第六讲微分方程模型

第六讲微分方程模型第一页，共26页。0图3.1.1§3.1小船行走路线问题一小船从河边某点驶向对岸码头,若考虑水的流速影响,船行走的路线如何?如图3.1.1建立坐标系

问题(1)水流方向为y轴正向，速度大小为a;

模型假设(2)船在A处,轮船匀速行驶,速度为b,为了到达码头,总是朝向码头O前进；(3)船行走的路线为(4)河宽为l米.第一页第二页，共26页。在曲线y=y(x)上任取一点P(x,y),因为水流方向为y轴正向，大小为a,所以水流速度向量0图3.1.1划船方向指向原点O(0,0)，大小为b.

模型建立划船速度向量；水流速度向量；船行速度向量第二页第三页，共26页。所以划船速度向量

因此船行速度向量

0图3.1.1第三页第四页，共26页。(1)由船行速度向量的方向为船行路线的切线方向，所以有或0图3.1.1于是我们的问题是求上述方程满足条件的解.（2）第四页第五页，共26页。由，可求出任意常数.方程(1)是齐次方程，由齐次方程解法得

模型求解（*）此外,有（**）(1)第五页第六页，共26页。当x=0时确有y=0，故小船一定能到达码头.思考：这条路线是最优路线吗？若不是，考虑最优路线．应以时间最短为标准.最佳路线应是O到A的直线.由(*)、(**)可解出第六页第七页，共26页。动植物种群本身是离散变量，谈不到可微性，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至是可微地在变化，进而可以引用微分方程这一数学工具来研究.§3.2单种群模型与人口问题模型1Malthus模型这个模型的基本假设：在人口自然增长过程中，人口的净增长率为常数,即单位时间内人口增量与当时的人口总量成正比.英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus,1766—1834)于1798年提出了著名的人口指数增长模型．第七页第八页，共26页。根据Malthus的假设,在t到t+△t时间内人口的增长量为设时刻t的人口数为p(t),t=t0时的人口数为p0,人口增长率为r如何建立Malthus的数学模型呢?令△t→0,p(t)满足方程（3）第八页第九页，共26页。这个问题的解为(3)是一个线性微分方程，称为Malthus模型.

模型中的参数p0,r可用所给数据用最小二乘法拟合得到（第六章讨论）．

如果r>0，上式表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当t→+∞时,p(t)→+∞

,这似乎不太可能．另外，此模型虽然与十九世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．但是当人们用十九世纪以后许多国家的人口统计资料与Malthus模型比较时，却发现了很大的差异．附录列出了美国十九世纪、二十世纪的人口统计数据与这个模型比较的结果．第九页第十页，共26页。用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率估计过高．按照附录中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年和20世纪前80年的10年增长率分别为0.266和0.137，远小于1790到1800年的增长率0.307．这个事实对r是常数的基本假设提出了异议.产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增加的抑制作用越来越显著，如果人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点.我们不妨利用附录第2列给出的数据计算一下美国人口每10年的增长率,可以知道大致是逐渐下降的.第十页第十一页，共26页。将增长率r表示为人口p(t)的函数r(p),按照前面的分析,r(p)是p的减函数.一个最简单的假定是：设r(p)是p的线性函数，即此模型是荷兰生物学家Verhulst于十九世纪中叶提出．模型２Logistic模型修改假设：为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus模型关于人口增长率是常数这个基本假设.从而得到Logistic模型.第十一页第十二页，共26页。这里r相当于p=0时的增长率，称固有增长率．为确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口容量pm，称最大人口容量．当p=pm时增长率为零，即r(pm

)=0，由此可确定出s=r/pm

.显然对于任意的p>0

，增长率r(p)<r.其中r,p是根据人口统计数据或经验确定的常数．人口增长率r(p)可表示为第十二页第十三页，共26页。（上式表示增长率r(p)与人口尚未实现部分（对最大容量Pm而言）的比成正比，比例系数为固有增长率r.）(4)按照上述假定,（3）应修改为（3）第十三页第十四页，共26页。（4）式称为Logistic模型．其解为(5)由解(5),可得出人口总数具有如下规律:①当t→∞时,p(t)→Pm，即无论人口初值如何，人口总是趋于极限值Pm.②当0＜p0＜pm时,所以p(t)是时间t的单调递增函数，又第十四页第十五页，共26页。当时，显然，当时，，曲线向上凹；曲线向下凹.第十五页第十六页，共26页。注：1、本节讨论的人口模型，原则上可适用于其他生物种群，如森林中的树木，池塘中的鱼等，Logistic模型在生物数量的分析和预测中有着广泛的应用.人口增长速度dp/dt

由增变减，在pm/2处最大，即在人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，过这一点以后，生长的速度逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长时期．结论：第十六页第十七页，共26页。2、Malthus模型和Logistic模型只考虑了人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构．事实上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别．两个国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年轻人的比例高于另一国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样．因此考虑人口模型时，除了时间变量外，年龄是另一个自变量，得到一个偏微分方程．第十七页第十八页，共26页。在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口，那么，黄灯应亮多长时间？司机反应：决定停车（必须有足够的停车距离）和通过路口（必须有足够的时间通过路口，此时一直匀速行驶）．§3.3交通管理中的黄灯问题问题分析黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的决定时间（反应时间）、他通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间．第十八页第十九页，共26页。建模与求解

T1－驾驶员反应时间T2－汽车通过十字路口的时间T3―停车距离的驾驶时间，则T=T1+T2+T3为黄灯应亮的时间，记下面计算T2，T3设法定行驶速度为v0,十字路口的长度为I，典型的车身长度为L.第十九页第二十页，共26页。设m为汽车质量，f为刹车摩擦系数，x(t)为行驶距离，刹车制动力为fmg(g为重力加速度)由牛顿第二定律，刹车过程满足下述运动过程(1)因为车的尾部必须通过路口，这样通过路口的实际长度就是I+L，所以汽车通过十字路口的时间为：为了计算T3，需要求出停车距离：第二十页第二十一页，共26页。对方程(1)积分一次,并代入条件

令末速dx/dt=0，得刹车所用时间为对(2)再积分一次，并代入条件(2)，得，得第二十一页第二十二页，共26页。．将t1=v0/fg代入上式，得停车距离为所以驾驶员的反应时间，可根据统计数据或经验得到，通常可假定为１秒．这样求得黄灯应亮的时间为第二十二页第二十三页，共26页。1）Matlab2）Lindo/Lingo3）Mathematica数学建模常用的三种数学软件第二十三页第二十四页，共26页。1）MatlabMatlab的含义是矩阵实验室(MatrixLaboratory)，是美国MathWork公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和高性能化软件、它集数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示于一体.构成一个方便的、界面友好的用户环境.到目前为