数列单元测试卷-含答案

。数列单元测试卷注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷对应位置.第Ⅰ卷(选择题)选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于()A．2nB．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1。2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)3．．记等差数列的前n项和为Sn，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.()￥A．2C．6D．74．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为()A．49C．51D．525．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是()A．90C．145 D．190…6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5A．1C．4D．87．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么有关x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根 B.有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))是等差数列，则a11等于()：A．0\f(1,2)\f(2,3)D．－19．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一种新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的()A．第5项B.第12项C．第13项 D．第6项10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则aA．1033034C．2057 D．2058《11.设为等差数列的前项和，且．记，其中表达不超过的最大整数，如，.则b11的值为（）C.约等于112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，由于这些数目的点可以排成一种正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是()A．27C．29D．30<第II卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则前8项的和S8＝________(用数字作答)．14．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________.!15．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.则{an}的通项公式an=________16．在等差数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：①此数列的公差d＜0；②S9一定不不小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大项．#其中对的的命题是________．(填入所有对的命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字阐明、证明过程或演算环节）17．(12分)(1)(全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求Sn(2)已知{bn}是各项都是正数的等比数列，若b1＝1，且b2，eq\f(1,2)b3,2b1成等差数列，求数列{bn}的通项公式．`18．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.19.(12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;`(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前10项和.20．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.(1)求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．、21．（12分）（全国卷）设数列满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.,22．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(2n＋1an,an＋2n)(n∈N*)．(1)证明：数列{eq\f(2n,an)}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式an；{(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于()—A．2nB．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1解析：选B由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，因此通项公式是an＝2n＋1，故选B.2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)《解析：选CA为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为Sn，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.()A．2C．6D．7解析：选BS4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.【4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为()A．49C．51D．52解析：选D∵2an＋1－2an＝1，∴an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴数列{an}是首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列，∴a101＝2＋eq\f(1,2)(101－1)＝52.5．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是()…A．90C．145 D．190解析：选B设公差为d，∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∵d≠0,∴d＝2，从而S10＝100.6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5A．1C．4D．8！解析：选A由于a3a11＝aeq\o\al(2,7)，又数列{an}的各项都是正数，因此解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.7．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么有关x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根 B.有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根解析：选A由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．}8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))是等差数列，则a11等于()A．0\f(1,2)\f(2,3)D．－1解析：选B设数列{bn}的通项bn＝eq\f(1,1＋an)，因{bn}为等差数列，b3＝eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，b7＝eq\f(1,1＋a7)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(b7－b3,4)＝eq\f(1,24)，∴b11＝b3＋(11－3)d＝eq\f(1,3)＋8×eq\f(1,24)＝eq\f(2,3)，即得1＋a11＝eq\f(3,2)，a11＝eq\f(1,2).9．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一种新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的()A．第5项B.第12项C．第13项 D．第6项%解析：选C162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

aA．1033034C．2057 D．2058解析：选A由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，于是abn＝bn＋1，因此

a(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10…＝eq\f(1－210,1－2)＋10＝1033.11.设为等差数列的前项和，且．记，其中表达不超过的最大整数，如，.则b11的值为（）C.约等于1解析：设的公差为，据已知有1×，解得因此的通项公式为b11=[lg11]=1—12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，由于这些数目的点可以排成一种正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是()A．27C．29D．30解析：选B法一：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.法二：由图可知第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)，~∴a7＝eq\f(7×8,2)＝28.二、填空题(共4小题，每题5分，共20分)13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则前8项的和S8＝________(用数字作答)．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(1·1－28,1－2)＝255.答案：25514．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________.|解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n.则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.答案：1515．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.则{an}的通项公式an=________[解]∵Sn＝－2n2＋n＋2，'当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－4n＋3，n≥2.))!16．在等差数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：①此数列的公差d＜0；②S9一定不不小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大项．其中对的的命题是________．(填入所有对的命题的序号)解析：∵S7＞S6，即S6＜S6＋a7，}∴a7＞0.同理可知a8＜0.∴d＝a8－a7＜0.又∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8∴S9＜S6.∵数列{an}为递减数列，且a7＞0，a8＜0，∴可知S7为Sn中的最大项．答案：①②④·三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分)(1)(全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求Sn(2)已知{bn}是各项都是正数的等比数列，若b1＝1，且b2，eq\f(1,2)b3,2b1成等差数列，求数列{bn}的通项公式．解:(1)设等差数列首项为a1,公差为d,则a4+a5=2a1+7d=24,①S6=6a1+6×52d=6a由①②得d==-2SN=-2n+n(n-1)×4/2=2n2-4n.(2)由题意可设公比为q，则q＞0，由b1＝1，且b2，eq\f(1,2)b3,2b1成等差数列得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去)，故数列{bn}的通项公式为bn＝1×2n－1＝2n－1.18．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，、(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))!从bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，因此数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.19.(12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前10项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,：则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得3解得a1=2因此由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.~故|an|=|3n-7|=-记数列{|an|}的前n项和为Sn.S10=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+……+|a10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7)=5+[2×8+8×7×3/2]=10520．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.—(1)求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n①，∴a1＋S1＝1，得a1＝eq\f(1,2).又an＋1＋Sn＋1＝n＋1②，①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，即eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2)，也即eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(1,2)，故数列{cn}是等比数列．\(2)∵c1＝a1－1＝－eq\f(1,2)，∴cn＝－eq\f(1,2n)，an＝cn＋1＝1－eq\f(1,2n)，an－1＝1－eq\f(1,2n－1).故当n≥2时，bn＝an－an－1＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,2n).又b1＝a1＝eq\f