极值点偏移2：非纯偏移(转化)(教师版)

第第页极值点偏移2：非纯偏移（转化）【2021˙贵州贵阳市高三上期末质检˙理科】已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）求证：.【答案】：（1）；（2）证明见解析.【解析】：(1)有两个零点有两个相异实根．令，则

由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，；当时，

当时，，有两个零点时，实数的取值范围为．（2）不妨设，由题意得,，,，要证：，只需证.

，

令，，只需证

，，只需证：.令,，在递增，，成立.

综上所述，成立．【解法二】欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．由，【2019˙四川宜宾三诊˙理科】已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求证：．【答案】：（1）的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.【解析】：（1）对函数求导可得，令，得①当时，若则，即；若，则，即．②当时，若，则，即；若，则，即．综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）证明：由（1）知，有两个零点时，，，∴．令，，则∴为方程的两个根．令，则为的两个零点，．令，则．∴在上单调递增，∴∴，即．∵，∴当时，单调递增．∵，∴，∴，∴.1、已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：.【答案】：（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析.【解析】：（1），令，，因为，，所以当时，，单调递减；所以当时，，单调递增，所以，所以当时，，当时，，的单调递减区间，单调递增区间为.（2）（i），要使在上有两个极值点，则在上有两个不同的零点，①时，由（1）知，，令，故，所以在上为增函数，所以，故，故在上无零点，舍.②当时，，，，则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即要使，解得，综上所述，的取值范围为.（ii）由（i）知，，，即，故，所以，要证，只要证，就要证，由上可知在上单调递增，所以只要证，而，所以只要证，（*）令，即，所以，故在上单调递增，所以当时，，即，，即（*）式成立，所以得证.2、已知函数（）（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，证明：.【答案】：【解析】：3、已知函数.（）（Ⅰ）令，讨论的单调性并求极值；（Ⅱ）令，若有两个零点；（i）求的取值范围；（ii）若方程有两个实根，且，证明：.【答案】：（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；（Ⅱ）（i）；（ii）证明见解析.【解析】：（Ⅰ）因为，所以，则，x2负0正单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为，单调递增区间为极小值为，无极大值.（Ⅱ）（i）有两个零点.因为①当时，，单调递增，不可能有两个零点；②当时，令，得，单调递减；令，得，单调递增.所以要使有两个零点，即使，得，又因为，，所以在存在唯一一个零点，且，，所以在上存在唯一一个零点，符合题意.综上，当时，函数有两个零点.法二：有两个零点.等价于时，有两个实根，（1）令，当时，，单调递减，且；当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，；，.要使（1）有两个实数根，即使，综上，当时，函数有两个零点.（ii）有两个实根，令，有两个零点，，，，所以，所以（1）；（2）要证，只需证，即证，所以只需证.由（1）（2）可得，只需证.设，令，则，所以只需证，即证令，，则，，即当时，成立.所以，即，即.4、已知函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）若有3个极值点（其中），证明：．【答案】：（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】：（1），，f（x）的极值点的个数即为的变号方程根的个数令，，故g（x）在（0，1）上单调递减（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，且当x＜0时，g（x）＜0．即根据与的交点个数可得：当a＞0时，f（x）有2个极值点，当﹣e≤a≤0时，f（x）只有1个极值点，当a＜﹣e时，f（x）有3个极值点．（2）证明：因为f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），所以，且x2＝1，即得，要证，即x1x3＜1，由，得，设，k＞1，，所以x3﹣x1＝lnk，联立，得所以