高等教育数学：数学期望例题解析

00数学期望一射手进行打靶练习，规定射入区域e(图4-1)得2分，射人区域e得1分，脱靶,21即射人区域e，得O分，射手一次射击得分数X是一个随机变量.设X的分布律为0P{X=k}=p，k=0，1，2．k现在射击N次,其中得0分的有a0次，得1分的有ai次，得2分的有a2次，ao+3+a2=N•他射击N次得分的总和为a0xo+aixi+a2X2•于是平均一次射击的得分数为kaNk=0这里，a/N是事件｛X=k｝的频率.在第五章将会讲到，当N很大时，a/N在kk定意义下接近于事件｛X=k｝的概率p量，就是说，在试验次数很大时，随机变量kX的观察值的算术平均为ka/N在一定意义下接近于为kp，我们称工kp为kkkk=0k=0k=0随机变量X的数学期望或均值.一般，有以下的定义，定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k=0,1，若级数艺xpkkk=1绝对收敛，则称级数另xp的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即kkk=1(1.1)E(X)=另xkpk(1.1)k=1设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分J®xf(x)dx-g绝对收敛，则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).E(X)=Jgxf(x)dx(1.2)E(X)=Jgxf(x)dx(1.2)-g数学期望简称期望，又称为均值．数学期望玖X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称玖X)是这一分布的数学期望．例l某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X是一个随机变量.据以往的资料表明X的分布律为X012345678910pk0.0020.0010.0020.0050.020.040.180.370.250.120.01试求X的数学期望E(X).解E(X)=0X0.002+1X0.001+2X0.002+3X0.005+4X0.02+5x0.04+6x0.18+7x0.37+8x0.25+9x0.12+10x0.01=7.15(分)这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7.15分，1000个新生儿共得分约7150分．例2有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命(以小时计)X((k=l,2)服从同k一指数分布，其概率密度为”1—e-x0,x>0,9f(x)=<0>0.0,x<0,若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命(以小时计)N的数学期望．解X((k=l，2)的分布函数为k1-e-x0,x>0,F(x)=<0,x<0.0,x>0,x<0,由第三章§5的(5.12)式N=min{X10,x>0,x<0,F(x)二1-1-F(x)l=<min因而N的概率密度为x>0,min0,x<0.0,于是N的数学期望为E(X)=(8xf(x)dx=「2xe-2x9dx=.-8min092例3按规定，某车站每天8：00〜9：00,9：00〜10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立．其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望．到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率132666解设旅客的候车时间为X(以分计).X的分布律为X103050709032111312p———x——x——x—k66666666在上表中，例如13P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=x,66其中A为事件“第一班车在8：10到站'，B为“第二班车在9：30到站”候车时间的数学期望为TOC\o"1-5"\h\z32132玖X)=10X+30X+50X+70X+90X66363636=27.22(分)．例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X(以年计)，规定：XW1,—台付款1500元；1VXW2,—台付款2000元；2vXW3,—台付款2500元；X>3,一台付款3000元.设寿命X服从指数分布，概率密度为f1.0—e-x10,x>0,10f(x)=<0,x<0.试求该商店一台这种家用电器收费Y的数学期望.解先求出寿命X落在各个时间区间的概率.即有P{xW1}=-x10dx=1-e-o.i=0.0952,P{1vXW2}=J210e-xiodx=e-o」-e-o.2=0.0861,P{2vXW3}=f310e-x10dx=e-02-e-o.3=0.0779,

Y1500200025003000Pk0.09520.08610.07790.7403台家用电器收费Y的分布律为得E(Y)=2732.15，即平均一台收费2732.15元．例5在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方P{x>3}」=e-0.3=0.7408.€-x10dx10法进行.(i)将每个人的血分别去验，这就需验N次.(ii)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这是个人的血液分别进行化验．这样，k个人的血总共要化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为pP{x>3}」=e-0.3=0.7408.€-x10dx10解各人的血呈阴性反应的概率为q=l-p.因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk，k个人的混合血呈阳性反应的概率为l-qk.设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为X,则X是一个随机变量，其分布律为Xkk+1kPqk1-qkkX的数学期望为TOC\o"1-5"\h\z111E(x)=qk+(1+)(1-qk)=1-qk+.kkkN个人平均需化验的次数为1N(1-qk+).k由此可知，只要选择k使11-qk+<1，k则N个人平均需化验的次数VN.当p固定时，我们选取k使得1L=1-qk+k小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法.例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时，L=1-qk+1取到最小值.此时得到最好的分组方k法.若N=1000,此时以k=4分组，则按第二种方法平均只需化验1000(1-0.94+4)=594(次).这样平均来说，可以减少40%的工作量.例6设X〜兀(九)，求E(X).解X的分布律为

用=小字,k=。」2。・X的数学期望为E(x)=ke—E(x)=ke—九k!k=0L九k-1=九e-尢乙q_1^=k=1即E(X)=九.例7设X〜U(a,b),求E(X).解X的概率密度为a<x<b其他.a<x<b其他.b一a'0,f(x)=<0,X的数学期望为E(x)=(8xf(x)dx=ja-dx=a+b.-8bb一a2即数学期望位于区间(a,b)的中点.我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，倒如飞机机翼受到压力W=kV2(V是风速，k>0是常数)的作用，需要求W的数学期望，这里W是随机变量V的函数.这时,可以通过下面的定理来求W的数学期望.定理设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数).如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=x}=p,k=0,1,2,…,若艺g(x)pkkkkk=1绝对收敛,则有E(Y)=E[g(X)]=另g(x)p.(1.3)kkk=1如果X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若J8g(x)f(x)dx绝对收敛，一8则有E(Y)=E[g(X)]=J8g(x)f(x)dx(1.4)一8定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了,定理的证明超出了本书的范围.我们只对下述特殊情况加以证明.

