2014考研数学线性代数同步辅导200题一

【解答 ａ Ｄ ａ ＝

ａ ＝ ａ

＝

１ １

＝

０１２１０１列）展开计算可多次使用。【例３】计算三阶行列式【分析】观察行列式特点【解答ａ＋ｂｂ＋ｃｃ＋

等于列和化简１ｂ＋ｃｃ＋Ｄ＝ｃ＋ａａ＋ｂｂ＋ｃｂ＋ｃｃ＋ａａ＋１ｂ＋

＝２（ａ＋ｂ＋ｃ＋

１ｃ＋ａａ＋ａｃｂ＝２（ａ＋ｂ＋

０ａｃｂ０ａｂｂ

＝２（ａ＋ｂ＋

ａｂｂ＝２（ａ＋ｂ＋ｃ）［（ａｃ）（ｂ （ａｂ）（ｂａ）］＝２（ａ３＋ｂ３＋ 【评注】对于含字母有规律的行列式不要直接用对角线计算到先化简后计算。１１１０１１０【例４】行列式 １０１１０１１【分析】行（列）和相同且主（副）对角线元素相同，因此统统加到第一行（列）处理。【解答】行列１１１０１１０１１０１１０１１

３３３３１１０＝１０１０１１

１１１ １１０＝ ＝１０１０１１ ＝３（

４×２（１）３＝【评注】行列*１* *１* ＝

＝（

ｎ（ｎ２ｋ１ｋ２…【例５】记行列为 Ａ．【分析】先求出行的表达式以按列处

ｘ２ ｘ１ ｘ２ ２ｘ２２ｘ１２ｘ２２ｘ３３ｘ３３ｘ２４ｘ５３ｘ５４ｘ４ｘ３５ｘ７４ｘ３Ｂ． Ｃ．列式ｆ（ｘ）以确定ｆ（ｘ）的次数。较好。

Ｄ．观察此行列式特点列都有含【解答

行列式第一列乘以（１）加ｘ２ ｘ１ ｘ２ ｘ３２ｘ２２ｘ１２ｘ２２ｘ

其他各列ｘ ２ｘ ３２５３２５５３７３

３ｘ ｘ ３ｘ 为了某行或某列有更多的０，下面给第一行乘 １）加到第二行，ｆ（ｘ）＝５ｘ（

ｘ ３ｘ ３

０＝ｘ ｘ ２ ２３ｘ ３

ｘ ３ｘ 故ｆ（ｘ）有两个根。选择【评注】含有变量ｘ行列式是一个多项式便每行都有ｘ不一定是４次多式３０１１…１１２０…０【例６】计算ｎ行列１０３…０ 【分析】行列式为箭形【解答】行列

法化为三角形行列式０１ ０１

ｎ１ｎ１１ｎ１ｉ＝

＝

…

＝ｎ！ｎｉ＝２

【评注】有时为避免０１１ｎ０１１ｎ

数计算，＝２·３…

１００ｎ每行先提公因子１００ｎ０２３ｎ１１０…０１０２３ｎ１１０…０１０１…０１００…１ ｉ＝ ＝

０

ｎ１ｎ！１ｉ＝２ 【例７】

１００计算ｎ行列式１００

ａ２ ＝

ａｎ－ 【分析】分析行列式的特点然每行或列都有ｎ２个０，但按第一列展开后，４子式均为三角形行列式于计算１０【解１０【解答】Ｄｎ０……００＝１＋（１）ｎ＋１ａａ…１０００…ａｎ－００…１【评注】行列式的计算要记住一些常见类型及方法 【例８】计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝ 【分析】特点是行和与列和相等主对角线上元素相同主对角线以外的元素相同。【解答】每行（或列）均加到第一行（或列ａｂｂ…ｂ１１１…１ｂａｂ…ｂｂａｂ…ｂＤｎ＝ｂａ…ｂ＝［ａ＋（ｂｂａ…ｂｂｂｂ…ａｂｂｂ…ａ＝［ａ＋（ｎ１）

１０ａ １０ ａｂ

＝［ａ＋（ｎ１）ｂ］（ａｂ）ｎ－ ａ【评注】这是行列式最常见的类型之一 【例９】计算行列式

５形状以按第展开计算。【解答 Ｄ４

＝ａ４＋

＝ａ４＋ ＝ａ＋ｘ（ａ＋ｘＤ）＝ａ＋ａｘ＋ １０…０ｘ１…０Ｄａ０ｘ０＝ａ＋１ｘ＋…＋【１０…０ｘ１…０Ｄａ０ｘ０＝ａ＋１ｘ＋…＋３３１

ｎ

ｘｎ－２＋ａｘｎ－ １ 【例１０】五阶行列

１ １ １１ａ １１ａ【分析【解答

按行列式性

角线形，每行加到

用递推法体题目一行后按第一

当灵活应用。展开。则行Ｄ５

１ １ １ １１ａ １１ａ

ａＤ４＋由此递推公式Ｄ５＝ａＤ４＋１ ａ（ａＤ３＋１）＋１＝ａ２ ａ＋＝…＝１ａ＋ａ２ａ３＋ 【评注】也可直接按第一行展开递推公式Ｄ５＝（１ａ）Ｄ４ａＤ此可６Ｄ５＝（１ａ）Ｄ４＋ａＤ３＝（１ａ）［（１ａ）Ｄ３＋ａＤ２］＋３２＝［（１ａ）２＋ａ］Ｄ＋ａ（１ａ）３２＝…＝１ａ＋ａ２ａ３＋ ２ａ ２ａ 【例１１】设＝

２ａ 是ｎ阶矩阵明Ａ＝（ｎ） ａ２２ａ１ 【分析】这是一个三对角线形的ｎ矩阵算其行列式一般用递推法。由于阶数较高导过程有一定的技巧。 ｎ－ ｎ－【解答】令Ａ＝Ｄ，按第一行（或列）展开，可得递推公式，Ｄ＝２ａＤ ａ２Ｄ 化为Ｄｎ ｎ－ ｎ－于是递推 ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ＝ａ（ ）＝ａ２ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ－ｎ－ ｎ－从而Ｄ＝ ＋ａｎ＝ａ（ ＋ａｎ－１ ｎ－ｎ－ ｎ－１＝…＝ａｎ－１Ｄ＋（ｎ１）ａｎ＝ａｎ－１（２ａ）＋（ｎ１）ａｎ＝（ｎ＋１）１【评注】也可直接用数学归纳法证明化为上三角形计算题型含参数的行列式方【例１２】

＝λ【分析】３阶行列式是一个关于λ的多项式ｆ（λｆ（λ＝的根【解答】观察行列式的特点行都是加到第二行提公因

＝ ３ ３

＝（

３ １１λ ＝（

３ １１λ

＝（

４ ２ ２０λ

＝（ ２ ＝（ ３）（

２

＝（ ３）（ ６）（ λ为【评注】这里ｆ（λ是λ的三次多项式方程的根要对ｆ（λ进行因式分解果在计算行列式时能先提出某行（或列）关于λ的公因子降低分解因式的难度。 【例１３】【分析】分【解答

λ＋ ２λ行列式特点第

＝ａ为常数，则λ列加到第一列第一列可提取公因子 λ＋ ２λ＋所以λ＝ １，【评注】将第一列

＝（ 到第三列也

０λ＋１ ２λ＋同样可以先提

＝（ 公因子。

０λ＋ λ＋法不唯一【例１４】【分析】分【解答

１ 行列式特点第三

＝ａ为常数，则λ行乘（１）加到第二行第二行可提取公因子 １λ

ａ１ ＝（ ａ

＝（ ａλ

ａ１λ ＝（ ａ

ａ＋

＝（ ａ

ａ＋＝（ ａ１）

１ ａ＋

＝（ ａ１）２（ ａ＋８【评注】这是一个对称矩阵的行列式行与对列的运算结果相同。对含参数的行列式进行因式分解时定要化简到底量避免复杂的计算及因式分解。题型求已知矩阵的行列１００１１００１……００，计算行列００…１００…０【例１５ 设Ａ为１０×１０阶矩阵，Ａ＝ＡλＥ中１０阶单位矩阵λ为常数【分析】由行列【解答】行列＝λ＝０ＡλＥ

Ａ

的构造第一列展开计算 ＝λ１０ 【评注

这种类型的行列１ ３０…００…１ ３０…００…０００ａ…０＝ａ１ａ２…ａｎ＋００…【例１６ 设矩阵Ａ＝

，Ｅ为２阶单位矩阵，Ｂ满足ＢＡ＝Ｂ＋２Ｅ，则１２Ｂ【分析】将矩阵方程化简Ｂ（ＡＥ）＝边取行列式即可【解答 ＢＡＥ＝４，ＡＥ＝２，所以Ｂ＝【评注 ２Ｅ＝２２不是９２１【例

