=nr市厂型.⑸形如a=4nn 4n1 4n+11型;n+1⑹n(n—1)•2n2n—(n—1)n(n—1)•21n(n—1)2n-1 n・2n(2)形女口a=,— , vn+、：n+kk1 )型; 1 1 )型;(3)形如an= 2n-1 2n+1 =2(乔1_2n+11角度1形如an=nn+k型；【例1】在等比数列｛a」中，a/0,nGN*,且玄厂a2=8,又a「a§的等比中项为16.求数列｛a｝的通项公式；nTOC\o"1-5"\h\z—111 1⑵设b=loga，数列｛b｝的前n项和为S，是否存在正整数k，使得s+s+S十 S<k4nn n SSS S1 2 3 n对任意nGN*恒成立.若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由.［解析］(1)设数列｛a｝的公比为q，由题意可得a=16，n 3'/a—a=8，则a=8，.".q=2..".a=2n+1.3 2 2 nn+1/b=log2n+1= ，n 4 2/.S=/.S=b+b十 b=n1 2 nn+341_ 4 _4(1_1)S_nn+3_3vnn+3丿,n（1_1十1_1十1_1十…十1—丄）、1 4丁2 5丁36丁 n+3）411 1 1 1、 4(,1,1)223(1+2+3_n+r_n+^_卫)＜兔1+尹3丿＜6•••存在正整数k的最小值为3.112.已知数列｛a｝的前n项和S与通项a满足S_-_牙a.TOC\o"1-5"\h\z2 2n(1)求数列｛a｝的通项公式；n11 1⑵设f(x)_logx,b_f(a)+f(a)+・・・+f(a),T_b+b十…+匚，求T ；3 n 1 2 n^nbb b 20121 2 n又S_1—1a又n2 2n1［解析］(1)当n_1时，a1_3，又S_1—1a又n2 2nnnn—1所以a_1a311即数列｛an｝是首项为3,公比为§的等比数列,3丿n._—n,__2〔_—n,__2〔n_為,(2)由已知可得f(an)_log3所以T201240242013'变式1.在等差数列｝中，a=3，其前n项和为S，等比数列%｝的各项均为正数,TOC\o"1-5"\h\zn 1 n n\o"CurrentDocument"Sb—1，公比为q，且b+S—12，q= .\o"CurrentDocument"i 2 2 b2

(1)求a与b；(2)设数列｛c(1)求a与b；(2)设数列｛c｝满足cn n n n1,Sn［解析］(1)设｝的公差为d.n'b+S=12,2 2©q-S2所以fbJ 2解得q=3或q=-4(舍)，d=3.故a=3+3(n—1)=3n,b=3n—1.n因为＜q+6+d=12,6+dq二•

〔qnn(3+3n)(2)由(1)可知，S= ，所以c=n22』、— n(3+3n丿 3故Tn=+•…+1nSn2(1\3Vn2n+1丿_3(n+1)变式2.(2013■江西高考)正项数列｛a｝满足：a2—(2n—1)a—2n=0.n n n(1)求数列｛a｝的通项公式a；n n1⑵令b=n+1a，求数列｛b｝的前n项和T.十1an［解析］ ⑴由a2—(2n—1)a—2n=0,得(a—2n)•(a+1)=0.由于｛a｝是正项数列，所n n n n n以a=2n.n111(2)由a2n,b ，得bn'nn+1an2nn+1 2Vnn+1丿nn2n+11nn2n+11n+1T=711—了+了一 + —_+_—•223 n—1nnn+1aa+1变式3.已知数列｛a｝的各项均为正数，前n项和为S,且S=—2——,nGN*.n n n 2⑴求证：数列｛a｝是等差数列；n1⑵设b=^,T=b+b+・・・+b，求T.2S n1 2naa+1［解析］⑴证明■-Sn=——,呵*,, , 〜aa+1(an>0)，Aa1=1-当n(an>0)，Aa1=1-112当n当n$2时，由「2S=a2+a,nnn2S=a2+aIn—1 n—1 n—1得2a=a2+a—a2—a.nnnn—1 n—1即(a+a)(a—a—1)=0,nn—1nn—1

