行政管理课件-经济预测数量方法

经济预测数量方法管理的核心是决策，而正确合理的决策有时需要预测。在一个经济系统中，经济发展状况体现在一些经济指标上，特别是在研究发展战略与规划当中，要制订远景发展目标，目标的确定以及能否实现，需要对目标相关的经济指标进行预测。1经济预测概述预测是对未知事件的估计或表述。预测技术是运用科学的判断方法和数量方法，对某种事物未来可能的演变，事先做出推测的一种技术。预测技术应该包括它所遵循的理论、预测对象的历史和现时资料与数据、所能采用的数量方法或者分析判断方法以及预测方法及其结果的评价与检验等要素。2预测技术所遵循的理论包括两方面：一是预测对象这个事物本身所处学科领域的理论，用以辩识事物发展的客观规律，指导预测方法的选择和结果的评价；二是预测方法本身的理论，主要是数学的、统计学的一些有关理论。经济预测，是在有关的宏观或微观经济学理论指导下，以经济发展的历史和现状为出发点，以调查研究和统计的资料和数据为依据，以科学的定性分析判断和严谨的定量计算以及计算机技术为手段，对预测对象有关的经济活动的发展演变规律进行分析和揭示，从而对预测对象的未来发展演变状态预先做出科学的推测。3经济预测具有下述重要意义。（1）经济预测是制订经济发展战略的依据之一。（2）经济预测是提高经济效益的手段之一。（3）经济预测是提高管理水平、改善计划统计工作的途径之一。4经济预测的分类，从不同的角度考虑，大体有以下三种分类：（1）定性预测与定量预测。（2）短期、中期、长期预测。（3）微观预测、部门与地区预测、宏观预测。按照经济预测的范围，经济预测可分为微观预测、部门与地区预测和宏观预测。5定量预测的步骤预测的步骤，因预测方法不同而有所差异。定量预测方法大体可分为以下步骤：（1）明确预测目的。（2）收集和整理资料数据。6（3）建立预测模型。根据经济理论和数学方法以及所选的预测方法，分别建立预测数学模型，以便真实表达有关经济变量之间的数量关系。必要时对数据样本进行处理，以符合模型本身的要求。（4）模型参数估计。按照各自模型的性质和数据样本，采用数学方法，对模型中的参数进行估计，最终识别和确认所选用的具体数学模型。7（5）模型检验。模型检验是对上一步建立的具体的数学模型进行合理性检验。所谓合理性检验包括：模型参数的数理统计的合理性；预测模型预测计算的相应值的离差；模型的修正，当检验后发现模型不合理时，有必要对模型加以修正。8（6）预测与结果分析。运用合理的检验过的模型使用有关数据进行对未来的预测，并对预测结果进一步从经济活动及其有关经济理论做出经济合理性分析；此外，必要时还应对不同方法模型同时预测所得的结果加以分析对比，做出可信度的判断，或者根据各个不同的预测结果做出综合预测结果。9Delphi法Delphi法是一种专家调查法。此法的特点是：（1）匿名性。采用匿名函询方式，参加预测的专家互不了解，免除心理因素影响；专家可以修改上一轮自己的意见，无损威信。（2）轮间反馈性。发函征询意见至少要经过两轮，预测当事人应将上一轮每个专家的意见进行汇总统计，将其作为反馈信息，在下一轮函询时告知各位专家参考。（3）预测结果的统计特性。为了提高预测结果的科学性，对预测结果应做出统计分析。10Delphi法实施要点如下：1．确定预测主题，编制预测事件一览表预测事件表有如下几种：（1）预测某事件实现的时间。表中应罗列各个事件的实现时间及其实现的不同概率（一般取10%，50%，90%）。专家只须根据自己的判断，分别填上不同概率的实现时间。11（2）预测事件的相对结构比重。表中应罗列预测事件的结构成分及其可能的结构比率数。专家只须对位打“√”（表示赞成）。（3）选择性预测。