八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题01 与三角形有关线段重难点知识（解析版）

专题01与三角形有关线段重难点知识知识清单三角形——不在同一条直线上三条线段首尾顺次连接的图形.三角形有三条边、三个顶点、三个内角（角）.三角形ABC，记作“△ABC”，字母顺序可以改变.三角形分类三角形分类按角分直角三角形锐角三角形钝角三角形按边分等腰三角形（等边三角形）三边都不相等的三角形三边关系原理：两点之间，线段最短三角形两边之和大于第三边，两边之差（较长边减较短边）小于第三边.三角形的高、中线、角平分线1.高表述：AD是△ABC的BC边上的高；AD⊥BC于D；D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.注意：锐角三角形三条高均在内部；直角三角形一条高在内部，其余两条为其直角边；钝角三角形一条高在内部，其余两条在外部.三角形面积计算时，可选不同的底和高.三角形的高为线段.2.中线表述：AD是△ABC中BC边的中线.注意：三角形三条中线均在内部，交于同一点，该点为三角形重心.三角形的中线是一条线段.一条中线将三角形面积一分为二.3.角平分线表述：AD是△ABC的角平分线.注意：角平分线将角一分为二；三角形角平分线是一条线段，一个角的平分线是一条射线.三角形的稳定性几何模型BD·AC=AE·BCAD、BE、CF是△ABC的中线，交于点OSAOF=SAOE=SBOF=SBOD=SCOD=SCOE=S△ABC典例解析【知识点1：三角形三边关系】例1-1.（2021·四川成都期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【答案】C.【解析】解：A、3+4<8，不能组成三角形；

B、8+7=15，不能组成三角形；

C、13+12>20，能够组成三角形；

D、5+5＜11，不能组成三角形．

故答案为：C．例1-2．（2021·山西临汾期末）三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：根据三角形的三边关系得：8-5＜1+2x＜5+8，解得：1＜x＜6，故答案为：A．例1-3．（2021·广东期末）已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a-b-c|-|a+b-c|=（）A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c【答案】A.【解析】解：∵a、b、c是一个三角形三边长，∴b+c＞a，a+b＞c，∴|a-b-c|-|a+b-c|=-(a-b-c)-(a+b-c)=-a+b+c-a-b+c=-2a+2c，故答案为：A．例1-4．（2021·湖南期末）已知某三角形的三条边长分别为，且不等式﹣x＋2a＞0有且只有4个正整数解，则a的取值范围是___________．【答案】＜a≤．【解析】解：∵三角形的三条边长分别为，a，a+1，∴a﹣＋a＞a＋1，解得：a＞，解不等式﹣x＋2a＞0得：x<2a，∵不等式﹣x＋2a＞0有且只有4个正整数解，∴∴2＜a≤，∴a的取值范围是＜a≤，故答案为：＜a≤．【变式1-1】（2021·河北期末）在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（）A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形B．三角形的内角和是180°C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角D．三角形任意两边之和大于第三边【答案】D.【解析】解：①∵a＝8，b＝5，c＝1，∴a＞b+c，∴三条线段不能组成三角形；②∵a＝8，b＝6，c＝2，∴a＝b+c，∴三条线段不能组成三角形；③∵a＝8，b＝6，c＝3，∴a＜b+c，∴三条线段能组成三角形；∴学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边，故答案为：D．【变式1-2】（2021·陕西）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B.