'/a+a>0,/.a-a=1(n^2).n n—1 nn—1所以数列｛a｝是以1为首项，1为公差的等差数列.n, ” enn+1(2)由(1)可得a=n,S= 2 ,2,1111b= '=■ =—— n2Snn+1nn+1n/.T=b+b+b+ bn1 2 3 n11111=1-2+2_3+・・・+n_n+= _1 =n+1=n+1'an+1(n=1,2,3,…).变式4.(12分)已知数列｛a｝的前n项和为San+1(n=1,2,3,…).1(1)求数列｛a｝的通项公式;n⑵当b=log(3a)时，求证：数列<n 3n+12[1]

bb、nn+1，的前n项和Tn=1+^-［解析］(1)由已知得an+1(n$2),an=2Sn-13得到a丄=-a(n$2).n+1 2n3•/数列｛an｝是以a2为首项，以亍为公比的等比数列.又a=1S=1a=1又2 21 21 2,|n—2n-2(n$2)../a=<n〔29|n-2,n$2.3⑵证明bn=log|(3an-1=n.=1 1+=1 1+n=1+n.1(11十…弋-1+…bbn1+nn1+n'nn+1T1111-T= ■+——+——+ ■ -•nbb+bb+bb+ +bbnn+1｛b｝是等差数列，且对任意正整数n,n变式5.已知正项数列{a},{b}满足a=｛b｝是等差数列，且对任意正整数n,nn n 1 2

都有b,pa,b』成等比数列.(1)求数列｛b｝的通项公式；n11 1 b2⑵设S=-+-+ ，试比较2S与2—匸十的大小.aa a na12 n n+1［解析］ ⑴：对任意正整数n,都有b，藕,b+成等比数列，且｛a｝,｛b｝都为正项数+1列，/.a=bb(neN*).可得a=bb=3,a=bb=6,又｛b｝是等差数列，二b+b=2b,nnn+1 112223 n 13 2解得匕,b2= ■/bn=^2(n+1)■n+1 n+1 n+1.■.当n=1,2时，2S<2—知；当n$3时，2S>2—时.na nan+1 n+11角度2形如不+百型1【例2】已知函数f(x)=xa的图像过点(4,2)，令an=fn+1 +fn,neN*.记数列｛a｝的前n项和为S,则S= .n n， 201311［解析］由f（4）=2可得4a=2，解得a=2,则f（x）=x^/an=fn+1[fn=、；鼎+飞:嚅=n+1—；'，S=a+a+a+——a=（迈一诉）+（诉一\；0）+筋一逅）+——（\：2014—勺2013）2013 1 2 3 2013=-寸2014—1.角度31角度31形如an=2n—1 2n+1型;【例3】(2013•新课标卷丨)已知等差数列｛a｝的前n项和S满足S=0,S=—5.TOC\o"1-5"\h\zn n 3 5⑴求｛a｝的通项公式；nf1 〕⑵求数列La［的前n项和.、2n—1 2n+1［解析］⑴设｛a｝的公差为d,则S=na+n罗dn n 1 2