表中应罗列预测事件的各种可能选择的方案或意见，专家只须对位打“√”（表示赞成）。（4）排序性预测。这是对一系列事件希望做出优先排序的预测，表中应罗列这一系列事件，专家只须分别填写其序号。（5）简明询问。这种表形式不一，但应尽量使专家便于回答。122．选择专家选择专家在Delphi法中显得相当重要，因为预测最终结果来自专家。因此，应该注意：所选择的专家应与预测主题的学科领域相关，且领域面要广泛一些；所选专家在各领域中应有一定的代表性和知名度；不仅应有本部门的专家，且应有一定数量的外部门的专家。133．实施步骤从上述本方法的特点可知，应向专家进行多轮次的函询；轮次数不同，则各步骤的内容有所不同。轮数愈多，工作愈繁，不一定结果愈好；现今一般采用三轮，以下按三轮阐述其实施步骤。第一轮。预测当事人将研究确定的预测主题及其相应的预测事件表发给专家，请其在一定期限内应答寄回。14第二轮。将第一轮表的统计结果和第二轮表（有时两者合并为一）发给专家。这时专家位将根据函询表要求，进一步做出预测并阐明自己的理由、意见，其中包含对上一轮自己判断的修正、或者坚持的理由，甚至对第一轮统计结果的质疑。第三轮。将第二轮初步所得综合预测结果制定第三轮函询表或文件，发给专家，请其对它们提出评价并阐明意见和理由，寄回。最后，预测当事人收到第三轮专家回答材料后，通过整理统计，可以获得较为收敛的预测结果。154．应答结果的处理与统计16马尔可夫过程分析方法马尔可夫过程（MarkovProcess）分析方法是研究系统在随机条件下，由一个状态向另一个状态转移的变化情况（通常以所处状态的概率表示），并进而研究使系统处于最优状态和获得最优决策的数学方法。马尔可夫过程分析方法在企业的生产和经营管理决策中（如市场销售预测、产品经营决策和生产存储管理、设备维修组织等方面）都可以有广泛和实际的运用。17一、转移概率矩阵马尔可夫过程分析方法的理论基础是状态转移的无后效性，即系统在某一阶段由一个状态转移到任一种状态，不影响下一阶段，由此种状态再转移到任一种状态的发展和变化。在一般情况下，通过统计、调查和观察、预测等手段，系统的状态转移概率都是可以确定的。下面通过一个例子来观察一下状态转移和状态转移概率变化的特点。18假设市场上需要某种机器设备，这种机器有甲、乙、丙三家工厂生产和供应，已知去年和今年的销售量变动情况如表9-1所示。表9-1上年和今年机器销售量变动表19假定这种变化完全是随机的，作为工厂企业的管理者就需要从市场销售变化中，掌握销售变化的规律和趋势。例如，对甲厂来说，机器的销售量是否会一直按照30%的增长率增长下去？对于乙厂和丙厂来说，机器的销售量是否会一直按照20%的减少率减少下去？应该怎样采取策略措施，使本厂的销售量能有所提高？这些都是企业管理者所应该关心的问题。20为了对今后机器销售变化趋势作出正确的预测，可以通过统计分析对去年和今年销售量的变动情况作进一步分析，从而得到今年销售量变动的具体数据，如表9-2所示。表9-2上年和今年机器销售量的具体变动21表9-2说明，上年购买甲厂机器的，今年仍买甲厂的有160台，改买乙厂和丙厂的各有120台；上年购买乙厂机器的，今年仍买乙厂的有90台，改买甲厂和丙厂的分别为180台和30台；上年购买丙厂机器的，今年仍买丙厂的有90台，改买甲厂和乙厂的分别为180台和30台。上年甲、乙、丙三厂机器的市场占有率分别为40%、30%和30%；今年甲、乙、丙三厂机器的市场占有率分别改变为52%、24%和24%。221．一步（期）转移概率矩阵从表9-2还可以进一步看出，各厂市场占有率的具体变化情况，即：（1）原购甲厂机器，现仍购甲厂机器的概率为：