设矩阵＝

２０，矩阵Ｂ满足ＡＢＡ＝２ＢＡ＋Ｅ， Ｂ００【分析】首先将矩阵方程化简，其次遇到伴随矩阵可考虑用公式ＡＡ＝Ａ＝ＡＥ。【解答】在等式ＡＢＡ＝端右乘矩阵知Ａ＝简得＝项（６Ｅ）＝端取行列式３Ａ６ＥＢ＝ＡＢ＝９【评注】化简到（３Ａ６Ｅ）Ｂ＝时，不要通过两端求逆解Ｂ，对于矩阵乘积形式求行列式时公式ＡＢ＝ＡＢ要简便许多。３１【例

设矩阵＝

１０阵足

００【分析】因有伴随矩阵可用公式ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＥ化简，又Ｂ 求Ｂ。【解答＝端右乘矩阵知Ａ＝简得２ＡＢ＝２Ｂ，移项２（Ａ）＝，由于计算Ａ较麻烦以两端再左乘到２（）＝两端取行列式（２Ｅ＋ Ｂ＝３Ｅ，即（２Ｅ＋ Ｂ＝２７，得Ｂ＝９，从而 Ｂ２＝【评注】右乘矩阵Ａ化简式还不够简洁需要再再左乘续化简题型求抽象矩阵的行列【例１９】设ｎ方阵１

Ａ＝ａ０而Ａ是随矩阵

＝ Ａ． ａ

Ｃ．ａｎ－ Ｄ．【分析】由公式ＡＡ【解答】选

Ａ端取行列式得【评注】注

ｋＡ＝

Ａ。或记住公式

＝Ａｎ－【例２０】 设Ａ为３阶矩阵，ＢＡ＝

Ａ＝若交换Ａ的第一行与第二行得矩阵Ｂ， 【分析】由公式

＝Ｂ

键

Ｂ么就要找间的关系【解答】由Ｂ＝Ｐ（１，２）Ａ，则Ｂ＝Ｐ（１，２）Ａ Ａ故ＢＡ

ＡＡ２

Ａ３＝【评注】利用初等矩阵建立矩阵间的等量关系【例２１】设为ｎ方阵，Ａ＝Ｂ＝２Ａ【分析】由于 ＝Ａｎ－１，Ｂ－ １，利用行列式的性质计算３２２ｎ－【解答

２ＡＢ－

＝２ｎ

Ｂ－１３— 【评注】记住性

Ｂ－ ＝ Ｂ【例２２】 设Ａ，Ｂ均为３阶矩阵，且Ａ＋Ｂ－１＝

Ａ＝

Ｂ＝

Ａ－１＋

＝２，【分析】由题目给出的已知条件找（）与（Ａ）之间的关系【解答】由于可逆矩阵（Ｂ）左乘乘，即Ａ（Ｂ）＝＝，故＝Ａ（）＝Ａ＝【评注】注意≠＋【例２３ 若４阶矩阵Ａ相似于Ｂ，Ａ的特征值为１，１，１，１， Ｂ－ 列式。【

析】由相似矩阵的特征值相同及矩阵可以对角化＝Λ简答】由于似以特征值与同的特征值为又因４阶矩阵有４个不同的特征值而可以相似对角化存在可逆矩阵２３Ｂ－１＝Ｐ－１ΛＰ，其中Λ＝ ５则

＝Ｐ－１ΛＰＰ－１

＝Ｐ－

Ｅ

＝

＝【评注】利用矩阵的对角化常可化简表达【例２４】设α＝（１）Ｔ阵＝ααｎ正整数ＥＡｎ【分析】由于α为列向量而αＴα为实数αＴα＝ｎ＝α（αα）ｎαＴ＝（αα）ｎ入表达式中化简计算 【解答】＝ααＴ＝

αＴα＝而Ａｎ＝α（αα）ｎαＴ＝ｎ １ １则ＥＡｎ＝Ｅ２ｎ＝【评注】若α是ｎ列向

１２ｎ－ ２ｎ－ ２ｎ－ ０１２ｎ－ααｎ阵

＝１αＴα表示实数Ａｎ＝（αＴα）ｎ【例２５】已知实矩阵Ａ＝（ａｉｊ）足条件（１）ａｉｊ＝Ａｉｊ（ｉ，ｊ＝２，３），其中Ａｉｊａｉｊ代数余子式０计算行列式【分析】由伴随矩阵的定义和已知条件Ａ＝Ｔ此题目有Ａ＝ＡＴ＝【解答】由伴随矩阵的定Ａ＝ＡＡ

Ａ１３Ａ２３ＡＡ３３

＝ａａ

ａ１３ａ２３ａａ３３

＝而Ａ＝

＝Ａ＝Ａ２，所 Ａ（ １）＝０，故Ａ＝０或Ａ＝ ∵｜Ａ｜＝ ＋ａ２＋ａ２ 即＝

Ａ所以Ａ０，

Ａ＝【评注】推

Ａ＝

Ａ＝

Ａ不能确定此需要利用已知条件进一步定Ａ里也可以

Ａ＝ａ

＋ａ

ａＡ＝ａ２ａ２ａ２０，从而确

Ａ＝１１

１２

１３ 题型求分块矩阵的行列【例２６】设４阶矩阵Ａ＝（αγ，γ，γ），Ｂ＝（β，γ，γ，γ），其中αβ，γ，γ，γ４均为４维列向量行列式Ａ＝Ｂ＝行列式＝【分析】运用矩阵与行列式的性质计算【解答】Ａ＝（αβγγγＡ＋

＝

（α＋β，γ２，γ３，γ４

＝

（α，γ２，γ３，γ４

＋（β，γ２，γ３，γ４）＝８（４＋１）＝【评注】分块矩阵的加法是按子块相加列式是按列（或行）提公因子【例２７】设αααββ２都是４维列向量４阶行列式（αααβ）＝（α１，α２，β２，α３）＝ｎ，则４阶行列式（α３，α２，α１，β１＋β２）等于 Ａ．ｍ＋ Ｂ．（ｍ＋ Ｃ．ｎ Ｄ．ｍ【分析】运用矩阵与行列式的性质计算【解答】因为（αααβ１β）＝（αααβ）＋（αααβ （αα，αβ）＋（ααβ，α）＝ｎｍ所以答案应选Ｄ【评注】行列式中某列（或行）是两个元素之和以分成两个行列式之和【例２８】已知３阶矩阵ααα３是３维线性无关的列向量Ａα１＝α１α，Ａα２＝α２αα３＝α３αＡ＝【分析】按分块矩阵的计算已知条件用矩阵表示【解答】由已知Ａα１＝α１αα２＝α２αα３＝α３αＡ（α，α，α）＝（Ａα，Ａα，Ａα）＝（α１α，α２α，α３α）１０ ＝（α１，α２，α３）１１ ０１其中（α１，α２α３）三阶可阵，上式两端取行列式，有Ａ

１０１１０＝２０１１【评注】把向量运算的表达式用矩阵的乘积表示行列式计算的有效方法ＯＡ【例２９ 设Ａ是ｍ阶方阵，Ｂ是ｎ阶方阵，且Ａ＝ａ，Ｂ＝ｂ，Ｃ＝ ，ＢＣＡ【分析】已知分块矩阵的行列化为已知结论的形式即可

＝Ｏ

Ｂ分块矩阵过两行互【解答】将每一行与每一行做相邻交换Ｏ Ｃ ＝（１）ｍ（１）ｍ…（１）Ｂ Ｏ

＝（１）ｍｎＡＢ＝（１）【评注】记住这个结果很有用题型有关代数余子式的计【例３０】行列式Ａ．

５ １０ １λ Ｂ．４２

中元素λ的代数余子式等于 Ｃ． Ｄ．【分析】按代数余子式的定义计算即【解答】元素λ的代数余子式１０Ａ＝（１）４＋所以选

７ ４

＝【评注】基本题目握代数余子式定 【例３１ 设Ｄ为

２

，则第四行各元素代数余子式之和的０，（ｉ≠ｊ【分析】用Ａｉｊａｉｊ代数余子式题目是求Ａ４１注０，（ｉ≠ｊ余子式与第ｉ行元素没有关系定理知ａｉｊ１ａｉｊ２ａｉｎｊｎ【解答】由定理ａａａａ＝即２（）＝所以＝【评注】因为第二行元素相同

