专题04基本不等式

专题04基本不等式№专题04基本不等式№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题04基本不等式命题解读命题预测复习建议基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。预计2024年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中在应用上。集合复习策略：1.理解基本不等式以及几个重要的不等式；2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。→➊考点精析←一、基本不等式1．基本不等式ab≤a(1)基本不等式成立的条件:a>0，b>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R).

(2)ba+ab≥2a，b(3)ab≤a+b22(a，b∈R)(4)a+b22≤a2+b22(3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a+b2，几何平均数为4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2p(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是p24二、基本不等式应用1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。→➋真题精讲←1.【2023浙江三模】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；②当时，，则不恒成立；③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选C.2.【2023湖南省一模】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意可得函数的图象恒过定点，又点在直线上，∴，∴=，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为．故选B.→➌模拟精练←1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】，等式恒成立，，由于，所以，，，当且仅当时，即时取等号.，，故的最小值为1.故选：.2．（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】正实数满足，则，当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.3．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A：，，，，，，故A错误；对于B：，，，，即，，故B错误；对于C：，，，，，，，，故C错误；对于D：，，即，两边开平方得：，同理可得，，三式相加得，当且仅当时取等号，故D正确.故选：D.4．（2023·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）已知，且，则的最小值为（

）A．13 B．14 C． D．【答案】C【解析】，，，,当且仅当时，即，而又,所以，此时不等式可取等号.所以的最小值为故选：C.5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．6．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；因为，所以，即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；由得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.7．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】A选项：根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，故A对；B选项：因为，所以，所以，，同理，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故B对；C选项：因为，所以，所以，又因为，，所以，，，，，所以，故C对；D选项：，所以，化简得，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：ABC.8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线经过点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为直线经过点，则，所以，对于，因为，所以当且仅当时等号成立，故选项错误；对于，因为当且仅当时等号成立，所以，则，故选项正确；对于，，当，时等号成立，故选项正确；对于，因为，，所以，且，由可得：，，当，时等号成立，故选项正确；故选：.9．（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．【答案】【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值．故答案为：.10．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________.【答案】18【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，则，又，是正数，所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为，故答案为：.11．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，当且仅当，时等号成立，所以当，时，取最大值，所以当取最大值时，，，，所以，所以当时，取最小值.故答案为：.12．（2023·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．【答案】2【解析】因为均为正实数，故设，，则联立解得，，，当且仅当，即，即，即时取等号，故答案为：2.13．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．【答案】25【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：2514．（2023·江苏常州·校考二模）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.(1)若，求的大小；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值.【详解】（1）在中，，进而，，，又不为直角，则，，，.（2）由(1)知，转化为，又，，.，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.→➍专题训练←1.（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用求差法证明选项AB正确；举反例否定选项CD.【详解】选项A：由，可得.判断正确；选项B：由，可得.判断正确；选项C：当时，，由，可得.判断错误；选项D：当时，.判断错误.故选：AB2.已知，则的最小值是．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为.3.已知，且，则的最小值为．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为44.设，则的最小值为______.【答案】【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为。5.已知a，b∈R,且a3b+6=0,则2a+18b的最小值为【答案】1【解析】由已知得a3b=6,由基本不等式得2a+18b≥22a-3b=2236.已知