（2）原购乙厂机器，现改购甲厂机器的概率为：

（3）原购丙厂机器，现改购甲厂机器的概率为：23

类似地可以得到：（4）原购甲厂机器，现改购乙厂机器的概率为：

（5）原购乙厂机器，现仍购乙厂机器的概率为：

（6）原购丙厂机器，现改购乙厂机器的概率为：

24（7）原购甲厂机器，现改购丙厂机器的概率为：

（8）原购乙厂机器，现改购丙厂机器的概率为：

（9）原购丙厂机器，现仍购丙厂机器的概率为：25以上各项状态转换概率称为转移概率。为使这种订购各厂机器的相互转换关系更加清晰明了，可用矩阵形式表示如下：

甲

乙

丙26这种矩阵称为随机转移概率矩阵。对于一般情况，经过一步（期）转移后的转移概率矩阵可表示如下：（9-1）式中：——表示从状态i转移到状态j的概率（通常i=j，即为等阶方阵）。27如上例，，即有三种状态，则：式中：——表示原购i厂机器，现购j厂机器的转移概率。282．多步（期）转移概率矩阵如果经过长期观察，这种转换过程确实是随机的，那么，这样的转移概率矩阵可以长期保持不变，即以后各期的概率转换情况，都可以用这个转移概率矩阵来描述，除非某一时期有某种特殊因素的影响或特殊情况发生，需要重新调整、统计和分析，得到新的转移概率矩阵。29例如，经过二步转移后的转移概率矩阵可表示如下：当i=j=3时,30例1已知今年甲、乙、丙三厂机器销售的市场占有率的转移概率（即一步转移概率）如下：如果这种转移过程是随机的，试计算明年甲、乙、丙三厂机器销售的市场占有率的转移概率。31解:由今年的转移概率求明年的转移概率，可应用二步转移概率矩阵公式计算如下：32更进一步，如果这种转移过程仍是随机的，那么，当一步转移后的转移概率给定后，经过n步转移后的转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵的n次幂求得，即：（9-2）33例2已知今年甲、乙、丙三厂机器销售是市场占有率的转移概率矩阵（同例1），如果这种转移过程是随机的，试计算后年甲、乙、丙三厂机器销售的市场占有率的转移概率。34解:由今年的转移概率求后年的转移概率，为三步转移，用多步转移概率矩阵公式计算如下：35上述的转移概率矩阵有以下两个特点：（1）矩阵中的所有元素（），都是小于1的非负元素，即：（2）矩阵中各行元素之和均为1，即：36例如，对于有：（1），（；）；37（2），（），即：，，，对于n步转移后的转移概率矩阵也同样适用。以上两个特点，可以用来检查转移概率矩阵经过多步转移后计算结果的正确性。383．对未来概率的预测利用转移概率矩阵可以计算未来各期的概率变化情况：（1）一步（期）转移后的概率（9-3）式中：——

一步转移后的概率；

——

初始状态的概率；

——

转移概率矩阵。39（2）多步转移后的概率（9-4）

以上转移后的概率计算公式应用于企业管理，可以为预测今后生产和经营的发展趋势提供决策的依据。40例3已知上年甲、乙、丙三厂生产某种机器的市场占有率（初始占有率）分别为0.40、0.30和0.30；今年三厂的市场占有率分别为0.52、0.24和0.24。通过调查研究，知道三厂生产的机器市场占有率转移矩阵如下：

试预测这三家工厂明年和后年的市场占有率。41（1）明年的市场占有率预测：明年相对于上年是第二步转移，因此，明年各厂的市场占有率为各厂的初始（上年）市场的占有率乘以各厂的市场占有率转移矩阵的2次幂，即：或42式中：——各厂明年的市场占有率；

——各厂的初始（上年）市场占有率；或——各厂的市场占有率转移矩阵。

43结合问题所给的数据，有：44即：由以上计算结果可知，明年三厂的市场占有率分别为49.6%、25.2%和25.2%。45（2）后年的市场占有率预测：后年相对于上年是三步转移，因此：或46结合问题所给的数据，有：47即：由以上计算结果可知，后年三厂的市场占有率分别为50%、25%和25%。由于已有明年（二步）的市场占有率预测数据，所以后年（三步）的市场占有率也可以直接以明年（二步）的市场占有率（而不必以初始市场占有率）为基础，乘以市场占有率转移矩阵得到。48二、平衡状态及其转移概率矩阵1．平衡状态及其概率由公式9-4可知第n期转移后的市场占有率为：49现结合例3所给初始市场占有率和市场占有率转移矩阵，算出各期的市场占有率，列于表9-3中。表9-3各期的市场占有率50由表9-3计算结果可以看出，从第三期起，各厂的市场占有率已经开始趋于稳定，即从这一期以后，每一工厂的产品被市场拒购和订购的数量基本上以至完全相等。这时，市场占有率开始达到平衡状态。以后，各厂市场占有率不再发生变化。平衡状态时的各厂市场占有率，除了可按公式逐步计算得到外，还可按下述原理和方法一次性地、直接地计算出来。51设Pi(b)为达到平衡（b期）时i的概率，则下一期状态（b+1期）时i的概率为：因为，已知状态达到平衡后，概率不再发生变化，即：所以，，（）（9-5）52例4试根据例1所给数据，计算状态平衡时各厂的市场占有率。解:根据例1所给的数据和公式9-5，设状态平衡时，三厂的市场占有率分别为，和，则：53由此可得：（1）（2）（3）54又根据概率的性质，有：（4）根据以上4式，可求得：，，这就是达到平衡状态时三厂的市场占有率，与用公式9-4递推方法得到的结果相同。552．平衡状态时的转移概率矩阵由式2-2第n期的转移概率矩阵计算公式：（；）也可依次递推算出各期的概率矩阵。结合例1所给的数据，可得三厂各期市场占有率的概率转移矩阵如表9-4所示。56表9-4未来各期的概率转移矩阵57由表9-4可知，当转移期到达第3、4和第5期时，转移概率矩阵中各列的数值已接近相等或完全相等，而各行中每列的数值就是甲、乙、丙三厂趋于稳定的市场占有率。设平衡状态的转移概率矩阵为，又按照公式9-4第n期转移后的概率为：（）58当状态达到平衡后，（）结合例1所给数据和表9-4计算结果，有：