（ａａａａ＝目的是将元素提出来现表达式Ａ４１选用其他行展开没有所求的表达式【例３２】设Ｄ

２

第四行各元素余子式之和的值 【分析】本题行列式Ｄ同【例３１】Ｍｉｊ示元素ａｉｊ余子式，则题目是求Ｍ意Ａ＝（１）ｉｊＭ以Ｍ＝ 【解答】由于＝Ａ４１ ＝ １

（

１

＝

１

＝【评注】由于第ｉ行（或列）的代数余子式与第ｉ行（或列）的元素没有关系，所以 若四阶行列式

Ａ４１

Ｍ４１＋Ｍ４２＋Ｍ４３＋Ｍ４４ Ａ４１＋ Ａ４３＋Ａ４４

类似地可以推广到ｎａｄ【例３３】设Ｄｃ

行列式

＝ｋ，Ａｉｊ示ａｉｊ代数余子式，ｋ为常数，则（ａａ １）Ａ１１＋（ｄ＋１）Ａ２１＋（ｃ＋１）Ａ３１＋（ａ＋１）Ａ４１＝ 【分析】题目是求第一列＝而所求表达

式的代数和

第二列元素相同（ａ＋１）Ａ１１＋（ｄ＋１）Ａ２１

（ｃ

１）

＋（ａ＋１）＝（ａＡ１１＋ｄＡ２１＋ｃＡ３１＋ａＡ４１）＋（

＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１

＝Ｄ＋０＝【解答】由定理ａ１２Ａ１１＋ａ２２Ａ２１＋ａ３２Ａ３１＋ａ４２Ａ４１＝ｂ（Ａ１１＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１）１ｂ １ ＝ ＝１ １ 即＝又Ｄ＝ａＡ１１ｄＡ２１ｃＡ３１ａＡ４１＝所以（ａ）Ａ１１＋（ｄ）Ａ２１（ｃ）Ａ３１（ａ）＝（ａＡ１１＋ｄＡ２１＋ｃＡ３１＋ａＡ４１）＋（Ａ１１＋Ａ２１＋Ａ３１＋Ａ４１）＝Ｄ＋０＝Ｄ＝【评注】将所求表达式展开复杂的形式化为简单的两项容易看出所求的关键为Ｄ ２ 【例３４】设Ｄ ， １４ （１） ２Ａ２２＋３Ａ３２４Ａ４２（２）Ａ３１＋２Ａ３２＋４Ａ３４【分析】由于第ｉ列（行）元素的代数余子式与第ｉ列（行）元素无关以可以重新构造行列式来计算表达式。【解答（１）示Ｄ中第２列元素的代数余子式，而代数余子式前的系数１、２、３、示第元素定理得Ａ１２＝（２）示Ｄ中第３行元素的代数余子式，而表达式Ａ３１的系数是某一行的系数此以构造行列式Ｂ＝Ａ３１＋２Ａ３２＋４Ａ３４＝Ａ３１＋２Ａ３２＋０Ａ３３＋ ２３ ０３２１４ ２０

２２１４＝３ ２０

４＝４１２

４１２

４１第二章 题型矩阵的运算题型矩阵的乘ｎ１ １ｎ【例１】设Ｐ＝ ，Λ＝ ，ＡＰ＝ＰΛ，求１ ０【分析】由矩阵乘法的结合律Ａｎ＝Λｎ【解答 Ｐ＝２０所以Ｐ可逆，ＡＰ＝ＰΛＡ＝ＰΛＰ－１故Ａｎ＝（ＰΛ）（ＰΛ）…（—１

＝ＰΛｎＰ－ ０ ２ ２ｎ１

ｎ－Ｐ－１＝ ，

＝ 算得

＝ＰΛ

＝ ２ １ ０２ｎ ２２ｎ＋１２ｎ＋１【评注】求Ａｎ，通常将角化表示为＝Λ而Ａｎ＝Λｎ【例２】已知α＝【例２】已知α＝１２，β＝１２０＝αβＴＡ４【分析】 对于列向量α，β，有αＴβ或βＴα是一个常数，αβＴ或βαＴ为一个矩阵，Ａ４＝αβＴαβＴαβＴαβＴ＝α（βＴα）３βＴ【解答】因为Ａ４＝αβＴαβＴαβＴαβＴ＝α（βＴα）βＴ＝（βＴα）αβＴβα＝１１ ８４ 所以Ａ４＝αβＴ＝＝２１０１６８

８４ 【评注】两个同维数的列向量αββＴα与αＴβ都是常数，利用这个特点可简化计算。【例３】已知α＝１２３，β＝１ 【分析 对于行向量α，β，有αβＴ或βαＴ为一个常数，αＴβ或βＴα是一个矩阵Ａｎ＝αＴβαＴβ…αＴβ＝αＴ（βαＴ）ｎ－１【解答】因为Ａｎ＝αＴβαＴβ…αＴβ＝αＴ（βαＴ）ｎβ＝（βαＴ）ｎαββαＴ＝１１１ ２３

２ ｎ－１ ｎ－１

１ ｎ－１２所以Ａ＝ αβ＝３ ２３＝ ３ １ 【评注】如果先求出Ａ＝αβ求Ａｎ，计算将十分困难。对于计算Ａｎ这类题目一定先化简计算。【例４】已知＝

Ａｎ 【分析】如果直接计算Ａ，Ａ…显然计算量很大。此矩阵的特点是行成比例，即（Ａ）＝此可以将Ａ写成两个向量之积为【例２】的类 １ 【解答】Ａ＝ ８＝２２１

记α＝１ ３，β＝２１４，则Ａ＝ 而βαＴ＝Ａｎ＝αＴβαＴβ…αＴβ＝αＴ（βαＴ）ｎ－１β＝（８）ｎ－１【评注】若ｒ（Ａ）＝以写成两个向量的乘积。以三阶矩阵为ａ１ ａ１ ａ１ｂ３ ａ１ Ａ＝ａ２ｂ１ａ２ｂ２ａ２ｂ３＝ａ２ｂ１ｂ２ｂ３ ａ ａ ａｂ ａ３ ３ ３３ ３【例５】设ｎ向量α＝，２【分析】将表达式化简计【解答】由于ααＴ＝２

１阵＝αα＝ααＡＢ所以ＡＢ＝（ＥαＴα）（Ｅ＋２αＴα）＝Ｅ＋ ２αＴ（ααＴ）α＝【评注】矩阵乘法不满足交换律ＡＢ＝（ＥαＴα）（Ｅ＋２αＴα）≠Ｅ２＋αＴαＥ２（αＴα）【例６】设Ａ，Ｂ均为ｎ阶方阵，且ＡＢ＝０，则 Ａ．Ａ＝０或Ｂ＝ Ｂ．Ａ＝Ｅ，Ｂ＝Ｃ．ＢＡ＝ Ｄ．Ａ＝Ｂ＝【分析】矩阵乘法不满足消去律ＡＢ＝得不到Ａ＝或Ｂ＝Ａ，Ｂ都不对，又因为乘法不满足交换律以不对ＡＢ＝ＡＢ＝【解答】选择【评注】＝中其中一个为可逆矩阵另一个矩阵必为零阵【例７】设Ａ，Ｂ均为ｎ阶方阵满足Ａ２＝２＝及（Ａ）２＝明ＡＢ＝【分析】从已知条件找出含有ＡＢ的表达式，（Ａ）２＝２２＝【解答】由于（Ａ）２＝（Ａ）（ＡＢ）＝２将已知条件Ａ２＝Ａ，Ｂ２＝Ｂ，（Ａ＋Ｂ）２＝Ａ＋Ｂ代入上式，有ＡＢ＋ＢＡ＝０即ＡＢ＝ ＢＡ，等式两端左乘Ａ，得ＡＢ＝ＡＡＢ，ＡＢ＝ＡＢＡ＝（ＢＡ）＝（ＢＡ）Ａ＝（ＡＢ）Ａ＝（ＢＡ）＝ Ａ（ＡＢ）＝ 【评注】（Ａ）≠Ａ２题型矩阵的求【例８】设ｎ阶方阵Ａ，Ｂ，Ｃ满足ＡＢＣ＝Ｅ，则必有 Ａ．ＡＣＢ＝ Ｂ．ＣＢＡ＝ Ｃ．ＢＡＣ＝ Ｄ．ＢＣＡ＝【分析】选项是将已知等式左端的矩阵改变了顺序，矩阵的乘法一般不满足交换律在一些特殊情况下可交换＝＝【解答】因为＝以ＡＢＣ＝ＡＢＣ＝１０故可逆。Ａ（ＢＣ）＝（ＢＣ）＝ＢＣＡ＝选择Ｄ【评注】ＡＢＣ＝还可推出ＣＡＢ＝＝＝【例９】设Ａ是ｎ阶非零矩阵，Ｅ为ｎ阶单位矩阵，若Ａ３＝０，则（ Ａ．ＥＡ不可逆，Ｅ＋Ａ不可 Ｂ．ＥＡ不可逆，Ｅ＋Ａ可Ｃ．ＥＡ可逆，Ｅ＋Ａ可 Ｄ．ＥＡ可逆，Ｅ＋Ａ不可【分析】Ｅ＝Ａ３＝（ＥＡ）（Ｅ），Ｅ＝３＝（ＥＡ）（ＥＡ【解答】选择 ｎ－ ｎ－ 【评注】ｆ（ｘ）＝ａｘｎ＋…＋ ｘ＋ａｆ（Ａ）＝ａＡｎ＋ａＡｎ ｎ－ ｎ－ 【例