【解析】解：根据三角形的三边关系得：10﹣1＜AC＜10+1，即9＜AC＜11，∵AC为偶数，∴AC＝10，∴△ABC的周长为：10+10+1＝21，故答案为：B．【变式1-3】（2021·浙江期末）边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，则满足条件的三角形的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C.【解析】解：设另两边是x，y．且x＜y＜8，x+y＞8，x，y都是整数．满足条件的值有：2，7；3，6；3，7；4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7共有9种情况，因而满足条件的三角形的个数为9个．故答案为：C．【变式1-4】（2021·山东）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．【答案】.【解析】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，∴|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b||===故答案为：．【变式1-5】（2021·黑龙江中考）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______【答案】.【解析】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，∴，解得，∵这三个数为边长能构成三角形，∴，解得，综上所述，的取值范围为，故答案为：．【变式1-6】如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5个；（2）见解析．【解析】解：（1）图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．（2）证明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【知识点2：三角形的高】例2-1．（2021·山东济南期中）如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中正确的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△ABC中，GC是BC边上的高C．△GBC中，CF是BC边上的高D．△GBC中，GC是BG边上的高【答案】A.例2-2．（2021·江苏期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B．C． D．【答案】B.例2-3．（2021·河北期末）若线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则AM与AN的数量大小关系为________．【答案】AM≤AN【解析】解：∵线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，∴根据垂线段最短，AM＜AN∵当三角形的中线和高线重合时，AM=AN综上所述：AM≤AN，故答案为：AM≤AN．例2-4．（2021·河北期末）如图，已知中，，．（1）画出的高和；（2）若，求的长：（3）求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】解：（1）如图：（2）∵，∴，即CE=；（3）由（2）知，AD·BC=AB·CE故．【变式2-1】（2021·河南期末）如图，△ABC中，AC边上的高是（）A．线段CD B．线段AF C．线段BE D．线段CE【答案】C.【变式2-2】（2021·河北期末）如图所示，△ABC为钝角三角形，则边AC上的高是（）A．AD B．AE C．BF D．CH【答案】C.【变式2-3】（2021·北京期中）如图，点A在的一边上，按要求画图并填空．（1）过点画直线于点，与的另一边相交于点．（2）过点画的垂线段，垂足为点．（3）过点画直线，交直线于点．（4）__________．（5）如果，，，则点A到直线的距离为__________．【答案】（1）（2）（3）见解析；（3）90；（5）．【解析】解：（1）如图；（2）如图；（3）如图；（4）∵CD∥OA，∴∠CDB=∠OAB=90°；