所以，

即：

59由于所以，同样，60这说明，平衡状态时的市场占有率就等于平衡状态时的转移概率矩阵中各列的概率。以上计算结果还说明，平衡状态时的概率只与平衡状态时的转移概率矩阵有关，而与初始状态的概率无关，即不论初始状态的概率为多少（如例1中三厂的初始市场占有率分别为0.40、0.30和0.30），最后的概率总是等于平衡状态时的转移概率矩阵中相应各列的概率。61从表9-4可以看出，平衡状态时的转移概率矩阵达到平衡（稳定）的速度快慢（即转移期数的多少）与状态的一期概率矩阵有关。状态一期转移概率矩阵（）中各元素的数值越接近平衡状态的转移概率矩阵中的各列的概率值，则达到平衡状态的速度越快；反之，则较慢，有时需要经过10期、20期或更长期的转移以后才能达到平衡。62灰色预测模型1982年，我国著名学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，与研究“随机不确定性”的概率统计和研究“认知不确定性”的模糊数学不同，灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解，认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述，灰色系统模型对试验观测数据及其分布没有什么特殊的要求和限制，作为一种十分简便、易学好用的新理论，灰色系统理论具有十分宽广的应用领域，并深受各领域研究人员和实际工作者的喜爱。本节介绍灰色系统理论的产生与发展动态以及灰色系统的基本概念和基本原理，既是最具基础性的内容，又可视为全节的导言。63一、灰色系统的概念与基本原理（一）灰色系统理论的产生与发展动态1．灰色系统理论的产生与发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的“Systems&ControlLetters”（系统与控制通讯）期刊上发表了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文“灰色系统的控制问题”（TheControlProblemsofGreySystems），标志着灰色系统理论这一新兴学科经过其创始人邓聚龙教授多年卓有成效的努力，开始问世。这一新理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注。64海内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展科学研究，撰写学位论文；国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。据不完全统计，近年来，SCI（科学引文索引）、EI（工程索引）、ISTP（科技会议索引）以及SA（英国科学文摘）、MR（美国数学评论）、MA（德国数学文摘）等国际权威性探索杂志跟踪、检索我国学者的灰色系统论著500多次（其中邓聚龙教授的论著被检索、摘录100多次）。651985年，国防工业出版社出版了邓聚龙教授的第一部灰色系统专著《灰色系统（社会·经济）》。1985年至1992年，华中理工大学出版社先后出版发行了邓聚龙教授有关灰色系统的六部著作：《灰色控制系统》、《灰色预测与决策》、《灰色系统基本方法》、《多维灰色规划》、《灰色系统理论教程》和《灰数学引论——灰色朦胧集》。1989年，英国科技信息服务中心和万国学术出版社联合创办了国际性刊物“TheJournalofGreySystem”（灰色系统学报），该刊被英国科学文摘（SA）等权威性检索机构列为核心期刊。661985年，全国性的灰色系统研究会宣告成立，会员遍布包括西藏在内的各省、市、区以及港、澳、台地区。目前，湖北、河南、浙江、山西、山东、河北、宁夏、台湾等地成立了灰色系统研究分会或专业性研究组织。灰色系统理论的蓬勃生机和广阔前景正日益广泛地为国际、国内各界所认识、所重视。672．几种不确定性方法的比较概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法。研究对象都具有某种不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。68模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”就是一个模糊概念。因为每一个人都十分清楚年轻人的内涵。但要让你划定一个确切的范围，在这个范围之内的是年轻人，范围之外的都不是年轻人，则很难办到，因为年轻人这个概念外延不明确。对于这类内涵明确、外延不明确的“认知不确定”问题，模糊数学主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。69概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。70灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通过序列生成寻求现实规律。其特点是“少数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明确、内涵不明确”的对象。比如说到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间”就是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要问到底是哪个具体值，则不清楚。71（二）灰色系统的概念与基本原理1．灰色系统的基本概念我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。72灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。在人们的社会、经济活动或科研活动中，会经常遇到信息不完全的情况。如在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为你测不准金融政策、利率政策、企业改革、国际市场变化及某些板块价格波动对其它板块之影响的确切信息。