设矩

Ａ＝０Ｅ＝０矩阵（００

–１【分析

１由于Ａ矩阵可以写成对角分块矩阵，所以（Ａ２Ｅ）＝ ０＝０【解答

Ａ１０Ａ

１

００１ ０１– ＝ （Ａ２Ｅ）＝１２０＝

，Ａ１＝

１１ ００

０

２ １

２２０ —

０１ ＝ １－１ ２ ０【评注】也可按公式法或初等变换法直接求逆矩阵【例１１】设ｎ矩阵足Ａ２＝（）【分析】设ｆ（ｘ）＝ｘ２３ｘｆ（Ａ）＝２２Ｅ，由于ｆ（ｘ）＝ｘ２３ｘ２＝（ｘ１）（ｘ２）所以ｆ（Ａ）＝Ａ２＋３Ａ２Ｅ＝（Ａ＋Ｅ）（Ａ＋２Ｅ） 故Ａ２＋３Ａ２Ｅ＝０即（Ａ＋Ｅ）（Ａ）＝即（Ａ）［１（Ａ）］＝【解答】（ＡＥ）＝１（Ａ４【评注】用多项式的带余除法ｆ（ｘ）＝（ｘａ）ｑ（ｘ）ｒ寻求（ｘａ）ｇ（ｘ）＝的表达式而可得（ＡａＥ）ｇ（Ａ）＝（ＡａＥ）＝ｇ（Ａ）【例１２】设ｎ矩阵足Ａ２＝（ＡＥ）【分析】 由ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ４＝（ｘ１）（ｘ＋２） ｆ（Ａ）＝Ａ２＋Ａ４Ｅ＝（ＡＥ）（Ａ＋２Ｅ） ２【解答】（ＡＥ）＝１（Ａ２【评注】本题也可进行因式分解Ａ２＋Ａ４Ｅ＝０（Ａ２ 即（ＡＥ）（Ａ＋２Ｅ）＝２Ｅ【例１３】设＝

四阶单位矩阵Ｂ＝（）－１（Ａ） ６则（ＥＢ）【分析】通过Ｂ＝（Ｅ）（ＥＡ）化简出（Ｅ）的表达【解答】已知等式两端左乘Ｅ（Ｅ）Ｂ＝Ａ，乘开并整理＝Ａ端同加＝Ａ＝Ａ（）项 –１ （Ｅ＋Ａ）（Ｂ＋Ｅ）＝２Ｅ，所以（Ｅ＋ ＝（Ｅ＋Ａ）＝ ３【评注】不要先计算（Ｅ）而求样运算量【例１４】已知为ｎ方阵Ｅ是可逆矩阵明Ｅ逆【分析】证明Ｅ逆要说明ＥＢＡ０，从Ｅ发分离出Ｅ【解答】因为ＥＢＡ＝（ＡＢ）Ａ＝ＥＡ（ＡＢ）Ａ＝（ＥＡＢ）Ａ所以ＥＢＡ＝ＥＡＢＡ＝ＥＡＢ０，故ＥＢＡ可逆【评注】代数中将间建立起来联系用＝Ａ（ＢＡ）【例１５】证明为ｎ可逆矩阵（ＡＢ）＝【分析】考虑伴随矩阵与逆矩阵之间的关系Ａ＝Ａ【解答】（ＡＢ）＝ＡＢ（ＡＢ）＝ＡＢ＝（Ｂ）（Ａ）＝【评注】如果是可逆矩阵等式（ＡＢ）＝Ａ不一定成立【例１６】证明ｎ可逆矩阵（）【分析】考虑伴随矩阵与逆矩阵之间的关Ａ＝ＡＡ－１，Ａ＝Ａｎ－１，（Ａ）－１＝（Ａ－１）＝Ａ【解答】由于ｎ可逆矩阵

Ａ０，而 ＝Ａｎ－１０所以Ａ也ｎ阶可逆矩阵。（）

Ａ（Ａ）－１＝Ａｎ－１Ａ

＝Ａｎ－２【评注 与伴随矩阵相关的几个等量关系：ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＥ，（ ＝ＢＡ ＝Ａｎ－１，Ａ＝Ａ

—１，（Ａ

—１＝（

—１

中均为可逆矩阵Ａ【例１７】设ｎ方阵足＝

２（１）证明ＡＥ为可逆矩阵；（２）证明ＡＢ＝ＢＡ；（３）已知Ｂ＝ ，求 【分析】可按定义证明抽象矩阵Ａ逆果＝＝可证＝等量关系解出【解答】（１）由Ａ＝项Ａ＝（ＡＥ）端同减Ａ＝（ＡＥ）ＢＥ（ＡＥ）（ＢＥ）＝Ａ可逆矩（２）由（１）也有（ＢＥ）（ＡＥ）＝即ＢＡ＝又ＡＢ＝所以ＡＢ＝ＢＡ ０（３）由于（ＡＥ）（ＢＥ）＝ＡＥ＝（ ０

＝＝

１１－ ３３ ＝ １１３３

４１３３＝１８

所以Ａ＝ ＋Ｅ＝ １ １ ０

１ １１

６３【评注】抽象矩阵可逆常用定义或其行列式不等于０的方法证。对于一题多问的题目面的解答常要用前面的结果。【例１８】设＝ξξξ是ｎ非零列向量，ξＴ是ξ的转置，（１）Ａ２＝ＡξＴξ＝（２）当ξＴξ＝，不可逆矩阵【分析】（１）ξξＴ是ｎ矩阵ξξ是数用矩阵乘法的结合律可简化计算。（２）由于要证明是可逆矩阵可考虑反证法。【解答】（１）先证必要性Ａ２＝ξＴξ＝即（ξＴξ）ξξ＝于ξ是ｎ非零列向量再证充分性ξＴξ＝＝由已知条件Ａ２＝（ＥξξＴ）（ξξＴ）＝２ξξＴξ（ξＴξ）ξＴ，因为Ｔξ＝入上式得Ａ２＝ξξＴ＝Ａ２＝（２）当ξＴξ＝（１）＝端取行列式Ａ２＝ＡＡ＝Ａ＝若Ａ＝逆式Ａ２＝端同右乘得＝又因为＝ξξＴ入＝ξξ＝与ξξ是非零矩阵矛盾。故可逆【评注】设ξ是ｎ非零列向量ξξＴ是非零矩题型分块矩阵的运５２ ２１ 【例１９】设四阶矩阵＝

００ ００ １Ａ－ １【分析】由分块对角阵的求逆运算，由Ａ－１＝ 直接计算 Ａ－１ ２５２ ０

１ ２１

– 【解答】设Ａ＝ ３００ ３

Ａ，则Ａ１＝ ５

１０１０１１ Ａ－

６ –

１ Ａ＝

–１＝３ Ａ２ １【评注】掌握分块对角阵运算的特殊性３０【例

设矩阵＝

４０

三阶单位矩阵（Ａ

—１００【分析】由于Ａ与Ｅ都可看成分块对角阵，所以Ａ２Ｅ也是分块对角阵，直接计算。＝３ ，１＝３ ，１２【解答

４０＝ 中

＝设Ａ＝ ００１０ １００－ ０ － １ ２则Ａ２Ｅ＝１２０，（Ａ ＝１２ ＝ １１２ ００ ００ ０【评注】由于Ａ较简单题目也可用初等变换的方法求（Ａ２Ｅ）【例２１】设为矩阵分别为的伴随矩阵Ａ＝Ｂ０分块矩阵