由已知可得＜3a+3d=0,由已知可得＜5a+10d=-5.11故｛a｝的通项公式为a=2-n.n n1⑵由(1)知一—aa2n-1 2n+113-213-2n 1-2n丁1-1]2k2n—3-2n—1丿，从而数列｛从而数列｛，的前n项和为2n-1 2n+1丿2n-1 2n+1丿『-11-1 _J_-1)n二1-1+1-3 2n—3-2n—1丿=1-2n.变式1.已知数列｛a｝的前n项和为S,a=1,S=na-n(n-1)(nGN*).n n1 n n(1)求数列｛a｝的通项公式；n2⑵设b=爲—，求数列｛b｝的前n项和T.aann+1[解析](1)TS=na-n(n-1)，当n$2时,n nS=(n-1)•a—(n-1)(n-2),n-1 n—1.'.a=S—S=na—n(n—1)—(n—1)a+(n—1)•(n—2),nnn—1 n n—1即a—a=2.n n—1.数列｛a｝是首项a=1,公差d=2的等差数列，n 1故a=1+(n—1)•2=2n—1,nGN*.n⑵由⑴知bn=aF=nn+122⑵由⑴知bn=aF=nn+122n—1 2n+112n-11_2n+1,匚1)f11]1——+I3丿<3一5‘T=b+b+ b=n1 2 n++■■■+12n+11=1—2n+22n2n+1'变式2.在数列｛变式2.在数列｛a｝中，a=1,n 1当n$2时,其前n项和S满足S2=an n(1)(1)求S的表达式；n⑵设b=^+7，求｛b｝的前n项和T.2n+1［解析］［解析］aa=S—S (n$2),nn n—1/.S2=(/.S2=(S—Sn n n—15即2SS=S-S，①n—1n n—1 n由题意S•S壬0,1①式两边同除以Sn—1•Sn,得右—S^=2,nn—1f1〕 11二数列］計是首项为s=a=1，公差为2的等差数列.、nJ 1 1•••S=1+2(n-1)=2n-1,・.Sn=2n—7n(2)又b(2)又b=nS2n+112n—1 2n+11(1—1)2(2n—1—2n+1»111111•Tn=b1+b2+^+bn=5[(1—3)+(3—5)+^+(^—^)]=『1—丄L亠2n+1丿2n+1'1变式3.已知数列｛a｝前n项和为S,首项为a,且-,a,S成等差数列.n n 1 2 nn(1)求数列｛a｝的通项公式；n⑵数列｛bn｝满足气=(1密卄以(32春)，求证：+^+^<1.1 2 3 n11(1)解■^2,a,S成等差数列，二2a=S+2，Z nn n nZ11当n=1时，2a1=S1+-,•a1=-,1当n$2时，S=2a—~,S=2an n2n—1 n—1两式相减得a=S—S=2a—2ann n—1 n n—11•••数列｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列,1•a=~X2n—1=2n—2.n2⑵证明b=(loga)X(loga)=log22n+1—2Xlog22n+3—2=(2n—1)(2n+1),n 22n+1 22n+3 2 2111111、= X' =( ― )b2n—1 2n+1 2(2n—1 2n+1)5n11111111/11n11、1/、b+b+bi・+b=2[(1—3)+(3—5)十…十(K—时)]=2(1—^)<5(nGN*)-1 2 3 n

11111即b+b+bi・+b<2・1 2 3 n变式4. (2014•浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P(x,y),P(x,y),…,11122213P(x,y),…，对一切正整数n,点P在函数y=3x+7的图像上，且P的横坐标构成以45-2为首项，-一_l_10—4一_l_10—4n+6.求点P的坐标；n设抛物线列C1,C2,q,…，C，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C的顶点11为P,且过点D(0,n2+1).记与抛物线C相切于点D的直线的斜率为k,求—+r7+kkkkTOC\o"1-5"\h\z1 2 23k'亠 5 3 135［解析］ ⑴Tx=—r+(n—1)X(—1)=一n—-,/.y=3x+ =—3n—-.A2 2 nn4 45、5、⑵Tc的对称轴垂直于x轴，且顶点为P,A设C的方程为『二玄乂+空芦一TOC\o"1-5"\h\z2 4把D(0,n2+1)代入上式，得a=1,A.C的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1.n nAk=y‘| =2n+3,n x=012n+1 212n+1 2n+312^52n+3角度4形如a=—n n2n+1n+2【例4】(2013•江西高考)正项数列｛a｝的前n项和S满足：S2—(e+n—1)S—(e+n)=n n n n0.(1)求数列｛a｝的通项公式a；n n⑵令b=n+t1a，数列｛b｝的前n项和为T•证明：对于任意的nGN*，都有T<£.十22a2 n n 7 n64n［解析］(1)由S2—(n2+n—1)S—(n2+n)=0,n n得［S—(n2+n)］(S+1)=0.n n由于数列｛a｝是正项数列，所以S>0,S=n2+n.n n n于是a1=S1=2,n$2时，

a=S—S=n2+n—(n—1)2—(n—1)=2n.TOC\o"1-5"\h\znn n—1综上可知，数列｛a｝的通项公式a=2n.n n⑵证明：由于a=2n,nb= —则b=—n±1—=斗1——1—nn+22a2 n4n2n+2216l_n2 n+22nT=丄「1—丄十丄—丄十丄—丄十…十―1——^—n=16l_3222423252 n—12n+12丄—_1_]=丄「[+丄—_1_—_1_-n2n+22」16|_+22n+12n+22__5_64'【例4】已知