732．灰色系统的基本原理在灰色系统理论创立和发展过程中，邓聚龙教授发现并提炼出灰色系统的基本原理。不难看出，这些基本原理，具有十分深刻的哲学内涵。公理1.2.1（差异信息原理）“差异”是信息，凡信息必有差异。我们说“事物A不同于事物B”，即含有事物A相对于事物B之特殊性的有关信息，客观世界中万事万物之间的“差异”为我们提供了认识世界的基本信息。74公理1.2.2（解的非惟一性原理）信息不完全、不确定的解是非惟一的。“解的非惟一性原理”是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则，他给予你灵活性的法宝，使你处处取得实效。“解的非惟一性原理”在决策上的体现是灰靶思想。灰靶是目标非惟一与目标可约束的统一。比如升学填报志愿，一个认定了“非某校不上”的考生，如果考分不具绝对优势，其愿望就很可能落空。相同条件对于愿意退而求其“次”，多目标、多选择的考生，其升学的机会更多。75公理1.2.3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。“最少信息原理”是“少”与“多”的辨证统一，灰色系统理论的特色是研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题。其立足点是“有限信息空间”，“最少信息”是灰色系统的基本准则。所能获得的信息“量”是判别“灰”与“非灰”的分水岭，充分开发利用已占有的“最少信息”是灰色系统理论解决问题的基本思路。76公理1.2.4（认知根据原理）信息是认知的根据。认知必须以信息为依据，没有信息，无以认知。以完全、确定的信息为根据，可以获得完全确定的认知，以不完全、不确定的信息为依据，只能得到不完全、不确定的灰认知。77公理1.2.5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。“新信息优先原理”是灰色系统理论的信息观，赋予新信息较大的权重可以提高灰色建模、灰色预测、灰色分析、灰色评估、灰色决策等的功效。“新陈代谢”模型体现了“新信息优先原理”。新信息的补充为灰元白化提供了基本动力。“新信息优先原理”是信息的时效性的具体体现。78公理1.2.6（灰性不灭原理）“信息不完全”（灰）是绝对的。信息不完全、不确定具有普遍性。信息完全是相对的、暂时的。原有的不确定性消失。新的不确定性很快出现。人类对客观世界的认识，通过信息的不断补充而一次又一次地升华。信息无穷尽，认知无穷尽，灰性永不灭。793．灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展。已基本建立起一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色朦胧集、灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础。80灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。灰色预测是基于GM模型作出的定量预测，按照其功能和特征可分成数列预测、敬意预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型。灰色决策包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色层次决策等。灰色优化技术包括灰色线性规划、灰色非线性规划、灰色整数规划和灰色动态规划等。81（三）灰数及其运算1．灰数灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“”表示灰数。82灰数有以下几类：1°仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为或，其中为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称为的取数域，简称的灰域。一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有。832°仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为或，其中是灰数的上确界，是确定的数。一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。843°区间灰数既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为。海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为，854°连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。某人的年龄在30到35岁之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。人的身高、体重等是连续灰数。865°黑数与白数当或，即当的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，为黑数。当且时，称为白数。为讨论方便，我们将黑数和白数看成特殊的灰数。876°本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微秒的“年龄”等都是本征灰数。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值，记为，并用表示以为白化值的灰数。如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格（100）的白化数，记为。88从本质上看，灰数又可以分为信息型、概念型、层次型三类。1°信息型灰数，指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。