的伴随矩阵为（ ０ ３Ｂ ２ＢＡ． ０

Ｂ． ０ ３Ａ ２ＡＣ．

００

Ｄ． ０【分析】令＝

Ｃ＝

ＣＣ－１而Ｃ＝（１）ＡＢ＝

Ｂ－１Ａ－ ０ Ｂ－１ ＡＢＢ－１所Ｃ＝Ｃ０＝ＢＡＣ－１＝（１）２×２ＡＢ 所Ｃ＝Ｃ０＝ＢＡＡ－ ０ ＡＢＡ－ ＡＢ ＡＢ ２Ｂ【解答】Ｃ

Ｃ＝ ＝ 选择Ｂ ０ ００Ａ－ Ｂ－１【评注】这里主要考核了

＝

及伴随矩阵与其行列式矩Ｂ０ ０的关系Ｃ＝Ｃ有分块矩阵行列Ｂ

０＝（１）ｍｎＡＢ等基本公式０１ 【例２２】已知Ａ

００１００

０１么行列式Ａ的所有元素的代数余子式之和【分析】行列

１００ Ａ的所有元素的代数余子式Ａ（

ｊ＝）都在伴随矩阵中以先按分块矩阵求出Ａ０Ａ１

【解答】设Ａ＝ ，其中Ａ１＝ ，Ａ２＝４， ０

１Ａ－１

２

－，Ａ＝

３

Ａ–１

０００１０００— ３×１ＡＢ

１ Ａ＝Ａ

＝（

－

＝ ０ ０２０ ００３４

１（１＋２＋３＋４） ｉ，ｊ＝ 【评注】计算每一个元素的代数余子式Ａｉｊ（ｉ，ｊ＝４）再做和也是一种方法，但没有此方法简便。【例２３】设矩阵Ａ为三阶可逆矩阵，将Ａ按列分块为Ａ＝（），证明矩阵＝（Ａ３）可【分析】运用分块矩阵的运算和已知条件断Ｂ【解答】因为可逆矩阵以Ａ＝Ａ３０而Ｂ＝Ａ１＝２（Ａ１）＝２Ａ１＋Ａ２＋Ａ３，Ａ２＋Ａ３，Ａ３＋Ａ１＝２Ａ１＋Ａ２＋Ａ３，Ａ１，Ａ２＝２Ａ３，Ａ１， ＝（１）２２Ａ，Ａ，Ａ＝２Ａ０ 从而Ｂ＝（Ａ１Ａ２Ａ３）可【评注】考查抽象分块矩阵的运算和可逆矩阵的判定题型解矩阵方【例２４ 设三阶矩阵Ａ，Ｂ满足Ａ－１ＢＡ＝６Ａ＋ＢＡ，且Ａ＝＝

１１，则 １７【分析】等式右端均有右乘两端简后用矩阵的运算求解【解答 由于Ａ０所以Ａ可逆，且Ａ－１＝

，在等式两端右乘 － （Ａ－ Ｅ）Ｂ＝６Ｅ，移项，Ｂ＝６（Ａ－ Ｅ）－１＝６

＝ λ－ ０ 【评注】对角阵Λ＝ ，则Λ－

＝

，λ…λ

–１ ｎ λｎ【例２５】设ＡＢＣ＝则２ＢＣＡ【分析】由可逆矩阵的定义及矩阵乘法的结合律得＝＝【解答】由于ＡＢＣ＝以（ＢＣ）Ａ＝＝（ＡＢ）＝＝故＝＝【评注】若Ａｓ＝Ａｓ＝Ａｓ＝＝ｓＡｓ＝ ０ ２１３ ０ ０２１【例２６ 设四阶矩阵Ｂ＝ ，Ｃ＝ ，且Ａ满足关０１０２００１００式（Ｅ）ＴＣＴ＝上述关系化简并求【分析】利用矩阵转置的性质化简【解答】由矩阵转置的性质Ａ（ＥＣ－１Ｂ）ＴＣＴ＝Ａ［Ｃ（ＥＣ－１Ｂ）］Ｔ＝Ａ（ＣＢ）所以Ａ（ＣＢ）Ｔ＝而Ａ＝［（ＣＢ）］１２３４ １００ ０１２ ２１０ （ＣＢ）Ｔ＝ ＝ ，［（ＣＢ）Ｔ］－１＝ ００１ ３２１ ０００故Ａ＝［（ＣＢ）Ｔ］－１＝

４３２ ２

２【评注】求矩阵［（ＣＢ）］可用初等变换的方法也可按下三角形分块矩阵去求逆。３０ 【例２７】设矩阵足关系式＝中＝１１０矩阵 ０１【分析】依据等量关系式先化简计算 【解答】由ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，移项整理（Ａ２Ｅ）Ｂ＝Ａ，而（Ａ２Ｅ）＝ １０可逆 １－ – 且（Ａ ＝ １ ＝ １－１Ａ＝

１３０ 所以＝（Ａ

１１１０＝ １后１计。１１ ２２３

２【评注】常规题目化 【例２８】设矩阵＝

阵足Ａ＝矩阵【分析】等式中有伴随矩阵过化简找出间尽量简单的关系ＡＡ入化简【解答】由于Ａ＝Ａ入关系式Ａ＝端左乘得Ａ＝Ａ＝以（４Ｅ２Ａ）＝而＝（４Ｅ２Ａ）－１即＝（４Ｅ２Ａ）＝（２ＥＡ）

２４２４１１１０

０１１【评注 由于Ａ不易计算，想到用Ａ【例２９】设矩阵伴随矩阵Ａ＝阵

ＡＡ－１代入化简。 ００ ０，且＝求 １３０【分析】已知不知此从等量关系中消去用ＡＡ＝＝ＡＥ进一步化简Ａ＝Ａｎ得Ａ＝【解答】等式＝端右乘理可得＝后左乘Ａ，得到Ａ＝Ａ于Ａ＝Ａｎ以Ａ３＝Ａ＝Ａ＝从而可得（２Ｅ）Ｂ＝１０００１００００１００

１０ ０

６０ ０ —

１ ０

０６ ０Ｂ＝６（２ＥＡ

＝６

＝６１０

＝ １０ ０ ６０ ０ １ ３ ０３ ６【评注】本题目是已知Ａ而非此化简时尽量留下Ａ去除【例３０】已知Ａ，Ｂ为３阶矩阵，矩阵Ｘ满足ＡＸＡＢＸＢ＝ＢＸＡＡＸＢ＋Ｅ，其中Ｅ为３阶单位矩阵，则Ｘ＝（ Ａ．（ Ｂ２）－ Ｂ．（ＡＢ）－１（Ａ＋Ｂ）－Ｃ．（Ａ）－１（ＡＢ） 能确【分析】由已知条件ＡＸＡ＝项整理简ＡＸ（Ａ ＢＸ（Ａ）＝即（ＡＢ）Ｘ（Ａ）＝故Ｘ＝（ＡＢ）－１（）【解答】选择【评注】等式也可整理为（ＡＢ）ＸＡ（ＡＢ）ＸＢ＝进而得到（ＡＢ）Ｘ（Ａ）＝题型矩阵的初等变ａ１１ａ１２ａ１３ ａ２３ ０１ 【例３１】设Ａ＝ ａ２３，Ｂ＝ ，Ｐ１＝１００

ａ＋ ａ＋ ａ＋ａ ００１０

３３ １３Ｐ２＝０１０，则必有 １０Ａ．ＡＰ１Ｐ２＝ Ｂ．ＡＰ２Ｐ１＝ Ｃ．Ｐ１Ｐ２Ａ＝ Ｄ．Ｐ２Ｐ１Ａ＝【分析】观察矩阵Ａ，Ｂ，有Ｂ＝Ｅ（１，２）Ｅ（３１（１））Ａ＝【解答】选择【评注】别为初等矩阵，Ｂ也可以表示为Ｂ＝Ｅ（３２（１））Ｅ（）Ａ，但选项中没有初等矩阵Ｅ（３２（１））此解题时需换用Ｂ＝Ｅ（２）Ｅ（３１（１））Ａ表示。【例３２】设Ａ是３阶方阵，将Ａ的第一列与第二列交换得Ｂ，再把Ｂ的第二列加到第三列得Ｃ，则满足ＡＱ＝Ｃ的可逆矩阵Ｑ为（ ０１ ０１ ０１ ０１ Ａ．０Ｂ．０Ｃ．０Ｄ．０００１０【分析】由初等变换与初等矩阵之间的关系（左行右列），则Ｂ＝（），Ｃ＝（２３（１）），从而Ｃ＝ＢＥ（２３（１））＝ＡＥ（１，２）Ｅ（２３（１）），即Ｑ＝Ｅ（１，２）Ｅ（２３（１）０１０１０ ０１ 【解答】＝（）Ｅ（２３（１））＝１００１１＝１００择 ００１００ ００【评注】熟悉三种初等矩阵的表示，Ｅ（２）Ｅ（２３（１））是将Ｅ（２３（１））第一行与第二行交换必要做矩阵的乘法。【例３３】设Ａ是３阶方阵Ａ的第二行加到第一行得Ｂ，再将Ｂ的第一列的１１ １）倍加到第二列得Ｃ，记Ｐ＝０１０，则 ００Ａ．Ｃ＝Ｐ－１ Ｂ．Ｃ＝ＰＡＰ－ Ｃ．Ｃ＝ Ｄ．Ｃ＝【分析】由Ｂ＝Ｅ（１２（１））Ａ，Ｃ＝ＢＥ（１２（１）），得Ｃ＝ＢＥ（１２（１））＝Ｅ（１２（１））ＡＥ（１２（１） １１ － －其中Ｅ（１２（１））＝０１０＝Ｐ，而 ＝Ｅ（１２（１））＝Ｅ（ １）） ００所以＝【解答】选择【评注 初等矩阵的逆仍为初等矩阵，且Ｅ－１（ｉ，ｊ）＝Ｅ（ｉ，ｊ），Ｅ－１（ｉ（ｋ））＝Ｅ（（１）），Ｅ－１（ｉｊ（ｋ））＝Ｅ（ｉｊ（ 【例３４】设Ａ为ｎ阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得矩阵Ｂ，Ａ，Ｂ分别为Ａ，Ｂ的伴随矩阵，则（ Ａ．交换Ａ的第一列与第二列，得ＢＢ．交换Ａ的第一行与第二行，得ＢＣ．交换Ａ的第一列与第二列，得ＢＤ．交换Ａ的第一行与第二行， 【分析】由于Ｂ＝（）Ａ，所以Ｂ＝Ｅ（），而（２）＝Ｅ（２）（２）＝Ｅ（２），故Ｂ＝Ｅ（２）＝Ｅ（１，【解答】选择【评注】当逆公式（ＡＢ）＝Ａ初等矩阵按Ａ＝Ａ可得如结Ｅ（ｉ，ｊ） Ｅ（ｉ，ｊ），Ｅ（ｉ（ｋ））＝ｋＥ（ｉ（１）），Ｅ（ｉｊ（ｋ））＝Ｅ（ ｋ）ｋ【例３５】设ｎ可逆方阵第ｉ与第ｊ对换后得到矩阵（１）证明Ｂ可逆；（２）求【分析】若Ｂ０，则可证明【解答】（１）由于Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ，而Ａ０所以Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ＝ Ａ０故Ｂ可逆（２）由于Ｂ＝Ｅ（ｉ，ｊ）Ａ，故Ｂ－１＝（ｉ，ｊ）＝（ｉ，ｊ），所以＝（ｉ，ｊ）＝（ｉ，ｊ）【评注】初等矩阵的行列

