离散型随机变量的方差

7．3.2离散型随机变量的方差1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义.2.掌握方差的性质，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题.3.通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养.借助方差的性质及两点分布的方差解题，提高数学运算的素养.(一)教材梳理填空1．离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的

．方差或标准差越小，随机变量的取值越

；方差或标准差越大，随机变量的取值越

．(3)两点分布的方差若X服从两点分布，则D(X)＝_________(其中p为成功概率)．离散程度集中分散p(1－p)2．方差的性质D(aX＋b)＝

，D(C)＝

(C是常数)．[微思考]

求随机变量Y＝aX＋b的方差有哪些方法？

提示：可有两种方法：一：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二：应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．a2D(X)0(二)基本知能小试1．判断正误(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．

(

)(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．

(

)(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．

(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×4．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.答案：1题型一求离散型随机变量的方差

[学透用活]离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系(1)区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．[典例1]袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．求离散型随机变量ξ的方差的步骤(1)理解ξ的意义，明确其可能取值；(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；(3)求ξ取每个值的概率；(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验；(5)根据方差定义求D(ξ)．

[对点练清]如图，左边为国外的著名数学家，右边为其国籍，一位数学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列及其数学期望、方差．解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．高斯

法国笛卡尔

挪威阿贝尔

英国牛顿

德国题型二离散型随机变量的方差的性质应用[学透用活][典例2]已知随机变量X的分布列为(1)求X的方差及标准差；(2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)．关于方差性质的四点说明(1)当a＝0时，D(aX＋b)＝D(b)＝0，即常数的方差等于0.(2)当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．(4)当a，b均为非零常数时，随机变量η＝aX＋b的方差D(η)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．

[探究发现](1)A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表．A机床B机床试求E(X1)，E(X2)．次品数X10123P0.70.20.060.04次品数X20123P0.80.060.040.10题型三方差的实际应用

提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.(2)在探究(1)中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？提示：不能．因为E(X1)＝E(X2)．(3)在探究(1)中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？提示：利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．

[学透用活][典例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并依此分析甲、乙技术状况．ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3[解]

(1)由离散型随机变量分布列的性质得a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，

因此，

在实际决策问题中，

需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．

[对点练清]甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知X的分布列如下：(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．二、应用性——强调学以致用2．为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．解：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)由(1)可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)．ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.