故答案为：90；（5）∵∴故答案为：．【知识点3：三角形的中线】例3-1．（2021·广东）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．例3-2．（2021·江苏期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的三条边中线的交点是（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A.【解析】解：根据图形可知，三条边中线的交点是：点．故答案为：A．例3-3．（2021·江苏镇江月考）如图，的中线、相交于点F，下列结论正确的有（）①；②；③S四边形EFDC；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C.【解析】解：连接CF，∵AD，BE为中线，∴D，E分别为BC和AC中点，∴，故①正确；∵E为AC中点，∴，，∴，同理可证，，∴，故④正确；∵，∴，故②正确；∵，即，故③错误；综上：正确的有①②④，故答案为C．例3-4．（2021·扬州市期中）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF，的面积分别为6、8、10，则四边形DHOG的面积为________．【答案】8.【解析】解：连接OC，OB，OA，OD，∵E、F、G、H依次是各边中点，∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，同理，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=8，S四边形CGOF=10，∴6+10=8+S四边形DHOG，解得：S四边形DHOG=8，故答案为：8．例3-5．（2021·江苏期末）如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为点E，其中AB＝10，DE＝3，若BD＝5，则点A到BC的距离为___．【答案】6.【解析】解：过点A作AF⊥BC于F．∵AB=10，DE=3，∴S△ABD=15∵D为BC中点∴S△ABC=2S△ABD=30∵BC=2BD=10∴AF=6故答案为：6．【变式3-1】（2021·辽宁）如图，的三条中线，，相交于点，且四边形的面积是12，则图中阴影部分的面积为______A．16 B．12 C．10 D．6【答案】B.【解析】解：设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1＋S2＋S3＝S4＋S5＋S6①，S2＋S3＋S4＝S1＋S5＋S6②，由①−②可得S1＝S4，同理：S3＝S5，∴S1=S2=S3=S4=S5=S6=12÷2=6，故阴影部分的面积=2×6=12．故答案为：B．【变式3-2】（2021·河北）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】解：∵AD为中线，∴BD=CD，∵AB=8，AC=5，∴，，∴；故答案为：B．【变式3-3】如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多2，则的长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B.【解析】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，∵△ACE的周长比△ABE的周长多2，∴AC-AB=2，∴AC=10．故答案为：B．【变式3-4】（2021·四川眉山）如图在△ABC中，点D是AB边中点，点E是线段CD中点，点F在线段BE上，且BE＝3FE，若△DEF的面积为2，则△ABC的面积为_____．【答案】24.【解析】解：∵BE＝3FE，△DEF和△DBE等高，∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6，又∵E为CD中点，D为AB中点，S△ABC＝2S△BDC＝2×2S△BDE＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．【变式3-5】（2021·苏州市吴江区月考）如图，分别是的中点，若四边形的面积是，则四边形的面积为_______．【答案】25.【解析】解：连接AF、AC、CH、BG、BD、DE，∵A、B、C、D分别是BE、CF、DG、AH的中点，∴S△AEF=S△ABF=S△ABC，S△BFG=S△BCG=S△BCD，S△CGH=S△CDH=S△ADC，S△DHE=S△DAE=S△ABD，∴S△BEF+S△CFG+S△DGH+S△AHE=2（S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD）=4S四边形ABCD，∴四边形EFGH的面积=5S四边形ABCD=5×5=25cm2，故答案为：25．【变式3-6】（2021·湖南期中）如图所示，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A’、B’、C’顺次连接成△A’B’C’，若△ABC的面积是4，则△A’B’C’的面积是____________．【答案】28.【解析】解：连接AB'、BC'、CA'，如图所示：由题意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，∴△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC'的面积=△AA'C的面积=△BB'C'的面积=△A'C'C的面积=4，∴△A′B′C′的面积=4×7=28；故答案为：28．【变式3-7】（2021·吉林长春市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝，S△ADC＝S△ABC＝，可列方程组为：．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；；20；（3）25，见解析.【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝DC．∵，∴S△ABD＝S△ACD．故答案为：＝．（2）连接AO，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四边形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四边形ADOE，∴，解得：∴四边形ADOE的面积为：x+y＝20．故答案为：30；30；；20；（3）∵AD：DB＝1：1，∴AD＝DB．由（1）知：S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴AE＝2CE．∴设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，∵AE＝2CE，∴∵AD＝BD，∴∵S△ABE＝S△BDO+S四边形ADOE，S△ACD＝S△CEO+S四边形ADOE，∴，解得：∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝25．【知识点4：三角形的面积】例4-1．（2021·辽宁本溪）如图，点D和点E分别是△ABC边BC和AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差为（）A．1 B．1.5 C．1.75 D．2【答案】D.【解析】解：∵AE=CE∴S△BCE=6同理，SACD=4△BDF与△AEF的面积之差=S△BCE－SACD=6-4=2故答案为：D．