Ｅ（ｉ，

＝

Ｅ（ｉ（ｋ）

＝

Ｅ（ｉｊ（ｋ））＝【例３６】设矩阵可逆矩阵

－１ＡＰ

１

，Ｐ＝（α，α，α）Ｑ＝（α＋α，α，α），则Ｑ－１ＡＱ＝

２１１２

【分析】首先建立联系于第二列加到第一列后所得【解答】由于Ｑ＝ＰＥ（２１（１）），所以Ｑ－１＝Ｅ－１（２１（１））Ｐ－１＝Ｅ（ １））Ｐ－那么

—１ＡＱ＝Ｅ（ １））

—１ＡＰＥ（２１（１））＝

００１１０

１０１１

＝

选择

０１ ２００【评注】建立Ｐ与Ｑ的关系Ｑ＝（２１（１））是解题的关键ａ１１ａ１２ａ１３ａ１４ ａ１４ａ１３ａ１２ａ１１ ０００ ａ２１ａ２２ａ２３ａ２４ ａ２４ａ２３ａ２２ａ２１ ０１０【例３７】设Ａ＝ ，Ｂ＝ ，Ｐ１＝ ａ ａ ００１ ３４

３１ １００ ００１

ａ４４

ａ４１ １００Ｐ＝ ，其中Ａ可逆，则Ｂ－１等于 １０００Ａ．Ａ－１Ｐ

Ｂ．ＰＡ－１

Ｃ．ＰＰＡ－ Ｄ．ＰＡ－１１ １ 【分析】观察矩阵Ａ，Ｂ，矩阵Ｂ是Ａ经过第一列与第四列对换，经过第二列与第三列对换得到，而Ｐ１是１，４两列对换的初等矩阵，Ｐ２是２，３两列对换的初等矩阵，所以有＝从而＝因为Ｐ＝＝＝Ｐ １【解答】选择１ ２【评注】可以表示为＝Ｐ而＝Ｐ题目没有该１ ２ 【例３８】设Ａ＝ ２，Ｂ＝ １，问Ａ与Ｂ是否等价？若等价写出关系

１ ２

０【分析】若价过初等变换可化为每个初等变换对应相应的初等矩阵可以建立关系式 ｒ１ｒ２ ｒ２２ｒ１ 【解答】Ａ＝

→

→ １ １ ２ １ ２ ２ ２ ｒ３＋ｒ１

５ｒ３

３

＝故否等价过４次初等变换化为４次初等变换对应的初等矩阵依次记０１ ０ １０ １００

０１０００００Ｐ１＝１００，Ｐ２＝ ２１０，Ｐ３＝００００１０ ５则＝【评注】每个初等变换对应一个初等矩阵用初等矩阵可表示等价矩阵之间的等量关系。【例３９】设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ｂ是ｎ×ｍ矩阵，则（）Ａ．当ｍ＞ｎ时，必有行列式ＡＢ≠０Ｂ．当ｍ＞ｎ时，必有行列式ＡＢ＝０Ｃ．当ｍ＜ｎ时，必有行列式ＡＢ≠０【分析】ＡＢ是ｍ阶方阵，ｒ（ＡＢ）≤ｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））若ｍｎｒ（ＡＢ）≤ｎｍ

ＡＢ＝若ｍｎ，ｒ（ＡＢ）≤ｍ，当等号成立时判断【解答】选择

ＡＢ０，当等号不成立

ＡＢ＝而不【评注】对于ｍ方阵ｒ（Ｃ）＝ｍＣａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ【例４０】设＝

，其中ａｉ０ｂｉ０ｉ＝…，ｎ），则矩ａ ａ ａｂ秩ｒ（Ａ）

ｎ ｎ

ｎｎ【分析】根据矩阵Ａ的构造，用初等变换或将矩阵分解为两个向量的乘积都可求出。ａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ｂｎ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ ｒ ０ ０【解答】Ａ＝

，ｂｉ０（ｉ＝１，２，…，ａ ａ ａ

０ ０所以ｒ（Ａ）＝

ｎ ｎ

ｎｎ【评注】也可将矩阵解为两个向量的乘积ａ１ ａ１ ａ１ｂｎ ａ１ ａ２ｂ１ａ２ｂ２ ａ２ｂｎ ａ２Ａ＝ ＝ ｂ１ｂ２ ｂｎ ａ１ ａ２

ａｎ而 ａｎ

ｂｎ的秩均为ｒ（Ａ）１，又因为零所以ｒ（Ａ）１，从而ｒ（Ａ）＝任意秩为１的方阵都可以分解为两个向量之积【例４１】设Ａ是４矩阵，且Ａ的秩ｒ（Ａ）＝而Ｂ＝＝【分析 由于ｒ（ＡＢ）≤ｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），因此要确定ｒ（ ０ １０ ｒ

０ ２０，则ｒ（１０【解答 Ｂ＝ ２ →０２０，得ｒ（Ｂ）＝３，即Ｂ是可逆矩阵。由此 １０ ００（ＡＢ）＝ｒ（Ａ）＝【评注】若均为可逆矩阵ｒ（ＰＡＱ）＝ｒ（１２ 【例４２】已知Ｑ＝２４ｔ，Ｐ为３阶非零矩阵，且满足ＰＱ＝０，则 ３６Ａ．ｔ＝６时，Ｐ的秩必为 Ｂ．ｔ＝６时，Ｐ的秩必为Ｃ．ｔ６时，Ｐ的秩必为 Ｄ．ｔ６时，Ｐ的秩必为【分析】由于ｔ＝时ｒ（Ｑ）＝ｔ６时ｒ（Ｑ）＝由ＰＱ＝进一步判断Ｐ的秩３当ｔ＝６时，ｒ（Ｑ）＝１，可得ｒ（Ｐ）２，又Ｐ是非零矩阵，所以ｒ（Ｐ）１，不能确定Ｐ的秩是１还是２；当ｔ６时，ｒ（Ｑ）＝２，可得ｒ（Ｐ）１，又Ｐ是非零矩阵，所以ｒ（Ｐ）１，故Ｐ的秩是１。选择Ｃ【评注】设Ａ是ｍｎ矩阵是ｎｓ矩阵ＡＢ＝ｒ（Ａ）ｒ（Ｂ）【例４３】设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ｂ是ｎ×ｍ矩阵，Ｅ是ｍ阶单位矩阵，若ＡＢ＝Ｅ，则（）Ａ．ｒ（Ａ）＝ｍ，ｒ（Ｂ）＝ Ｂ．ｒ（Ａ）＝ｍ，ｒ（Ｂ）＝Ｃ．ｒ（Ａ）＝ｎ，ｒ（Ｂ）＝ Ｄ．ｒ（Ａ）＝ｎ，ｒ（Ｂ）＝【分析】由ＡＢ＝则ｒ（Ｅ）＝ｒ（ＡＢ）＝ｍ，又因为ｍ＝ｒ（ＡＢ）ｒＡ）≤ｎｍ，ｎ）ｍ（同理ｍｒＢ）≤ｉｎ（ｍ，ｎ）≤ｍ所以ｒ（Ａ）＝ｍ理ｒ（Ｂ）＝【解答】选择【评注 若ａ≤ｎａ１，ａ２，…，ａｎ），则ａｉ（ｉ＝１，２，…，【例４４】设ｘ三维单位向量三阶单位矩阵ＥｘｘＴ的秩【分析】令＝ｘｘＴ实对称矩阵。ｘ单位向量所以ｘＴｘ＝（ｘ，ｘ）＝‖ｘ２＝从而有Ａ２＝计算特征值秩就是非零特征值的个数【解答】令＝则Ａ２＝（ＥｘｘＴ）（ＥｘｘＴ）＝２ｘｘＴｘ（ｘＴｘ）ｘＴ＝ｘｘＴ＝Ａ２＝ 又ＡＴ＝ＥｘｘＴ＝Ａ，即Ａ为实对称矩阵，故Ａ一定与对角阵Λ＝

