随机过程的基本概念-精华版

自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。确知过程随机过程2.随机过程正弦信号调制信号周期性脉冲信号雷达接收机的噪声鸟叫声爆破信号实际过程2.1随机过程的基本概念及定义2.1随机过程的基本概念及定义2.2随机过程的统计描述2.3平稳随机过程2.4随机过程的联合分布和互相关函数2.5随机过程的功率谱密度2.随机过程2.1随机过程的基本概念及定义随机相位信号

2.1随机过程的基本概念及定义接收机噪声

t11、随机过程(StochasticProcess)定义2.1随机过程的基本概念及定义定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数,由全部元素{e}所确定的一族样本函数称为随机过程,简记为。

定义2：设有一个过程，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则称为随机过程。随机过程是样本函数的集合随机过程是随机变量的集合随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：当t固定，e固定时，X(t)

是一个确定值；

当t固定，e可变时，X(t)

是一个随机变量；

当t可变，e固定时，X(t)

是一个确定的时间函数；

当t可变，e可变时，X(t)

是一个随机过程；

2.1随机过程的基本概念及定义2、随机过程分类状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散2.1随机过程的基本概念及定义2.1随机过程的基本概念及定义半二元传输信号

用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)，X(t)称为半二元传输信号。2.1随机过程的基本概念及定义0质点沿x轴作随机游动

01234567随机游动设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么，

在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程。伪随机序列

2.1随机过程的基本概念及定义1、一维概率分布连续随机过程：随机序列：2.2随机过程的统计描述一、随机过程的概率分布例1、设随机振幅信号

其中是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时的概率密度。2.2随机过程的统计描述2、二维概率分布注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。2.2随机过程的统计描述例2、设随机相位信号其中，且取值概率各为1/2,求，时的一维和二维概率分布。0204060-101x2(n)

0204060-101x1(n)

2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征均值方差均值与方差的物理意义：表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。2.2随机过程的统计描述相关函数(correlationfunction)相似均值和方差的随机过程

2.2随机过程的统计描述协方差函数如果，则称和是不相关的。如果，则称和是相互正交的。如果，则称随机过程在时刻的状态是相互独立的。和2.2随机过程的统计描述离散随机过程数字特征和2.2随机过程的统计描述例3、设随机振幅信号为其中为常数，V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。2.2随机过程的统计描述离散形式：三、随机过程的特征函数2.2随机过程的统计描述例4、设为相互独立的随机变量序列，其分布为求随机过程的一维分布。2.2随机过程的统计描述一、定义一维概率密度：二维概率密度：2.3平稳随机过程(1)严格平稳随机过程(StrictlystationaryProcess)(2)广义平稳随机过程(WeaklystationaryProcess)

严格平稳广义平稳当随机过程是高斯分布时，两者等价。一定不一定2.3平稳随机过程例1、

设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？例2、

设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t<。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。2.3平稳随机过程二、平稳随机过程自相关函数性质若随机过程不含周期分量，2.3平稳随机过程相关函数示意图2.3平稳随机过程若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有同周期的周期分量例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为

求X(t)的均值和方差。三、相关系数及相关时间相关系数：也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。相关时间：相关时间示意图2.3平稳随机过程两个不同相关时间随机过程的样本函数

2.3平稳随机过程2.3平稳随机过程例4、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为

求X(t)的相关系数。四、随机过程的遍历性（ergodic）定义：对于平稳随机过程X(t)，若有则X(t)为遍历过程。其中2.3平稳随机过程各态历经过程与非各态历经过程示意图

2.3平稳随机过程遍历性判断：均值遍历性：零均值平稳正态随机信号：相关函数遍历性：2.3平稳随机过程均值和自相关函数估计：连续随机过程：随机序列：2.3平稳随机过程例5、判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。2.3平稳随机过程二维联合分布函数：二维联合概率密度：2.4随机过程的联合分布和互相关函数一、联合分布n+m维联合分布函数：n+m维联合概率密度：2.4随机过程的联合分布和互相关函数一、联合分布二、两随机过程的相互关系互相关函数：互协方差函数：2.4随机过程的联合分布和互相关函数若，则X(t)与Y(t)正交；若，则X(t)与Y(t)不相关；2.4随机过程的联合分布和互相关函数X(t)与Y(t)独立；

两随机过程的相互关系：联合平稳的定义：2.4随机过程的联合分布和互相关函数性质：是平稳的。若与是联合平稳的，则互相关系数：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足2.4随机过程的联合分布和互相关函数

例1、设其中为常数，在上均匀分布，求互协方差函数。频谱：能谱密度：信号的能量按频率分布的情况信号的总能量复习2.5随机过程的功率谱密度随机过程的样本函数及其截尾函数

截取函数：时间平均功率功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况一、随机过程的功率谱密度2.5随机过程的功率谱密度时间平均功率功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况随机过程的功率谱密度：随机过程的平均功率2.5随机过程的功率谱密度平稳随机过程：物理谱定义：2.5随机过程的功率谱密度维纳－辛钦定理傅里叶变换对频谱功率谱2.5随机过程的功率谱密度平稳随机过程：2.5随机过程的功率谱密度实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。01例2、已知功率谱密度为

求相关函数。例3、若平稳过程X(t)的功率谱密度为

求相关函数。2.5随机过程的功率谱密度二、平稳随机序列的功率谱密度对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度傅里叶变换对2.5随机过程的功率谱密度Z变换形式：实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。性质：2.5随机过程的功率谱密度三、互功率谱密度及其性质其中：若X(t)及Y(t)联合平稳，有2.5随机过程的功率谱密度性质：与是的奇函数；是的偶函数；与若X(t)与Y(t)正交，则若不相关，则2.5随机过程的功率谱密度例、已知随机过程Z(t)=aX(t)+bY(t)，a、b为常数，

X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，求：

Z(t)的功率谱密度；

X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度；

X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。2.5随机过程的功率谱密度第六