例4-2．（2021·江苏期末）如图，D、E分别在△ABC的边BC、AC上，，AD与BE交于点O，已知△ABC的面积为12，则△ABO的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C.【解析】解：连接OC，∵，，∴S△ACD=S△BCE=4，又∵S△ACD－S四边形ODCE=S△BCE-S四边形ODCE，即S△AOE=S△BOD，又AE:CE=DB:CD=2：1，∴S△OCE=S△OCD，∴S△ODC=1，∴S△AOE=S△BOD=2∴S△ABO=S△ABC－S△ADC－S△BOD=6故答案为：C．例4-3.（2021·重庆期末）如图，D，E分别是△ABC边BC，AB边上的中点，F是AD上一点且3AF＝FD，若阴影部分的面积为9，则△ABC的面积是（）A．16 B． C．8 D．12【答案】A.【解析】解：设△ABC的面积为S，∵D是△ABC边BC边上的中点，∴△ADC和△ADB的面积为，∵E是△ABC边AB边上的中点，∴△ADE的面积为，∵3AF=FD，即AD=4AF，∴△FDC的面积为，△EDF的面积为，∵阴影部分的面积为9，∴，∴，故答案为：A．例4-4．（2021·山东济南期中）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝3BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝8，则S1﹣S2的值为___．【答案】2.【解析】解：∵S△ABC＝8，AD＝3BD，BE＝CE，∴，∴，，∴S1﹣S2＝S△ABE﹣S△CBD＝4﹣2＝2，故答案为：2．例4-5．（2021·四川达州期末）在中，已知点为边的中点，，，且，则图中阴影部分的面积是_______________________．【答案】12.【解析】解：∵2CE=3DE，∴2CD=5DE∴S△ABE=S△ABC=36又AF=2EF，∴S△BEF=S△ABE=12故答案为：12．【变式4-1】（2021·重庆期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：连接BF和CD，设S△ABC=x∵AF=AC，∴S△ABC=S△ABF=x，S△BCF=2x，∵CE=3CB，∴BE=4BC，∴S△EBD=4S△CBD=4×2x=8x，S△BEF=4S△BCF=4×2x=8x同理可得：S△FBD=2S△ABF=2x，∴S△DEF=S△BEF+S△BED+S△FBD=8x+8x+2x=18x=36，解得，x=2∴S△ABC=2故答案为：A．【变式4-2】（2021·江苏常州期末）如图，在中，是中点，是边上一点，且，与交于点，连接．若的面积是4，则的面积是__________．【答案】30.【解析】解：∵D为AB中点，∴S△ACD=S△BCD，S△AFD=S△BFD，∴S△ACF=S△BCF，∵BE＝4EC，S△BEF=4，∴，S△ABC=5S△ACE，∴S△BCF=5=S△ACF，∴S△ACE=6，∴S△ABC=5S△ACE=30．故答案为：30．【变式4-3】（2021·陕西渭南期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AC上且EC＝2AE，线段AD与线段BE交于点F，若△ABC的面积为6，则四边形EFDC的面积为________．【答案】.【解析】解：连接CF，∵CE=2AE，△ABC的面积为6，∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，∵AD是BC边上的中线，∴，，设S△AEF=S，则S△CEF=2S，∴S△ABF=2﹣S，则S△BCF=4﹣2S，设S△ABF=x=2-S，则S△BDF=S△CDF=3-x，∵AD是BC边上的中线，∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，即3=3-x+3S，即x=3S，∴，∴，∴S四边形EFDC=．故答案为：．【知识点5：三角形的角平分线】例5-1．（2021·福建期末）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______．【答案】90°.例5-2．（2021·江苏）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为___________．【答案】14°.【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案为14°．【变式5-1】（2021·四川）如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，则∠DAE＝___．【答案】25°.【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=35°．又∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∵在△ABE中∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=25°，故答案为：25°．【知识点6：三角形的稳定性】例6-1．（2021·黑龙江哈尔滨期末）工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是___________．【答案】三角形具有稳定性.【变式6-1】（2021·浙江）下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条【答案】3.【解析】解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．故利用了三角形稳定性的有3个．故答案为：3．【知识点7：数学思想】例7-1.根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是()

A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【答案】C.【解析】图（1）中，三角形的个数是6×2,图（2）中，三角形的个数是6×3,图（3）中，三角形的个数是6×4,第n个图形中三角形的个数是6（n+1），故答案为：C．【变式7-1】（2021·重庆南开中学月考）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（）A．55 B．78 C．96 D．105【答案】B.【解析】解：第①个图形中有1+2=3个三角形；第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形；第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形；…第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个，故答案为：B．例7-2．（2021·四川月考）已知等腰三角形两边的长为a，b，且满足|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．则这个等腰三角形的周长为___．【答案】13或14．【解析】解：∵|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．∴a﹣4＝0，b﹣5＝0，解得a＝4，b＝5，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、5，∵4+4＝8＞5，∴能组成三