湖南省邵阳市城关中学高三数学文期末试题含解析

湖南省邵阳市城关中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的虚部是（

）A．1

B．-1

C．

D．参考答案：B试题分析：因为，所以虚部为-1.考点：复数运算.2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．3.已知集合则A． B． C． D．参考答案：C4.已知，且，则的值为A．

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知，则“函数在上单调递增”是“数列是递增数列”的充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件（

）参考答案：A6.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7.在区间内随机取出一个实数，则的概率为（

）A．0.5

B．0.3

C．0.2

D．0.1参考答案：D【知识点】几何概型K3解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以的概率为，则选D.【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.8.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为(

)A. B. C. D.参考答案：C如图所示，该几何体为长宽高为的长方体中的三棱锥，结合三棱锥的几何特征可知，取的中点，则球心位置为的中点，半径为：，此三棱锥的外接球的体积为.本题选择C选项.

9.设，则＝()A．

B．

C.

D.参考答案：A10.在等差数列中，，其前项的和为．若，则A．

B．

C．

D．.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果实数满足条件，则的最大值为_________．参考答案：考点：简单线性规划．12.已知圆内有一点P(2,1)经过点P的直线l与圆C交于A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为参考答案：y=x－1本题考查直线与圆的位置关系.圆,弦被平分,故,由得即,所以直线方程为.13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是

，四个面的面积中最大的是

．参考答案：试题分析:题设中提供的三视图的图形信息和数据信息可知该三棱锥的高是,底面是底为,高为的三角形,故其体积,其中面积最大是底为,斜高,其面积.故应填答案.考点：三视图的理解和识读．14.数列{an}满足，则{an}的前40项和为．参考答案：420略15.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|2a－b|的值为

▲

．参考答案：2因为，，与的夹角为60°，所以，故，故答案为2.

16.设a=lg2，b=20.5，c=cosπ，则a，b，c按由小到大的顺序是

．参考答案：c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=lg2∈（0，1），b=20.5＞1，＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是．参考答案：（1，3）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数是奇函数，且在（0，+∞）单调递增，得到函数在R上单调递增，利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递增，∴由，得，∴∴1＜a＜3，∴a的取值范围是（1，3），故答案为（1，3）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设矩形场地的宽为am，然后求出y的表达式，注明x＞0．（2）利用基本不等式直接求出费用的最小值即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设矩形场地的宽为am，则y=45x+180（x﹣2）+180×2a=225x+360a﹣360，…∵ax=360∴a=，…∴y=225x+，x＞0；…（2）∵x＞0∴y=225x+≥2﹣360=10440

…当且仅当225x=，即x=24时，等号成立．…当x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．∵1080＜1566，…∴当x=24m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．…【点评】本题考查函数的综合应用，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且（I）求角C的大小；（II）若的面积，求的值.参考答案：20.设函数f(x)＝xex+a(1-ex)+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在零点，证明：a＞2．参考答案：（1）解：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，因为f(x)＝xex+a(1-ex)+1，所以f′(x)＝(x+1-a)ex．所以当x＞a-1时，f′(x)＞0，f(x)在(a-1，+∞)上是增函数；当x＜a-1时，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，a-1)上是减函数．所以f(x)在(a-1，+∞)上是增函数，在(-∞，a-1)上是减函数．（2）证明：由题意可得，当x＞0时，f(x)＝0有解，即有解．令，则．设函数h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增．又h(1)＝e-3＜0，h(2)＝e2-4＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．设此零点为k，则k∈(1，2)．当x∈(0，k)时，g′(x)＜0；当x∈(k，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(k)．又由g′(k)＝0，可得ek＝k+2，所以，因为a＝g(x)在(0，+∞)上有解，所以a≥g(k)＞2，即a＞2．

21.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

参考答案