相似λ３设λ为任一特征值于Ａ２＝有λ＝λ解出λ＝λ当λ＝ｒ（λＥＡ）＝ｒ（ｘｘＴ）＝（Ａ）ｙ＝的特征向量λ＝特征值特征值为１，以ｒ（）＝【评注】可相似对角化矩阵的秩等于它非零特征值的个数，这也是求秩的一种方法。【例４５】设ｎ方阵是伴随矩阵ｒ（Ａ）１，ｒ（Ａ）ｒ（Ａ）１，ｒ（Ａ）＝ｎ０，ｒ（Ａ）＜ｎ【分析】矩阵与其伴随矩阵的秩列式征值等密切相关【解答（１）当ｒ（Ａ）＝ｎ可逆矩阵，Ａ０而Ａ＝Ａｎ－１≠ｒ（Ａ）＝（２）当ｒ（Ａ）＝ｎ１时Ａ＝么ＡＡ＝Ａ＝而有ｒ（Ａ）ｒ（）≤ｎ即得ｒ（）≤ｎ（ｎ１）＝ 又因为Ａ至少有一个ｎ１阶子式 ０，从而Ａ＝ １）ｉ０＋ｊ０ ０，即 那么ｒ（）１；故ｒ（）＝（３）当ｒ（Ａ）ｎ１时所有ｎ１阶代数余子式全为零，从而Ａ＝ｒ（Ａ【评注 记住此结论，以后可直接应用。例设４阶方阵Ａ的秩是２，则ｒ（Ａ 【例

ａ１１ 设矩阵＝１ａ是伴随矩阵且ｒ（Ａ）＝ １１【分析】由Ａ的秩先确定秩而求ａ【解答】由于ｒ（Ａ）＝而可得ｒ（Ａ）＝１＝即Ａ＝ａ１１Ａ＝１ａ１１

＝（ａ＋

０ａ ａ

＝（ａ＋２）（ａ１）从而ａ＝ａ＝当ａ＝ｒ（Ａ）＝合题意（此时ｒ（Ａ）＝），故ａ＝２。第三章 题型向量组的线性组合与线性表【例１】设ｎ矩阵行列式Ａ有一列元素全为０有两列元素对应成比有一列向量是其余列向量的线性组合一列向量是其余列向量的线性组合

＝０，则Ａ中 【分析 Ａ＝０ｒ（Ａ）＜ｎ，即Ａ的ｎ个列向量线性相关，因此必有一列向量是余列向量的线性组【解答】选择【评注】Ａ＝可逆ｒ（Ａ）ｎｎ列（行）向量线性相关值Ａｘ＝非零解。【例２】设向量β可由向量组αααｍ线性表示不能由向量组（Ⅰα，ααｍ线性表示向量组（Ⅱαααｍβ（）Ａ．αｍ不能由（Ⅰ线性表示，也不能由（Ⅱ线性表示Ｂ．αｍ不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ线性表示αｍ可由（Ⅰ线性表示可由（Ⅱ线性表示αｍ可由（Ⅰ）线性表示不可由（Ⅱ线性表【分析】由于β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表示，所以存在常数ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使得β＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ，又因为β不能由向量组（Ⅰ：α１，α２，…，αｍ－１线性表示，所０性表示题设矛盾），从而αｍ＝表示

ｋｋ

ｋｍ－

αｍ即αｍ可由（Ⅱ线ｍ－假设αｍ可由（Ⅰ线性表示αｍ＝∑ｌｉαｉ由线性表示的传送性β可由向量组ｉ＝α２αｍ－１即β（Ⅰα１α２αｍ－１设矛盾故误的。即αｍ不能由（Ⅰ）线性表【解答】选择的是向量不能被向量组线性表示用反证法推断。Ｔ【例３ 判断β能否由向量组α１，α２，α３线性表示，其中α１＝ １，０，１Ｔ α＝ ２Ｔ，α＝Ｔ，β＝ 【分析】β＝ｘα１ｘα２ｘα３（ααα）ｘ＝β是否有【解答】令β＝ｘα１ｘα２ｘα线性方程 ｘ１＋３ｘ２＋ｘ３＝４ｘ２＋４ｘ３＝ｘ１２ｘ２＋ｘ３＝

，解方程 ５ ２ ４ １，得ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝ ２

０方程组有唯一解β可由向量组α１α２α３唯一的线性表示一步对增广矩阵做初等行变换 ２ １０ １→０１ １而β＝２αα ０

００ ０【评注】当把增广矩阵化为行最简形时可直接写出向量表示的线性表达式【例４】已知α１＝１０２３，α２＝１１３５，α３＝ １ａ＋２１α＝１２４ａβ＝１１ｂ（１）ａｂ为何值时，β不能表示成α１α２α３α４的线性组合（２）ａ，ｂ为何值时，β有α１，α２，α３，α４的唯一线性表示式？并写出该表示【分析】β＝ｘα１ｘα２ｘα３ｘα４的充要条件是对应的线性方程组有解果有唯一解β被αααα４唯一线性表示式【解答】令β＝ｘα１ｘα２ｘα３ｘα线性方程ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝ｘ２ｘ３＋２ｘ４＝

１ １ ０ １， ２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３２３ａ＋ ｂ＋３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝

３ ａ＋ ５１ ０ ０

１１１１１２１１１２ ｂ＋ ００ａ＋ ０ ２ａ＋ ２ ０ ａ＋１–（１）当ａ＝ｂ０时，ｒ（Ａ）＝≠ｒ（Ａ）＝程组无解，即β不能表示成α１α３α４性组合–（２）当 １，ｂ为任意数时，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝４，方程组有唯一解，则β有α１，α２，α３α４的唯一线性表示式一步对增广矩阵做初等行变换１００ ２ｂ１

ａ＋１０

０１００ａ＋ｂ＋ ａ＋ ｂ００ａ＋ ｂ ００１ ０ ａ＋１

ａ＋１０００ 表示式为β＝

ａ＋ｂ＋

ｂα＋＋ａ＋１

ａ＋

ａ＋１ 【评注】已知一个向量是否可以被另一组向量线性表示的问题常化归为判断对应的线性方程组是否有解的问题。 【例５】设有３维列向量α＝１λ，α＝λ１α＝λ 【分析】β可由α１，α２，α３唯一线性表示等价于方程组（α１，α２，α３）ｘ＝β有唯一解；β可由α１，α２，α３线性表示但不唯一等价于方程组（α１，α２，α３）ｘ＝β有无穷多解；β不能由ααα３线性表示等价于方程组（ααα）ｘ＝β无解【解答】解方程组（ααα）ｘ＝（１）系数矩阵行列（α１，α２，α３）

１＋ １＋ １＋

１１０ ００＝λ２（λ＋当λ０ ３时，方程组有唯一解，β可由α１，α２，α３线性表示，且表达式唯一１１１ １１１ （２）当λ＝，１１１０→００００ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝ １１１ ０００所以方程组有无穷多个解β可由α１α２α３线性表示表达式不唯一 ０