证设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件.由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量y=g(X)的概率密度为flh(y)]h'(y)1，a<x<p，xf(y)=<Y0,其他.于是E(Y)=J*8yf(y)dy=jpyflh(y)]h'(y)dy..-8Yax当h'(y)恒>0时E(Y)=jpyf[h(y)]h'(y)dy=j8g(x)f(x)dx.ax—8当h'(y)恒<0时E(Y)=－jpyf[h(y)]h'(y)dyax=－j-8g(x)f(x)dx=j8g(x)f(x)dx.8—8综合上两式，(1.4)式得证．上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况．例如，设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(g是连续函数)，那么，Z是一个一维随机变量•若二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则有E(Y)=E[g(X,Y)]=卜卜g(x,y)f(x,y)dxdy,(1.5)这里设上式右边的积分绝对收敛.又若(X，Y)为离散型随机变量，其分布律为P{X=x,Y=y)=p,i,j=l,2,..,则有iiijE(Z)=E[g(X,Y)E(Z)=E[g(X,Y)]=无艺j=1i=1g(x,y)p，ijij(1.6)即具有概率密度即具有概率密度0<u<a,其他.这里设上式右边的级数绝对收敛.例8设风速V在(0,a)上服从均匀分布,

a，f2)=<0,又设飞机机翼受到的正压力w是V的函数：W=kV2(k>0,常数)，求w的数学期望.解由(1.4)式有E(W)=jsku2f(u)du=jaku2—du=-ka2.—80a3例9设随机变量(X,Y)的概率密度32x332x3y2f(x,y)=<0,1—<y<x,x>x其他.1,求数学期望E(Y),E求数学期望E(Y),E(丄).XY解由(1.5)式得E(Y)=JsJsyf(x,y)dydxJ”—g—s1xdydx2x3y=3Js丄tlnyldx=3Js^dx21x3丄1x3x3Inx3Inx2x2ss+—J2i1E)=JsJs—f(x,y)dydx=JsdxJx3dy=3.XY—s—sxyi丄2x4y35x例10某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失.再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布,其概率密度为~1—e-y9,y>0,0f(y)=\0>0,Y0,y<0.Y<x,Y>x.问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品(m,n，0均为已知)？解设生产xY<x,Y>x.q=q(x)=r—n(x-y),

Imx,Q是随机变量，它是Y的函数，其数学期望为E(Q)=JsQf(y)dy0Y=JxImy9dy00+Jsmx丄e-y0dyx0=(m+n)0—(m+n)0e-x0—nx.

—E(Q)=(m+n)e-x0-n=0dxx=-0Ind2d2E(Q)=-(m+")e-x0<0,0n故知当x=-0In时玖Q)取极大值，且可知这也是最大值.m+n1e10000,y>0,10000例如，若f(y)=<Y0,y<0,且有m=500元，n=2000元，则x=-10000Inx=-10000In2000500+2000=2231.4.取x=2231件.例11某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜.若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人.可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7〜11千美元之间均匀分布.问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大(若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下).解设X,X,X是其他三人的报价，按题意X,X,X相互独立，且在区间(7,11)123123上服从均匀分布，其分布函数为0,u<7,u-7F(u)J,7<u<11,41,u>11.以Y记三人最大出价，即Y=max{X1，X2，X3}.y的分布函数为F(u)=<Y0,(u-7Y<丁F(u)=<Y0,(u-7Y<丁)1,7<u<11,u>11.若甲的报价为x,按题意7WxW10，知甲能赢得这一项目的概率为p=P&p=P&<x}=F(x)=Y(7WxW10).—g—g—g—g—g以G(x)记甲的赚钱数，G(x)足一个随机变量，它的分布律为G(x)10-x0概率1x—7丫1-1x—7丫:4丿:4丿于是甲赚钱数的数学期望为得x=37/4,x=7(舍去).又知也Edx2又知也Edx2x=x37/4<0．故知当甲的报价为x=37/4千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．现在来证明数学期望的几个重要性质①(以下设所遇到的随机变量的数学期望存在).1。设C是常数，则有玖C)=C.2。设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).3。设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)十E(Y).这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况.4。设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y).这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况证1。、2。由读者自己证明.我们来证3。和4。.①这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)•其边缘概率密度为匚(x)，f(y)•由(1.5)式E(X+Y)=JgJg(x+y)f(x,y)dxdy—g—g=JgJgxf(x,y)dxdy+JgJgyf(x,y)dxdy

3。得证.E(X)十3。得证.E(X)十E(Y).又若X和Y相互独立,E(XY)=J®卜xyf(x,y)dxdy=J®J®xyf(x)f(y)dxdy一8XY=卜xf(x)dxjf8yf(y)dy=E(X)E(Y).—