新教材北师大版数学课后落实6-5-1第2课时直线与平面垂直的判定

课后素养落实(四十八)直线与平面垂直的判定(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCDs­A1B1C1D1中，A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°C[由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．2．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④D[①②不正确．]3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C[如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，又BD，AC异面，∴选C.]4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]5.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.个 B．1个个 D．3个D[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB，①正确；∵BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又PA＝AB，D为PB的中点，故AD⊥PB，又BC∩PB＝B，故AD⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，故AD⊥PC，②③正确；若PB⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，故PB⊥CD，D为PB的中点，故CB＝CP，又PC>AC>BC，故CB＝CP不成立，故④错误；故选D.]二、填空题6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1平面A1DB1[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.]7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．菱形[如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．]8.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN90°[∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，三、解答题9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O[证明]∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.10．如图，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．[解]因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此，AB＝AC.如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a，则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面B[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.]12.如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB∶BB1＝eq\r(2)∶1，则AB1与平面BB1C1CA．45° B．60°C．30° D．75°A[如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C设AB＝eq\r(2)，则AA1＝1，AD＝eq\f(\r(6),2)，AB1＝eq\r(3)，∴sin∠AB1D＝eq\f(AD,AB1)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AB1D＝45°.故选A.]13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可A1C1⊥B1C1[如图所示，连接B1C.由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A114.如图，四棱锥S­ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．4[∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确．∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，∴AB∥平面SCD，故②正确．∵SD⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确．∵AB∥CD，故④也正确．]15.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？