极坐标及参数方程知识点+综合训练题

.-.--可修编..极坐标与参数方程【考纲知识梳理】一、极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M是坐标平面任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.二、参数方程3．圆的参数设M，那么。圆的普通方程是，它的参数方程为：。4．椭圆的参数方程，其中参数称为离心角；5．双曲线的参数方程，其中。6．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为7．直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为：。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度一样。由此，易得参数t具有如下的性质：假设直线上两点A、B所对应的参数分别为，那么性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，假设是线段AB的中点，那么，反之亦然。直线的参数方程的几何意义应用一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P〔1，2〕出发，它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\al(x=x0+at，,y=y0+bt))(t是参数)。解：由题意知那么直线PQ的方程是eq\b\lc\{(\a\al(x=1−3t，,y=2+4t))，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q〔−8，12〕。例2．求点A〔−1，−2〕关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x=−1−eq\f(2,eq\r(13))t，,y=−2+eq\f(3,eq\r(13))t))(t是参数)，∵A到直线l的距离d=eq\f(5,eq\r(13))，∴t=AA'=eq\f(10,eq\r(13))，代入直线的参数方程得A'(−eq\f(33,13)，eq\f(4,13))。点评：求点关于直线的对称点的根本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处那么是充分利用了参数t的几何意义。二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.解:直线的参数方程为(t为参数)1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,那么==10.可知均为负值,所以=点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三求直线与曲线相交的弦长例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.解因直线的倾角为，那么斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，那么可设AB的方程为(为参数)代入整理得由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。∴===.例2直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)即(t为参数)把它代入抛物线的方程,得解得由参数t的几何意义得，点评:此题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由可得:cos,所以,直线的参数方程为(t为参数)代入,整理得中点M的相应的参数是=，所以点M的坐标为点评:在直线的参数方程中,当t>0,那么的方向向上;当t<0,那么的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点一样.例2．双曲线eqx2−\f(y2,2)=1，过点P〔2，1〕的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是eq\b\lc\{(\a\al(x=x0+tcosθ，,y=y0+tsinθ))(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得eqtanθ=\f(2x0,y0)。又直线P1P2的斜率eqk=tanθ=\f(y−y0,x−x0)，点P〔2，1〕在直线P1P2上，∴eq\f(1−y0,2−x0)=\f(2x0,y0)，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例1．双曲线，过点P〔2，1〕的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。又直线P1P2的斜率，点P〔2，1〕在直线P1P2上，∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例1．直线l过点P(1，2)，其参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x=1−t，,y=2+t))(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式eq\b\lc\{(\a\al(x=1−eq\f(eq\r(2),2)t'，,y=2+eq\f(eq\r(2),2)t'))，代入2x+y−2=0得t'=eq\f(3eq\r(2),2)，∴PQ=|t'|=eq\f(3eq\r(2),2)。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例2．经过点P(−1，2)，倾斜角为eq\f(,4)的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。解：直线l的方程可写成eq\b\lc\{(\a\al(x=−1+eq\f(eq\r(2),2)t，,y=2+eq\f(eq\r(2),2)t))，代入圆的方程整理得：t2+eq\r(2)t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，那么t1+t2=−eq\r(2)，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|=eq\r((t1+t2)2−4t1·t2)=3eq\r(2)，PA·PB=|t1·t2|=4。点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1．抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：eqAB=\f(2p,sin2θ)。分析：弦长AB=|t1−t2|。解：由条件可设AB的方程为eq\b\lc\{(\a\al(x=eq\f(p,2)+tcosθ，,y=tsinθ))(t是参数)，代入抛物线方程，得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：eq\b\lc\{(\a\al(t1+t2=eq\f(2pcosθ,sin2θ)，,t1·t2=−eq\f(p2,sin2θ)))，∴AB=|t1−t2|=eq\r((t1−t2)2−4t1·t2)=eq\r(eq\f(4p2cos2θ,sin4θ)+eq\f(4p2,sin2θ))=eq\f(2p,sin2θ)。例2．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，假设FA=2FB，求那么椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1，左焦点F1〔c，0〕，直线AB的方程为eq\b\lc\{(\a\al(x=−c+eq\f(1,2)t，,y=eq\f(eq\r(3),2)t))，代入椭圆整理可得：(eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，那么eq\b\lc\{(\a\al(t1+t2=eq\f(b2c,eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)=−t2①，,t1·t2=−eq\f(−b4,eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)=−2t22②))，①2×2+②得：eq2c2=eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2，将b2=a2−c2代入，8c2=3a2+a2−c2，得eqe2=\f(c2,a2)=\f(4,9)，故e=eq\f(2,3)。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，表达了等价转化和数形结合的数学思想。1．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系．直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．〔1〕设为参数，假设，求直线的参数方程；〔2〕直线与曲线交于，设，且，数的值．2．以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为方程为〔〕，直线的参数方程为〔为参数〕．〔=1\*ROMANI〕点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C的参数方程；〔=2\*ROMANII〕设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值围．3．在直角坐标系中，直线的参数方程为,〔为参数〕，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值围.4．极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．假设曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为〔为参数〕．〔1〕求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；〔2〕设点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于两点，求SKIPIF1<0的值．5．在直角坐标系中，圆的参数方程〔为参数〕．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线的极坐标方程；〔2〕设直线极坐标方程是射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为〔为参数〕，直线与曲线相交于两点．〔Ⅰ〕写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；〔Ⅱ〕假设，求的值．7．在平面直角坐标系中，曲线〔为参数〕，过点且斜率为的直线与曲线相交于不同的两点．〔Ⅰ〕求的取值围；〔Ⅱ〕设，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．8．曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是〔t为参数〕〔1〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；.-.--可修编..参考答案1．〔1〕将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程．…1分再将，代入直线的直角坐标方程，得，所以直线的参数方程为〔为参数〕．4分〔2〕由，得，由代入，得．6分将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，〔*〕．6分设点分别对应参数恰为上述方程的根，那么．8分由题设得，即．由〔*〕得，，那么有，得或．因为，所以．10分【命题意图】此题主要考察抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考察逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．2．〔Ⅰ〕由〔〕得曲线C的直角坐标方程为，所以曲线C的参数方程为(为参数，〕，设D点坐标为，由得是以为圆心，为半径的上半圆，因为C在点处的切线与垂直，所以直线与直线的斜率一样，，故D点的直角坐标为．〔Ⅱ〕设直线：与半圆相切时，，〔舍去〕设点，，故直线的斜率的取值围为.【命题意图】此题考察圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等根底知识，意在考察数形结合思想、转化思想和根本运算能力．3．〔Ⅰ〕直线的直角坐标方程为，因为，所以，那么，即曲线的直角坐标方程为.〔Ⅱ〕∵曲线的直角坐标方程为，即，∴曲线上的点的坐标可表示为.∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，即的取值围为.考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．4．〔1〕由，得，所以，即曲线的直角坐标方程为．由，消去参数，得直线的普通方程为．〔2〕由〔1〕知直线的参数方程转化为，代入曲线的直角坐标方程得．由韦达定理，得，那么．【命题意图】此题主要考