数学课程导学第七章第一节

第七章立体几何第一节

空间几何体的结构及其三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．要点梳理·基础落实考纲点击一、空间几何体的结构特征知识扫描平行全等公共顶点平行于底面相似二、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用__________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中________________．斜二测45°或135°垂直平行于坐标轴不变变为原来的一半三、三视图几何体的三视图包括____________、___________、________，分别是从几何体的__________、________、_________观察几何体画出的轮廓线．[辨析]空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？提示三视图是从三个不同的方向观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形．正(主)视图侧(左)视图俯视图正前方正左方正上方1．以下命题正确的是A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台小题热身解析若直角三角形绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体不是圆锥，故A错；若两平行截面不与圆柱的母线垂直，则不是圆柱，故B错；对于D，若用不平行底面的平面去截三棱锥，剩余的部分不是棱台，D错，故选C.答案C2．无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是A．正方体B．长方体C．圆锥D．球解析长方体与圆锥的三视图一般不可能完全相同，旋转正方体，会发现其正视图也会发生变化，故其三视图不可能完全相同，只有球无论从哪个方向看总是圆面，故选D.答案D3．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．解析①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．答案①②④4．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对解析从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．答案A5．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为______，______．解析由三视图的画法可知，该三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，即底面边长为4.答案2

4下列结论中正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线考点突破·规律总结考点一空间几何体的结构特征例1【解析】

A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．【答案】D[规律方法]

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)利用反例对结构特征进行辨析，即要说明某个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．◎变式训练解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案①④空间几何体的三视图是高考命题的热点，主要考查考生的空间想象能力，多以选择、填空题的形式出现，常见类型有已知几何体判断三视图；已知几何体的三视图还原为直观图，或已知部分三视图识别另外的视图、三视图的计算．考向一根据几何体的直观图识别三视图1．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为考点二（多维探究）空间几何体的三视图解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的投影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案B考向二根据几何体的三视图还原直观图2．(2014·烟台模拟)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为A．1

B．2

C．3

D．4解析由该几何体的三视图可得其直观图如图所示，其中，AD⊥平面BCD，且三角形BCD是以∠BDC为直角的直角三角形，则直角三角形的个数为4.答案D考向三根据几何体三视图中的两个视图识别第三个视图3．(2014·马鞍山模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且它的体积为，则该几何体的俯视图可以是考向四三视图中的计算4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为答案B答案B[规律方法]

几何体三视图的题目类型及解法重点类型解决方法根据几何体的直观图识别三视图选择三视图要进行空间想象或以正方体、长方体为模型进行三视图的试画，要注意实虚线的区别．由三视图还原直观图首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉；其次，明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．根据几何体三视图中的两个视图识别第三个视图根据已有的两个视图判断出几何体的可能的不同形状，就可以在已有视图的基础上画出第三个视图．三视图中的计算问题要由三视图还原几何体，且注意三视图符合“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点.考点三几何体的直观图例3【解析】

如图所示，等