n阶行列式的归纳定义

n阶行列式的归纳定义

1j2#jn的定义及行列式的定义1）n阶行列式的第一个定义方法。此种定义方法即是大多数高等代数或线性代数教材中所给出的定义方法,可谓是抽象定义方法,即定义1n阶行列式.等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和,这里j1ji…jn是1,2,…,n的一个排列,每一项(2)都按下列规则带有符号:当j1j2…jn是偶排列时,(2)带正号;当j1j2…jn是奇排列时,(2)带有负号,这一定义可写成这里τ(j1j2…jn)是排列j1j2…jn的逆序数,表示对所有n阶排列j1j2…jn所对应的值求和.2)n阶行列式的第二种定义方法我们用Mn(P)表示数域P上全体n阶方阵的集合.设用α1,α2,…,αn分别表示A的各个列向量,即为方便起见,也用(α1α2…αn)表示矩阵A.有了以上的准备,我们现用公理化的方法来定义n阶方阵的行列式:定义2称Mn(P)到P的映射f:A→f(A)为矩阵A的行列式映射,记为f(A)=|A|,如果满足以下三个条件:(ii)对任意的i,1≤i≤n,和任意的c∈P,有(iii)对任意的i,j,1≤i<j≤n,和任意的c∈P,有3)nn阶行列式的第三种定义方法此种方法可称为n阶行列式的归纳定义方法,即定义3(i)当n=1时,规定|α|=a;(ii)假设n-1阶方阵的行列式已有定义,规定n阶方阵A(aij)的行列式为|A|=a11M11-a12M12+a13M13+…+(-1)1+na1nM1n,其中M1i是A中元素a1i的余子式,i=1,2,…,n.2n线性表出以上我们用三种不同的方法定义了n阵方阵的行列式,下面来证这三种定义彼此等价.为此,只须证明,如下的两个定理:定理1定义1与定义2是等价的证明由定义1及其性质(见文献,可知若有定义1,则有定义2.下面只须证明,若有定义2,则有定义1即可.事实上,由定义2可得如下性质:性质2.1f((…αi…αj…))=-f(…αj…αi…).性质2.2若αi=αj,i≠j,则f(A)=0.由性质2.1易推得此性质.性质2.3若αi=cαj,c∈P,则f(A)=0.由定义2中的公理(ii)及性质2.2可得此性质。性质2.4若αi=β+γ,β和γ是两个n维向量,则证不妨设i=1,即证如下等式便可,因为n+1个n维向量β,γ,α2,…,αn必线性相关,所以或β可经γ,α2,…,αn线性表出,或γ可经β,α2,…,αn线性表出,或α2,…,αn线性相关,以下分别对上述三种情形证明该性质.第一种情形,设则有又因为f((βα2…an))=c1f((γα2…αn)),所以此情形该性质成立.第二种情形,此情形可用同第一种情形类似地证明.第三种情形,此时不妨设又显然有f((βα2…αn))=f((γα2…αn)=0,故此情形时,该性质亦成立.至此性质2.4得证·有了以上的准备工作,现在可以进行证明,若有定义2,则有定义1.首先把A的第1列改写成n个向量的和,即令则由性质2.4可得类似可把A1的第1列改写成n个向量的和等等下去,并注意到性质2.2—2.3,可得其中i1i2…in是1,2,…,n的一个排列.由于这n个向量分别含一个非零元素,且这n个元素的列下标排列是自然排列,所以将其交换成排列i1i2…in时,所需交换这n个列向量次数的奇偶性同排列i1i2…in的奇偶性,故由性质2.1及定义2中的公理(i),有此即为定义1中方阵A的行列式定理2定义1与定义3是等价的证明由定义1及其性质(见文献1一,可知,若有定义1,则有定义3.故下面只须证明,若有定义3,则有定义1即可.由定义3中(i),可知对1阶方阵的行列式结论显然成立现假设对n-1阶方阵的行列式来说,结论成立,往证n阶方阵的行列式结论也成立.为此,我们先证如下的引理:引理在阶方A=(aij)的元素a1i的余子式M1i中,任取一项,则这积中各元素在Mii中的列下标排列的逆序数等于这个积中各元素在|A|中所处的列位置排,列(即列下标排列)j2j3…jn的序数.证事实上,只须证明积中任意两个元素在M1i和|A|中的列下标能否构成逆序是一致的即可.在排列到中,从左到右任取两个数码和.1°若和都小于i,则元素和也必分别是|A|中的第和列的元素,从而这两个元素在M1i和|A|中的列标能否构成逆序是一致的,即此情形结论成立.2°若和都不小于i,则元素和必分别位于|A|的第+1和+1列上,易知此情形结论也成立.3°若,则元素,必分别位于|A|的第列,从而此情形结论显然成立.4°若,则元素必分别位于|A|的第和jl列,此情形结论亦显然成立.综上讨论,引理得证.现对n阶方阵的行列式,证明,若有定义3,则有定义1.由定义3中的(ii)及引理有:其中i是1,