如：预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，；估计某储蓄所年底居民储蓄存款总额将达7000万到9000万元，；预计长沙地区5月份最高气温不超过36℃，。这些都是信息型灰数。由于暂时缺乏信息，不能肯定某数的确切取值，而到一定时间后，通过信息补充，灰数可以完全变白。如上述三个灰数，一旦预言的时间终了，就会变成完全确定的数。892°概念型灰数也称意愿型灰数，指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。如：某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，；某工厂废品率为1%，希望大幅度降低，当然越小越好，。这些都是概念型灰数。903°层次型灰数，由层次改变形成的灰数。有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的；可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。例如，一个人的身高，以厘米度量是白的，若精确到万分之一毫米就成灰的了。有的数，在某个小范围内是白的，在大范围内就成灰的了。例如叫张三丰的人，某个学校只有1人，全市大学有4~6人，已是灰数；若在全国范围内考虑，就更加说不清了。912．区间灰数的运算如同实数一样可以定义代数运算法则，具体略。92（四）灰数白化与灰度有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白化比较容易，我们可以其基本值为主要白化值。以基本值的灰数可记为或，其中为扰动灰元，此灰数的白化值。如今年的科研经费在5万元左右，可表示为，或，它的白化值为50000。对于一般的区间灰数，我们将白化值取为（1.4.1）93定义1.4.1形如的白化称为等权白化。定义1.4.2在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义1.4.3设区间灰数，，，，，当时，我们称与取数一致；当时，称与取数非一致。94在灰数的分布信息已知时，往往采取非等权白化。例如某人2000年的年龄可能是40岁到60岁，是个灰数。根据了解，此人受初、中级教育共12年，并且是在60年代中期考入大学的，故此人年龄到2000年为58岁左右的可能性较大，或者说在56岁到60岁的可能性较大。这样的灰数，如果再作等权白化，显然是不合理的。95（五）灰数测度灰数的测度即灰度。灰数的灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为特征的未知程度。灰数的灰度主要与相应定义信息域的长度及其基本值有关。如果考虑一个4000左右的灰数，给出其估计值的两个灰数和，显然比灰度小，若再考虑一个基本值为4的灰数，给出灰数，虽然比的长度都是4，但比的灰度小是显而易见的。96定义1.5.1设灰数的定义信息域为[a,b]，a<b，则称为灰数的定义信息域的长度。显然，当两个灰数的基本值相等时，定义信息域长度越大，灰度越大。有关灰数测度的公理及定理（略）。97（六）灰数的信息含量测度灰数是系统行为特征的一种表现形式。灰数的信息含量反映了人们对灰色系统的认识程度。它的大小与灰数的产生背景有着不可分割的联系。如果对一个灰数的产生背景、论域及它所表征的灰色系统不加说明，我们将无法讨论其信息含量的大小。98例如，对于灰数，不说明其产生背景，就很难说它包含多少信息。当它表达的是某成年男子的身高（厘米）时，其信息含量微乎其微。因为[160，200]几乎与成人身高的论域重合。倘若公安机关搜捕一名罪犯，有人提供信息说罪犯身高为160~200厘米，这种信息几乎没有任何价值。而当表示血压（收缩压）时，它就能为医生提供有用信息。灰数的信息含量可以用一个“东西”来测量，具体从略。99二、灰色序列生成灰色系统理论的主要任务之一，就是根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据，寻找因素之间或因素自身的数学关系与变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。100事实上，研究系统的行为特征，得到的数据往往是一串确定的白数，我们把它看成某个随机过程的一条轨道或现实，或是看成灰色过程的白化值，这并没有本质上的区别。如何通过系统行为特征数据研究其发展规律，不同的方法思路也不一样。101随机过程是以先验概率为出发点，研究数据的统计规律。这种方法是建立在大量数据的基础上的，但有时候，即使有了大量数据也未必一定能找到统计规律。因为概率论或随机过程中研究的典型分布是十分有限的，对于非典型的分布过程（如平稳过程、高斯过程、马尔可夫过程或白噪声过程等以外的分布过程），往往难以处理。102灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。103例如，已给原始数列它没有明显的规律。将上述数据作图如下：由图9-1可以看出，的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大。对原始数据做一次累加生成，将所得新序列记为，则已呈现明显的增长规律性，如图9-2所示。104（一）累加生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。105如果一个家庭的支出，若按日计算，可能没有什么明显的规律，若按月计算，支出的规律性就可能体现出来，它大体与月工资收入成某种关系；一种农作物的单粒重，一般说没有什么规律，人们常用千粒作为农作物品种的评估指标；一个生产重型机械设备的厂家，由于产品生产周期长，其产量、产值若按天计算，就没有规律，若按年计算，则规律显著。累减生成是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作用。累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子。106定义3.5.1设为原始序列，D为序列算子，其中；则称D为的一次累加生成算子。习惯上，我们记

其中；同样可定义一次累减生