９ （３）当λ ３时，增广矩阵为 ３→ １２ ９

６–ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＝程组无解β不能由α１α２α３线性表示【评注】对于已知向量个向量能否被另一组向量线性表示都化归为解线性方程组的问题。【例６】设ｎ维列量组α，α，…，αｍ（ｍｎ）线性无关，则ｎ维列量组β，β，…，线性无关的充分必要条件为 Ａ．向量组α１，α２，…，αｍ可由向量组β１，β２，…，βｍ线性表示Ｂ．向量组β１，β２，…，βｍ可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表示量组α１α２αｍ与向量组β１β２βｍ等价Ｄ．矩阵Ａ＝（α１α２，…αｍ）与矩阵Ｂ＝（β１，β２，…βｍ）等【分析】运用两个向量组线性表示及等价的概念意要找的是充分必要条先考查Ａ若β１，β２，…，βｍ线性无关，能否推出α１，α２，…，αｍ可由β１，β２，…，βｍ线性表示？没有现成的结论，试举例说明，α１＝，α２＝线性无关，β１＝０，０，１，０，β２＝０，０，０，１也线性无关，显然α１，α２不能由β１，β２线性表示，故排除Ａ再考查理β１β２不能由α１α２线性表示排除Ｂ后考查于成立不能等价排除【解答】选择Ｄ。若β１，β２，…，βｍ线性无关，则ｒ（Ｂ）＝ｍ，又已知α１，α２，…，αｍ线性无关，所以ｒ（Ａ）＝ｍ，由于两个同形矩阵等价的充要条件是秩相等。所以Ａ与Ｂ等价。反过来价ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）＝ｍ以β１β２βｍ线性无关选Ｄ。【评注】两矩阵的等价与两组向量的等价有很大的不同，两个同型矩阵的等价仅仅要求秩相等两组同维向量的等价则要求能够互相线性表示。【例７】设向量组ααα３线性相关量组ααα４线性无关（１）α１α２α３线性表示？证明你的结【分析】利用线性相关与线性表示的关系证【解答】（１）α１α２α３表由于α２，α３，α４线性无关，所以α２，α３线性无关（全体无关，则部分无关），又α１，α２，α３线性相关，故α１可由α２，α３线性表示（若α１，α２，…，αｍ无关，而α１，α２，…，αｍ，β线性（２）α４不能由α１α２α３线性表假设α４α１α２α３（）α１α２α３线性表示以α４能由α２线性表示与题设向量组α２α３α４线性无关矛盾。故假设错误【评注】全体无关，则部分无关；所证明的结论用否定句子表达时，可以考虑反证法。题型向量组的线性相关【例８】设α１＝，α２＝，α３＝α４线 关【分析】任意ｎ个ｎ向量线性相关【解答】线性相关

，α４＝，则α１α２【评注】只要向量组中向量的个数大于向量的维数向量组都线性相关【例９】 向量组α１＝１，２，１，３，５，α２＝０，１，４，６，１，α３＝０，０，２，１，关。

７线【分析】存在一个三阶子【解答】线性无关

１０２１１４

＝２０向量组的秩为３。【评注】对于ｎ个已知向量，求向量组的秩ｒｒｎ线性相关ｒ＝ｎ性无关【例１０】 若向量组α１，α２，α３，α４满足α１＋α２＋α３＝０，则α１，α２，α３，α４线性关。【分析】由α１α２α３＝知α１α２α３α４＝【解答】线性相关【评注】部分相关全体相关【例１１】若向量组ααα３两两线性无关ααα３是否线性无关？为什么【分析】反例：α１＝，α２＝，α３＝两两线性无关，但α，α，α３线相关【解答】不一定线性无关【评注】向量组ααα３线性无关以得出ααα３两两线性无关（即全体无【例１２】设α１＝０，０，０，α２＝０，１，２，则 Ａ．α１线性无 Ｂ．α２线性相Ｃ．α１，α２线性无 Ｄ．α１，α２线性相向量组是线性相关的。【解答】【评注】线性相关的向量组未必含有零向量【例１３】设向量组α１，α２，α３线性相关，α２，α３，α４线性无关，则 Ａ．向组α１，α２，α３，中，—可以由其余向量线性表示Ｂ．向组α１，α２，α３，中，—可以由其余向量线性表示Ｃ．向组α１，α２，α３，中，—可以由其余向量线性表示Ｄ．向组α１，α２，α３，中，—可以由其余向量线性表示【分析】由于ααα４线性无关以α，α３线性无关（全体无关，则部分无关），又ααα３线性相关α１可由αα３线性表示而可由ααα４线性表示。【解答】【评注】若α，α，…，αｍ无关，而α，α，…，αｍ，β线性相关，则β可α，α，…，线性表【例１４】设向量β可由向量组αααｍ线性表示不能由向量组αααｍ中任意ｍ向量线性表示明α１α２αｍ线性无关【分析】用反证法。假设α１，α２，…，αｍ线性相关，则必有一个向量可以由其余ｍ１个向量线性表示，从而β可由向量组α１，α２，…，αｍ中的ｍ１个向量线性表示，就与已知矛盾。【解答】反证法。假设α１，α２，…，αｍ线性相关，则必有一个向量可以由其余ｍ１个向量线性表示，不妨设α１可以由α２，…，αｍ线性表示，则有α１＝ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ。又因为β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表示，所以β＝ｌ１α１＋ｌ２α２＋…＋ｌｍαｍ，将α１代入，就有β＝ｌ１（ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ）＋ｌ２α２＋…＋ｌｍαｍ＝（ｌ１ｋ２＋ｌ２）α２＋…＋（ｌ１ｋｍ＋ｌｍ）αｍ，这与β不能由向量组αααｍ中任意ｍ向量线性表示矛盾。所以αααｍ线性无关【评注】一组向量线性无关其中任一个向量都不能由其余向量线性表示【例１５】设Ａ是ｎ阶方阵，ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ是齐次线性方程组ＡＸ＝０的线性无关的解ｎ非零向量β不是＝解明αααｍβ线性无关。【分析】向量的线性无关定义，由于ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ是齐次线性方程组ＡＸ＝０的线性无关的解，所以Ａαｉ＝０，（ｉ＝１，２，…，ｍ），而β０，所以Ａ（αｉ＋β）０，（ｉ＝，ｍ）。【解答】令ｌα１ｌα２ｌｍαｍｌβ＝β０代入第一式ｌ１α１ｌ２α２ｌｍαｍ＝由于αｉ（ｉ＝…，ｍ）线性无关，所以＝（ｉ＝，ｍ），故α１，α２，…αｍ，β线性无关【评注】对于抽象的向量组证明线性无关时以考虑用定义【例αααｎ线性无关论α１αα２ααｎαｎαｎα１的线性相关性。【分析】用线性无关的定义【解答】令ｋ（α１α）ｋ（α２α），ｋｎ（αｎαｎ）ｋｎ（αｎα）＝得（ｋ１ｋｎ）α１（ｋ１ｋ２）α２，（ｋｎｋｎ）αｎ＝ｋ１＋ｋｎ＝ｋ１＋ｋ２＝ ｋｎ－１＋ｋｎ＝

性方程组的系数行列式１００………０１０００…１００００…１１Ｄ１００………０１０００…１００００…１１当ｎ偶数时＝次方程组有非零解为奇数时＝２０齐次方程组只有零解，故α１α２α２α３αｎαｎαｎα１是线性无关的【评注】相关性与向量的个数有关【例１７】若α１＝（１，３， ２），α２＝（２，１，３，ｔ），α３＝（ １，２，０）线性相关，则＝【分析】ααα３线性相关的充要条件是向量组的秩小于而任一个３阶行式都为０。【解答】取一个含ｔ三阶行列式

＝ｔ＝以ｔ＝【评注】也可令ｋα１ｋα２ｋα３＝入解线性方程组１ 【例则ａ

设三阶矩阵Ａ＝２ ３

量α＝（ａ，）Ｔ，已知Ａα与α线性相关【分析】两个向量线性相关以有Ａα＝ ａ 【解答】由Ａα＝ｋα２ａ＝ｋ得ａ＝ｋ＝ ３ａ＋ ｋ【评注】也可用两个向量线性相关它们的坐标对应成比例【例１９】ｎ维向量组α１，α２，…，αｓ（３线性无关的充要条件是（ Ａ．存在一组不全为零的数ｋ１，ｋ２，…，ｋｓ，使ｋ１α１＋ｋ２α２，…，＋ｋｓαｓ０Ｂ．α１，α２，…，αｓ中任意两个向量均线性无α１α２αｓ中存在一个向量不能用其余向量线性表示α１α２αｓ中任意一个向量都不能用其余向量线性表示【分析】由于是线性无关的充要条件，所以要考虑充分性与必要性。其中Ａ，Ｂ，Ｃ均是α１α２αｓ的必要条件而非充分条件。【解答】【评注】线性无关的一个等价定义题型向量组的秩与矩阵的【例２０】已知向量组α１＝（１，２，３，４），α２＝（２，３，４，５），α３＝（３，４，５，６），α４＝（４，６，７），则该向量组的秩 【分析】向量组的秩即矩阵的秩１２３ １２３ ２３４ ｒ０１２【解答】Ａ＝ ，所以向量组的秩为３４５ ０００ ４５６ ０００【评注】如果只是向量组的求秩等行变换或初等列变换都可以。但若用其余向量表示某个向量时能用初等行（或列）变换。为２，则ｔ＝ 【分析】向量组的秩即矩阵的秩。即任一个三阶子式都为零【解答】Ｄ【评注】如

１ 取向量的后三

＝６２ｔ＝０，ｔ＝个分量不到结果。也可以通过求矩阵的秩判断【例２２】设ｎ维向量组α１，α２，…，αｓ的秩是ｒ０，则（）量组中任意ｒ向量线性无关Ｂ．ｒｎＣ．向